自由粒子满足的非线性薛定谔方程及其亮孤子解

赵常德专栏 >> 自由粒子满足的非线性薛定谔方程及其亮孤子解

赵常德 （zyfnew@yahoo.com.cn）　2007.09

摘要：本文在提出自由粒子的新假说的基础上，明确了自由粒子的总内能公式。选择了自由粒子应满足的非线性薛定谔方程（ NLSE ）及其非线性项，证明了具有发生二级相变的稳定解存在。接着作者求解了自由粒子的 NLSE ，确实得到了亮孤子解，并对解作了初步的分析。认为是与自由粒子内部的某种运动相联系的物理量，这将有待进一步的研究。最后作者简要地阐述了本文的意义；从而为推翻哥本哈根学派关于波函数的“统计解释”，肯定爱因斯坦——德布罗意关于波函数“物理局域实在解释”，提供了初步的线索。

关键词：自由粒子 NLSE 非线性项亮孤子德布罗意哥本哈根学派

1 ．关于自由粒子的新假设

“真空”中半径为 r_o ，质量为 m 的自由粒子，如果其速度为，则可作出以下假设。

1.1 总内能假设

根据《广义时空相对论》^（¹^）其能量的表达式为：。考虑到当 m 处于静止时，利用质量——能量原理，其总内能假设为 ^（²^），则质量为 m ，速度为的自由粒子的总内能假设为：

（ 1 ）

当 =0 时，即为静止时的总内能公式。（ 1 ）式中括号内的两项为此时自由粒子的固有内能，而为自由粒子与真空微粒标量场的相互作用能，说明此时自由粒子的束搏能将再增加（即降低），式中为绝对速度^（⁶^）。

能量假设一方面将自由粒子与其内部和外部环境中的真空微粒作为研究的局域空间，这是一个“充满”物质的物理空间，从而为在此粒子上建立相应的物理坐标系提供了物质基础，也为该空间内处于相对静止的观察者提供了物质基础^（³^）（⁴^）；另一方面说明自由粒子的质量 m 不会随其速度增加而增加，同时也表明爱因斯坦所猜想的质能关系式（ E=mc² ）并不完善^（⁵^）。

1.2 固有频率假设^（²^）

由总内能 ……（ 2 ），

我们假设 ……（ 3 ），

其中即为速度为质量为 m 的自由粒子内部的固有频率。相应的有。

1.3 环绕运动假设^（²^）

认为 m 在距点距离为 r 的球面上作速率为的环绕运动。

在上述三项假设下，我们可以推导出“德布罗意波”的波长公式：以及一般波所具有的关系式：以及和公式。进而确认了 m 作环绕运动一周走过的距离（ 2 ）与匀速运动的粒子在这段时间（ T ）内平动走过的距离（ L ）相等。即：。固有频率假设（ 1.2 ）实际上已由 1927 年戴维孙一革末实验所证实^（²^）。

2 ．自由粒子运动的轨迹

为了研究自由粒子的运动，我们在《论物理时间》论文中，重申并详细阐明了《广义时空相对论》中的物理时间概念，应用于自由粒子（一维）得到了新伽利略变换公式^（⁶^）。在此基础上我们得到了自由粒子的运动方程。并得出结论：自由粒子的运动轨迹是螺旋线而非直线。目前探测粒子径迹的仪器的空间分辨本领不高，因而尚未“观测”到^（⁷^）。但是我们迄今所给出的“德布罗意波”的图象仍然是初步的，也只是自由粒子运动图象的一部分，还没有涉及自由粒子理所当然的作为孤立子所呈现的运动部分。这应该是自由粒子所满足的非线性薛定谔方程（ NLSE ）的亮孤子解，且应是稳定的解。

3 ．自由粒子所满足的非线性薛定谔方程的亮孤子解

3.1 非线性薛定谔方程（ NLSE ）具有稳定解的条件

3.1.1 NLSE 介绍

一般 NLSE 有如下形式^（⁸^）：

……（ 4 ）

各项的物理意义如下：左边第一项表示波函数对时间和位置变化的复数，又称为“运动项”，以后可以看到它实际上反映的是“波”的相位随时间和位置的改变，从而给出了“波”的相速；第二项是使波函数发生变化的内因，它是使粒子不稳定的色散项，它导致波速与波矢相关；第三项是一个非线性项它是与微观粒子相关的亚粒子之间的相互作用产生的。对自由粒子来讲就是指构成自由粒子的亚粒子以及其内部和附近的真空微粒它们之间的相互作用。这一项的作用如能抵消色散项的作用，将能提供两个基态或更多的基态，产生二级相变，从而阻止自由粒子能量的弥散，成为稳定的孤立子。一般 b 为常数。右边一项是微观粒子所处的外场。对在“真空”中匀速运动的自由粒子，是指在自由粒子运动的局域空间中真空微粒所产生的标量势。一般可设此势场与时间无关，仅与 x 有关即 U 可写成 U （ x ）。

3.1.2 自由粒子NLSE非线性项的确定

假定自由粒子满足以下 NLSE ，并设 U （ x,t ） =U （ x ）及 b （ x,t ） =b （为常数）：

……（ 5 ）

初步设……（6）

将（ 6 ）式代入（ 5 ）式有：

……（ 7 ）

再设及设表示孤立子的某种密度。则有： …（ 8 ）（此式称为的准本征方程）

其中 ……（ 9 ）

是对应哈密顿函数的算符。可设 E₀ 为 ₀ 的本征值，则可得到孤立子的能量： E=E₀-2bs= E₀+(-2bs) ，可见 -2bs ＜ 0 ，它就是孤立子的束搏能，它使原来的自由粒子（或微观粒子）的能量降低，使原来的能量连续谱变成了有能隙的处于束缚态的分立能谱^（⁸^）。那么 -2bs 等于多少呢？

根据我们前述的关于自由粒子的新假设，可知，可认为匀速（）运动的粒子这时，因而有：

……（ 10 ）

3.2 NLSE （ 4 ）具有稳定解的可能性

假设一参照物处于自由粒子运动的物理空间范围内（该空间“充满物质”，真空物质均匀），其上建立物理坐标系（ O 系）（ x,y,z ），观测者位于 O 点，记录的时间 t 为物理时间。在自由粒子上建立 O ＇系（ x ＇ y ＇ z ＇）， x ＇与 x 轴重合， y ＇与 y 、 z ＇与 z 平行。 O ＇系的观测者在 m 上，记录的时间为 t ＇（德布罗意称为“固有时间”或粒子的钟）。 m 所处位置在 y ＇ z ＇的平面内，在 x ＇上的投影在原点 O ＇处。根据《广义时空相对论》 x ＇的起点以静系（ O 系）的原点为起点。自由粒子相对于 O 系的相对速度为 V=V_x ，自由粒子的绝对速度为（这里也是群速）。

假定自由粒子的运动在 O ＇系满足 NLSE （ 4 ）：那么，在一维情况下，设：。如果选取波函数 ……（ 11 ）（即定态情形）。式中：

及将（ 11 ）式代入（ 4 ）式有： ……（ 12 ）

如果，显然方程（ 12 ）的极值点除外还有： ……（ 13 ）

即： ……（ 14 ）

如果令有效势能 ……（ 15 ）

则有： ……（ 16 ）

因＞ O ，则对（ 15 ）式可作下图：

这说明自由粒子在这种势场中由上图提供了两个基态，自由粒子的有效势能将在这两个基态之间反复迴荡，从而使自由粒子的能量不再弥散，实现了孤立子能量处于最低且稳定的状态。这种状态在凝聚态物理中称为发生了二级相变。结果使线性粒子变成了非线性的孤立子。

3.3 自由粒子所满足的非线性薛定谔方程的亮孤子解

设自由粒子满足如下 NLSE （一维情况）：

……（ 17 ）

此设，（暂设），而

作如下代换：和 ……（ 18 ）

则（ 17 ）式变为常见的 NLSE ：

……（ 19 ）

设，代入（ 19 ）式有：

则得虚部： ……（ 20 ）

以及实部： ……（ 21 ）

设，由于中的反映的是载波部分，故“相速” ，所以有：，则，代入（ 20 ）式有：

……（ 22 ）

又将代入（ 21 ）式中：

……（ 23 ）

如果有亮孤子解，即设 f=Rsech[Ax-Bt] ， R 为一待定常数。因为“群速” ，故有：

……（ 24 ）

再将（ 24 ）式代入（ 22 ）式有：

即：

显然 AR ≠ O ，及则即，

故： ……（ 25 ）

再将（ 24 ）式代入（ 23 ）式有：（推导过程从略）

（ 26 ）

注意到当 x=0 ， t=0 时（ 26 ）式应成立，此时有 tanh(o)=o ， sech(o)=1

则有： ……（ 27 ）

显然还有当时，由于粒子的局域性则应有 f=o ，此时，则又有： ……（ 28 ）

从而解出： ……（ 29 ）

和 ……（ 30 ）

这样就得到了：

（ 31 ）

3.4 求

由（ 31 ）式可知在波函数中即在代换后的“坐标”（ x,t ）中，其载波“相速”为，而孤粒子的“群速”为。在中粒子的群速，由于代换和，可知，即，这样即为：

（ 32 ）

由此式可见在中的相速。这样我们就得到在中的波函数，也就是自由粒子 NLSE 的解^（¹⁰^）：

（ 33 ）

式中即为孤立子的群速，为其相速。此相速与我们在论文《自由粒子运动的轨迹是螺旋线而非直线》^（⁷^）不同，该文中的相速是自由粒子相对于 o ＇的旋转的相位速度，而此处的似乎应与粒子内部的某种运动相联系比如自旋等，这还有待进一步研究。

由于前述对自由粒子有，而 2b=g ， S 为孤粒子的某种密度。考虑到函数的 Sech 部分为一纯数， f 又表示孤立子的振幅，因而应具有长度的量纲，这样 g 就将具有的量纲，因此如设 S 为垂直于运动方向的粒子的最大切面积即（ r_o 为自由粒子的半径），则 g 的物理意义就是单位面积上的平均动能，即平均面能量密度。因此，，即，以此代入（ 33 ）式，最后得自由粒子的稳定的亮孤子解：

（ 34 ）

还可见＞即＜，而且可＞ c ，故也没有的公式。

3.5 关于

由于庞小峰教授在《非线性量子力学理论》一书中已经证明了在任意外势场U（ x ）中相应于一般 NLSE 方程的薛定谔孤立子解是稳定的。^（⁹^）故请读者参阅该书。

4 ．小结

1 ）关于自由粒子的新假设纠正了德布罗意假设中不符合实验的部分，给出了“德布罗意波”的部份物理图象，证明了自由粒子运动的轨迹是螺旋线而非直线，同时对自由粒子的总内能假设所给出的公式，为解决自由粒子的自相互作用非线性项起到了关键的作用；

2 ）按照本文所选的 NLSE 及非线性项，自由粒子如果能够满足这一条，则将会出现稳定解，从而使自由粒子成为孤立子；而且其解为亮孤子解。

3 ）本文指出中的相速并非是 O 系的相对速度 V ，也不可能是 O ＇系中的群速，而只可能是与自由粒子内部的某种运动相联系（如自旋等），这与德布罗意的双重解理论的说法类似^（¹¹^）（¹³^）。

4 ）由于亮孤子具有如同实物粒子一样的各种性质^（⁹^），同时又是波又是粒子，是“驼峰波”^（¹³^）而且波函数已不是线性量子力学的定态解，因而不再具有概率诠释的可能性^（⁹^）。从而支持了爱因斯坦——德布罗意所坚持的“局域实在粒子”解释，否定了哥本哈根学派关于波函数的“统计概率解释”或“诠释 + 标准诠释的混合物”解释^（¹⁴^）。不过，这只是一个初步的诠释，因为对于德布罗意所提出的正确理论所必须遵循的三条原则^（¹⁵^）的理解和研究，以及对现代量子力学能够解释或者不能解释的实验作进一步的研究，甚至设计新的实验以及预测实验结果，以及绝对温度在这里起到什么作用等等，都还有很长的路要走，都需要作进一步的研究。