摘要：勾股弦数可以分为两类。第一类勾股弦数存在勾弦数定理。要构成第二类勾股弦数必须满足充分条件和必要条件；且当x为素数时则不可能产生第二类勾股弦数。作者猜测：或许在第一类勾股弦数中存在勾弦素数桥无穷链——赵常德猜想。

关键词：勾股弦数 勾弦数桥 勾弦数链 素根 必要条件 充分条件 猜想

在正整数域中，存在无数个“孤岛”——素数，它们之间似乎并不存在任何直接的联系。难道不存在按照一定的规则由一个已知素数求出另一个素数，再由这个素数求出下一个更大的素数吗？这就是勾弦素数桥无穷链猜测。

1．勾股弦定理

1.1 由来：三千年前，商高在回答武王之弟周公关于一个直角三角形三边关系的问题时讲：“句广三，股修四，径隅五”。几百年后，周公的后代陈子将其发展为：“求斜至日者，以日下为勾，以日高为股，勾股各自乘，并以开方除之，得斜至日。”公元前二世纪成书的《周髀算经》将上述内容记为：“勾广三，股修四，径隅五。”魏元帝景元四年（公元263年）数学家刘微在他所著《九章算术》中不仅用几何割补法证明了勾股定理，而且进一步研究出不定方程x²+y²=z²的正整数解：5²+12²=13²，7²+24²=25²，8²+15²=17²，20²+21²=29²……等等。

1.2 定义1：如果正整数x，y，z能满足下列不定方程：x²+y²=z²，则称作勾（x）、股（y）、弦（z）数。

1.3 引理1：勾股弦数中x，y可作（x，y）=1的假设。如果（x，y）=d（d>1），由d²|x²，d²|y²，有d²|（x²+y²），则d²|z²，故d|z，即（x/d，y/d）=1，所以可假定（x，y）=1。

1.4 引理2：勾股弦数中的x，y，不能同为偶数，也不能同为奇数。已假定（x，y）=1，故x，y不能同为偶数。如x，y同为奇数，可令x=2m+1，y=2n+1（m，n均为非负整数），即：x²+y²=4（m²+n²+m+n）+2，可见2|y²而4卜z²，这与z为正整数相矛盾，故x，y不能同为奇数。

1.5 勾股弦定理：如果勾股弦数中（x，y）=1，且2|y，则y=2ab，x=a²－b²，z= a²+b²，式中a、b均为正整数，且a>b，（a，b）=1，2卜（a+b）。证明见参考文献。

2．勾弦数定理

2.1 定义2：如勾股弦数满足y>x>0，2|y且（x，y）=1，则称x，y，z为第一类勾股弦数。例如：3²+4²=5²；如勾股弦数满足y>x>0，2|y且（x，y）=d（d≠1），则称x，y，z为第一类勾股弦倍数，例如：10²+24²=26²。

2.2 定义3：在第一类勾股弦数中称x，z为勾弦数。

2.3 勾弦数定理：如果x，z为勾弦数，则z=（x²+1）/2，且2卜z。证：

因 ，即 ；又因x为奇数，可令x=2n+1（n≥1，且为整数），则：z=（4n²+4n+1+1）/2=2n²+2n+1，即2卜z。

3．产生第二类勾股弦数的必要条件和充分条件

3.1 定义4：如果勾股弦数满足x>y>0，2|y且（x，y）=1，则称x，y，z为第二类勾股弦数，例如：15²+8²=17²；如果勾股弦数满足x>y>0，2|y且（x，y）=d（d≠1），则称x，y，z为第二类勾股弦倍数，例如：84²+80²=116²。

3.2 产生第二类勾股弦数的必要条件

由于x>y>0，2|y，且（x，y）=1，可令x=ab（a，b均为大于零的正整数且a≠b），则y=（b²－a²）/2，z=（b²+a²）/2。

因为：（ab）²+（b²－a²）²/2²=（4a²b²+b⁴－2a²b²+a⁴）/4=（b⁴+2b²a²+a⁴）/4=[（b²+a²）/2]²，即x²+y²=z²。由于y>0且为正整数，则必要条件为b>a。

3.3 产生第二类勾股弦数的充分条件

满足（3.2）必要条件的a，b，并不能保证得到第二类勾股弦数，例如：当x=a×b=1×7，即a=1，b=7时可得到y=24，z=25，即7²+24²=25²，但这与x>y相矛盾，得到的是第一类勾股弦数。

由于x>y>0，即有：x=ab>y=（b²－a²）/2，所以2ab>（b²－a²）有 ，故充分条件为： 。

3.4 推理：如x为素数，则不可能产生第二类勾股弦数。因x为素数，则x=a×b=1×b（b为素数），由于2卜x，则b最小为3。虽能满足b>a，但 ，故不能产生第二类勾股弦数，即在第二类勾股弦数中x和z不可能同为素数。而在第一类勾股弦数中这是可能的，如：3²+4²=5²。

4猜测：或许存在勾弦素数桥无穷链

4.1 定义5：勾（x）弦（z）数可以记为G（x，z），称为勾弦数桥。如G（3，5），G（11，61），G（1741，1515541）。

4.2 定义6：如x，z为勾弦数，则称G₁（x₁，z₁），G2（z₁，z₂），G3（z₂，z₃）……Gn（z_n－1，z_n）……（n为正整数n=2→¥）为勾弦数桥无穷链。如果x₁为素数，则称x₁为素根。

4.3 勾弦数桥无穷链举例。（p）为素数，（c）为合数，（待）为待定。

素根3（p），5（p），13（p），85（c），3613（p）,6526885（c），21300113901613（c）（=233×9141797861），2268474262070564032257885（c）（25位）258793773883829501300239451037962017351072336613（待）（49位），……

素根11（p），61（p），186（p），1731661（c），1499324909461（p）（13位），1123987592065117923655261（c）（25位）（=295033×6084157×626167480681），631674053558170970207436821512098200057586489061（待）（48位），19950605496926777142645428377714032046302022746412018398196280014447505247511589206118632630861（待）（95位），……

素根59（p），1741（p），1515541（p），1148432261341（c），6594483229444401461559141（c），……（略）。

素根71（p），2521（p），3177721（c），5048935376921（c），12745975199069738589720121（c）（=134489×24789497×21095308405537），……略。

4.4 定义7：如勾弦数均为素数，则称为勾弦素数桥，记为GP（x，z）.

4.5 猜测：或许存在勾弦素数桥无穷链——赵常德猜想。

或许存在：GP（x₁，z₁），GP（z₁，z₂），GP（z₂，z₃）……GP（z_n－1，z_n），……，式中n为正整数，取值n=2→¥

参考文献：华罗庚 数论导引 北京：科学出版社 1979年 第313页