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赵常德专栏 >> 两类勾股弦数

赵常德 (zyfnew@yahoo.com.cn) 2007.05

摘要:勾股弦数可以分为两类。第一类勾股弦数存在勾弦数定理。要构成第二类勾股弦数必须满足充分条件和必要条件;且当x为素数时则不可能产生第二类勾股弦数。作者猜测:或许在第一类勾股弦数中存在勾弦素数桥无穷链——赵常德猜想。

关键词:勾股弦数 勾弦数桥 勾弦数链 素根 必要条件 充分条件 猜想

在正整数域中,存在无数个“孤岛”——素数,它们之间似乎并不存在任何直接的联系。难道不存在按照一定的规则由一个已知素数求出另一个素数,再由这个素数求出下一个更大的素数吗?这就是勾弦素数桥无穷链猜测。

1.勾股弦定理

1.1 由来:三千年前,商高在回答武王之弟周公关于一个直角三角形三边关系的问题时讲:“句广三,股修四,径隅五”。几百年后,周公的后代陈子将其发展为:“求斜至日者,以日下为勾,以日高为股,勾股各自乘,并以开方除之,得斜至日。”公元前二世纪成书的《周髀算经》将上述内容记为:“勾广三,股修四,径隅五。”魏元帝景元四年(公元263年)数学家刘微在他所著《九章算术》中不仅用几何割补法证明了勾股定理,而且进一步研究出不定方程x2+y2=z2的正整数解:52+122=132,72+242=252,82+152=172,202+212=292……等等。

1.2 定义1:如果正整数x,y,z能满足下列不定方程:x2+y2=z2,则称作勾(x)、股(y)、弦(z)数。

1.3 引理1:勾股弦数中x,y可作(x,y)=1的假设。如果(x,y)=d(d>1),由d2|x2,d2|y2,有d2|(x2+y2),则d2|z2,故d|z,即(x/d,y/d)=1,所以可假定(x,y)=1。

1.4 引理2:勾股弦数中的x,y,不能同为偶数,也不能同为奇数。已假定(x,y)=1,故x,y不能同为偶数。如x,y同为奇数,可令x=2m+1,y=2n+1(m,n均为非负整数),即:x2+y2=4(m2+n2+m+n)+2,可见2|y2而4卜z2,这与z为正整数相矛盾,故x,y不能同为奇数。

1.5 勾股弦定理:如果勾股弦数中(x,y)=1,且2|y,则y=2ab,x=a2-b2,z= a2+b2,式中a、b均为正整数,且a>b,(a,b)=1,2卜(a+b)。证明见参考文献。

2.勾弦数定理

2.1 定义2:如勾股弦数满足y>x>0,2|y且(x,y)=1,则称x,y,z为第一类勾股弦数。例如:32+42=52;如勾股弦数满足y>x>0,2|y且(x,y)=d(d≠1),则称x,y,z为第一类勾股弦倍数,例如:102+242=262

2.2 定义3:在第一类勾股弦数中称x,z为勾弦数。

2.3 勾弦数定理:如果x,z为勾弦数,则z=(x2+1)/2,且2卜z。证:

,即 ;又因x为奇数,可令x=2n+1(n≥1,且为整数),则:z=(4n2+4n+1+1)/2=2n2+2n+1,即2卜z。

3.产生第二类勾股弦数的必要条件和充分条件

3.1 定义4:如果勾股弦数满足x>y>0,2|y且(x,y)=1,则称x,y,z为第二类勾股弦数,例如:152+82=172;如果勾股弦数满足x>y>0,2|y且(x,y)=d(d≠1),则称x,y,z为第二类勾股弦倍数,例如:842+802=1162

3.2 产生第二类勾股弦数的必要条件

由于x>y>0,2|y,且(x,y)=1,可令x=ab(a,b均为大于零的正整数且a≠b),则y=(b2-a2)/2,z=(b2+a2)/2。

因为:(ab)2+(b2-a22/22=(4a2b2+b42a2b2+a4)/4=(b4+2b2a2+a4)/4=[(b2+a2)/2]2,即x2+y2=z2。由于y>0且为正整数,则必要条件为b>a。

3.3 产生第二类勾股弦数的充分条件

满足(3.2)必要条件的a,b,并不能保证得到第二类勾股弦数,例如:当x=a×b=1×7,即a=1,b=7时可得到y=24,z=25,即72+242=252,但这与x>y相矛盾,得到的是第一类勾股弦数。

由于x>y>0,即有:x=ab>y=(b2-a2)/2,所以2ab>(b2-a2)有 ,故充分条件为:

3.4 推理:如x为素数,则不可能产生第二类勾股弦数。因x为素数,则x=a×b=1×b(b为素数),由于2卜x,则b最小为3。虽能满足b>a,但 ,故不能产生第二类勾股弦数,即在第二类勾股弦数中x和z不可能同为素数。而在第一类勾股弦数中这是可能的,如:32+42=52

4猜测:或许存在勾弦素数桥无穷链

4.1 定义5:勾(x)弦(z)数可以记为G(x,z),称为勾弦数桥。如G(3,5),G(11,61),G(1741,1515541)。

4.2 定义6:如x,z为勾弦数,则称G1(x1,z1),G2(z1,z2),G3(z2,z3)……Gn(zn1,zn)……(n为正整数n=2→¥)为勾弦数桥无穷链。如果x1为素数,则称x1为素根。

4.3 勾弦数桥无穷链举例。(p)为素数,(c)为合数,(待)为待定。

素根3(p),5(p),13(p),85(c),3613(p),6526885(c),21300113901613(c)(=233×9141797861),2268474262070564032257885(c)(25位)258793773883829501300239451037962017351072336613(待)(49位),……

素根11(p),61(p),186(p),1731661(c),1499324909461(p)(13位),1123987592065117923655261(c)(25位)(=295033×6084157×626167480681),631674053558170970207436821512098200057586489061(待)(48位),19950605496926777142645428377714032046302022746412018398196280014447505247511589206118632630861(待)(95位),……

素根59(p),1741(p),1515541(p),1148432261341(c),6594483229444401461559141(c),……(略)。

素根71(p),2521(p),3177721(c),5048935376921(c),12745975199069738589720121(c)(=134489×24789497×21095308405537),……略。

4.4 定义7:如勾弦数均为素数,则称为勾弦素数桥,记为GP(x,z).

4.5 猜测:或许存在勾弦素数桥无穷链——赵常德猜想。

或许存在:GP(x1,z1),GP(z1,z2),GP(z2,z3)……GP(zn1,zn),……,式中n为正整数,取值n=2→¥

参考文献:华罗庚 数论导引 北京:科学出版社 1979年 第313页

                                                                                                                       

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