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新狭义相对论的研究（3）

第二章

袁育才（yuanyucai4722@163.com）2010-2-18

摘要：从原有闵氏实四维时空、、、出发，引入虚、实状态符，把闵氏实四维时空改造为四维表象时空，并建立相应的几何与代数。从而把物理、数学量按虚、实状态符展开为关于状态符的多项式，并定义其运算规则。本文还对状态符矩阵与泡利矩阵的异同进行了比较。

关键词：四维表象时空 状态符矩阵 物理、数学量的状态符多项式 矢量的状态符多项式 矢量的共轭矢量 矢量乘积 矢量的乘积不可对易性

上章对爱因斯坦理论体系若干弊病进行了分析，发现爱氏在创立狭义相对论时，忽视了测量坐标之间的关系，丢掉了光行差在建立坐标关系中的重要作用。根本没有意识到惯性坐标系相互运动时，坐标轴都会发生虚旋转。更失败的是爱因斯坦在实闵可夫基时空中引入了的变换（旧狭义相对论错误地把其称为复闵可夫基时空），遂把光锥以上无边无际的闵可夫基具有四维双曲对称的时空变成封闭的球面，并以此系统能各向对称而沾沾自喜地宣称“宇宙有限无边”，实际上则是使狭义相对论陷入作茧自缚的境地——难以继续进步。

本章的目的是设计出崭新的数学工具。

首要任务是冲破变换而设置的的笼牢，根绝变换的干扰，扫清数学工具变革的障碍，这才能引入虚旋转，使数学工具能符合物理实际。

鉴于闵可夫斯基几何不能描述坐标轴的虚旋转，则可以按新要求给予改造。因为光速不变原理是爱因斯坦体系的精髓，是坐标革命进步并将获得成功的标志，而闵可夫斯基时空源自于光速不变原理，所以对闵氏几何的改造必须保留其基本架构，这样一来，就可在的闵氏时空中，让空间三个坐标轴与时间一个坐标轴，都各自按情况以实部的数值与虚部的数值分别描述四维时空中不同的物理内容。

注意不能蓦然把闵氏四维时空的每个坐标轴都实在地分裂为虚、实二轴，否则，也会与实际不符而失败，必须顾及这样的客观事实：测量时的光行差现象使坐标轴发生虚旋转是由坐标系相对于观察者不可控制之相对运动造成的。这就使得在建立新坐标体系时，既要采用相对固定的坐标以确定研究对象的相对位置，也要能表现测量时的光行差现象使坐标轴发生的虚旋转。也就是说，有虚旋转时，就产生了虚旋转的分量；没有虚旋转时，依然还是使用实坐标轴。于是产生了如下闵氏四维时空的改造方案：

从原有闵氏实四维时空、、、（其中，，，）出发，来构建立能正确描述爱氏狭义相对论思想的空间，分析它应有的结构和相应的数学，从而建立新的闵氏时空及其相应的数学。不妨把这套数学工具，称之为新闵可夫斯基时空几何及其相应的代数，亦可命名为四维表象时空几何及其对应的代数。

§2.1把闵可夫斯基时空改造为四维状态符的表象时空

2.1-1 定义1——实状态符的定义：

设，为虚数，在、、、四坐标轴上分别建立实状态符：1、、、，分别以四阶矩阵给予如下的定义：

，，，（2-01）

注意此处的定义中第一个等号左边的数字1也作为时间轴上的实状态符。在状态符多项式运算中，作为实状态符的“1”常常略去不写。（状态符多项式及其运算的定义，下文给出）

由式（2-01）定义，马上就可以得到

2.1-2 定理1：

，

（以后，状态符之间的乘号“”，与普通代数一样可以略去）

，

，

。

，

，

。

，

，

。

（2-05）。

注意，（2-05）式也可以矩阵的形式写出：

（2-05’） 。

2.1-3 定义2——虚状态符的定义

在定义1之中，曾用四个矩阵以（2-01）式分别定义了1、、、共四个符号，为、、、轴上的四个实状态符，现根据上述定理中的、、、（2-05）三式，再定义、、分别为、、、轴上的新增的虚状态符。

在上章中，曾指出当惯性坐标系之间作相对运动时，必须考虑光行差引起的坐标的虚旋转。按照物理领域的传统习惯，对x-y平面内某量的旋转以z轴上的对应量来表示、考虑这旋转既不是物理实在，但又有物理作用，则应冠之以虚数（）来标识；对z-x平面内某量的旋转以y轴上的对应量来表示，考虑这旋转不是物理实在，但有又物理作用，则也应冠之以虚数来标识；对y-z平面中某量的旋转以x轴上的对应量来表示，考虑这旋转不是物理实在，而同样也有物理作用，则应冠之以虚数来标识。这样一来，空间轴xyz的每一个轴都分裂为实状态符与虚状态符，其中实状态符用来描述空间的矢量，而虚部用来描述光行差引起的坐标旋转。

对时间轴，坐标的虚旋转不像空间轴那样能直观地看出是光行差引起的，但从（2-01）的定义，时间轴的实状态符是，而（2-05）式或（2-05’）式则是时间轴的虚状态符。它由空间轴、、（或、、）共同形成的虚旋转（）引起的。以波函数的相位来理解。

特别注意：本定义中的是虚数（=）作为时间轴上的虚状态符，不要把时间轴上的虚状态符与空间轴上的实状态符混为一谈。也不要把看成是时间轴上的虚状态符与空间轴上的状态符的乘法运算表达式，本身就是空间轴上的虚状态符。同理，、本身分别是、轴上的虚状态符。

根据以上定义，可以看出这样的四维表象时空结构与闵氏时空结构有很大的区别：在新的四维表象时空中，四条四维坐标轴各按状态符（活动地）划分为实部与虚部。其中空间轴、、各自的实状态符为、、用来描述研究对象的位置和矢量，而、、各自的虚状态符、、用来表示坐标轴发生虚旋转或场（光）波的旋量，而时间轴的实状态符1用来表示时间、能量、场势，虚状态符用来表示相位等。

注意以上所表述的状态划分是粗略的，运用时要根据实际情况灵活处理。同时也要注意不要把虚数（=）与状态符混为一谈。

2.1-4 实状态符1、、、与虚状态符、、、所标识之量的物理意义

用与过去使用的数学所对应物理量的意义作比较来理解：

欧氏空间三坐标轴（x、y、z）上的实状态符、、所标识的数值（或数学表达式、或算符表达式）是矢量的空间分量，、、相当于欧氏空间三坐标轴（x、y、z）上的单位矢量。欧氏空间三坐标轴（x、y、z）上的状态符、、所标识的数值（或数学表达式、或算符表达式）相当于赝矢量的空间分量，用来表示（场的）旋量；

时间轴上的状态符1所标识的数值（或数学表达式、或算符表达式）相当于标量，时间轴上的虚状态符i所标识的数值（或数学表达式、或算符表达式）相当于赝标量。

也可以说，用以上定义的新数学工具，就可以把矢量、赝矢量、标量、赝标量等统一地用一揽子办法来处理了。

2.1-5 虚实状态符的优势

虚实状态符1、、、、、、共有八个，它们之间能以乘法运算实现它们之间的转换，好像构成为群，但这八个状态符确实不构成群。笔者认为，这种似群而非群的特性，正说明这八个状态符所描述的对象，既有其对称性，也有其不对称的的情况发生。这将会与物理实际吻合得很好。因为宇宙空间万事万物所显示的，既有其对称的地方，但些不对称现象发生，这八个状态符，正好在处理这类问题时，发挥它这种优势。

例如，往后研究以新狭义相对论推导出电动力学时，我们将看到，电、磁之间有其对称之处，但的的确确也是不对称的。

§2.2 物理量或数学量的状态符多项式及其运算

2.2-1 定义3——状态符多项式的定义

对任一物理量或数学量而言，可以按（2-01）和（2-05’）、等式定义的状态符1、、、、、、、在新的四维表象时空中，展开为状态符的多项式：

（2-06）

其中、、、、、、、为实函数，称（2-06）式为F的一般展开式。在通常的情况下，（2-06）式是运算过程中某一阶段之阶段性结果，或是运算之后出现的结果，而在开始研究问题时，往往都要采用最明显的展开式，即按1、、、展开：

（2-07）

我们称式（2-07）为物量的基本展开式。

2.2-2 去冗余运算

在运算时，某量的状态符多项式中的某些项，会出现一些没有意义的表达式，要根据情况除去这些冗余的部分。该除去的部分不可不除；不该除去的部分也不可当作冗余而除掉，这个分寸一定要把握恰当。（该运算与初等代数解方程式中中出现增根时要视情况予以处理有点类似）

2.2-3 相对论时空中的矢量

对四维矢量而言，可按式（2-06）展开为一般展开式；也可如下按式（2－7）展开而得

（2-08）

称之为四维矢量按状态符展开基本多项式，或者简称为四维矢量

也可依状态符的定义，把四维矢量按状态符展开的多项式（2-08）写为矩阵的形式

（2-08’）

2.2-4 共轭矢量的定义

对式（2-08）中的、、，分别以，，代替时，则得一新的展开式，以表示，于是有

（2-09）

称（2-09）式为（2-08）式的共轭矢量

共轭矢量（2-09）式也可写成矩阵的形式

（2-09’）

把矢量与矢量的共轭矢量相乘，无论把（2-08）与（2-09）相乘、或把（2-08’）与（2-09’）相乘，都很容易证明（略去，读者可自行运算验证）其乘积是可以对易的，并能得到下面的结果：

（2-10）

2.2-5 矢量模方的定义

称（2-10）式为矢量（2-09）式的模方，记以，（2-10）写为

（2-10’）。

2.2-6 四维表象时空几何

四维表象时空中任意点（、、、）可以看成是该点与坐标原点之间的间隔，若按欧氏空间的习惯，把该点看成是由坐标原点（0，0，0，0）到该点的矢量，可按（2-08）式展开：

（2-11）

由公式（2-10），得到有的模方

（2-12）

依欧氏几何的习惯来看，可以看成是该点与坐标原点之间的间隔的平方，根据第一章的（1-13）式，该式是惯性系之间坐标变换的不变量，得到

（2-13）

（2-13）式对任何惯性系都成立，往后（5.4节中）在导出新的坐标变换来代替旧洛伦兹变换时，我们将展示新坐标变换处理这类问题的优点。

由世界线来理解，（2-13）式的几何意义是坐标原点至空间任意点（、、、）的世界线的长度的模，是一不变量，即

（2-14）

2.2-7 定理——四维表象时空中矢量的乘积不可对易性

设、为两个四维矢量，则与的乘积是不可对易的，即

（2-15）

其证明可以把与分别按式（2-08）展开为状态符多项式，各自代人式（2-15）的两边，即能得到证实。

2.2-8 定理——两矢量乘积的共轭矢量等于两矢量各自的共轭矢量的倒序积。即

（2-16）

证明很简单，读者可以分别把与展开为算符多项式，代入到（2-16）式等号的两边，即可证明。

需要注意的是，状态符1、、、、、、、相互间也有乘法运算关系，但它们并不构成群，不属群论的范畴，切不要把它与群混淆。

注意状态符反映了狭义相对论时空只有双曲对称性，而不是球面的各向对称性。这点应特别注意。

§2.3 状态符矩阵与泡利矩阵的比较

在量子力学发展的历程中，泡利对自旋研究，蜚声科坛，是研究微观粒子的运动的基础理论。而他当年对自旋规律反复思考钻研的过程，更是跌宕起伏，耐人寻味，是科研创新的特级教材，永远是后生们学习的榜样。

2.3-1　　实状态符矩阵与泡利矩阵有相同的性质

当年，泡利研究微观粒子自旋时，给出的泡利矩阵为

，， （2-17 ）

其中，。由（2-17 ）式马上可以得到

（2-18 ）

（2-19）

（2-20）

（2-21）

（2-22）

把（2-18 ）、（2-19 ）、（2-20 ）、（2-21）（2-22）与§2.1节中的定理、、、、、、（2-05）比较，可见泡利矩阵与实状态符、、的矩阵有相同的性质。

2.3-2 状态符矩阵与泡利矩阵的物理意义不同

不能抓住实状态符矩阵与泡利矩阵性质相同这一点，就认为两者没有区别、互通使用。首先得知道：这两类矩阵的结构不同：泡利矩阵是二阶矩阵，只有形如（2-17）的三个矩阵，这三个矩阵有（2-18 ）、（2-19 ）、（2-20 ）、（2-21）（2-22）的性质；而状态符矩阵是四阶矩阵，共有八个：

，，，，

，，，

（2-23）

其中第一矩阵为时间轴上的实状态符（1）矩阵；第五矩阵为时间轴上的虚状态符（）矩阵；第二、三、四矩阵为空间轴上实状态符（、、）矩阵；第六、七、八矩阵为空间轴上虚状态符（、、）矩阵。

这八个矩阵之间，有、、、、、、、、、、（2-05）的关系。

其次要知道，这两类矩阵矩阵描述对象不同，泡利矩阵用来描述微观粒子自旋状态；而状态符矩阵是用来标明四维状态表现时空中各坐标轴上数值的物理意义。

更重要的是要明辨这两类矩阵的本质区别，即微观粒子的自旋产生于微观粒子的内禀角动量，内禀角动量的机理是什么？至今仍是未解之谜；但对四维状态表现时空的状态符来说，则源自于惯性系间相互运动发生的光行差而引起坐标的虚旋转。

可见状态符矩阵与泡利矩阵迥然不同。

新狭义相对论的研究（3）第二章四维表象时空的结构及其相应的代数【结束】

下接新狭义相对论的研究（4）第三章 四维表象时空中的粒子运动学

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