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[摘要] 本文提出了曲面镜成像的基本原理，解决了球面镜成像原理及其正确的作图方法，还解决了圆锥曲面镜成像原理及其作图方法的问题。根据本文给出的曲面镜成像原理及其作图方法，可设计制造出性能优良的光通信器件。 关键词：费马原理，高斯公式，几何光学特性，激光谐振腔，光通信器件 一 前 言 费马和高斯是两位对光学有重大贡献的科学家。费马发现了“光从空间一点传播到另一点，所走的路程为极值的光传播原理。”高斯在球面镜的近似作图方法中，从极值原理出发发现了球面镜成像公式。但是高斯和后来者，始终都没有找到球面镜成像的正确作图方法，也没有人能从球面镜成像作图的结果中导出过球面镜成像公式。球面镜成像作图，长期都是在近轴作图上兜着圈子。 球面镜成像是有准确作图的方法的，并且能从准确作图的结果中直接推导出球面镜成像公式。由此可见，现存的物理学定律不全都是完美而正确的，科学研究是无止境的。 光纤通信，使现代通信跨上了一个新的台阶。光通信质量和效率的提高，光通信器件是关键和核心。在现行的光通信器件中，光效大和光耗散还有许多问题急需解决。本文提出的曲子面镜成像及作图理论，是光通信器件的设计基础。根据这些理论，可以设计出性能优良的光通信器件。 二 光的传播特性及成像原理 光通信用的光导纤维，是直径很小的玻璃丝。因此，在光纤中传播的光波，是波长极短的波，用几何光学原理来处理光通信技术问题，是很合适的。 几何光学表明，光是沿直线传播的。光在传播中遵守独立传播特性；光在同种媒质中传播遵守反射定律；光在不同媒质中传播遵守折射定律。 在光通信器件中，平面镜和球面镜应用较为广泛。但是，这两种镜片的光耗散都较大，对远距离的光信号传输是很不利的。要提高光通信的效率，就要寻找更好的光放大器。 在现行的光学著作中，曲面镜成像的作图仅有球面镜成像的介绍，而且只是近似的（近轴）作图方法。国际奥林匹克物理竞赛中，球面镜成像问题，也是按近轴作图方法处理的。近轴方法作出的图，既不符合费马原理，又不能从中得不高斯公式。本文介绍的曲面镜成像原理及其作图方法，所得到的结果既符合费马原理，又能从中得出高斯公式，这就为光通信器件的设计奠定的理论基础。 三 曲面镜成像原理及其正确的作图方法 在这里，我们将介绍球面镜、抛物面镜、双曲面镜、椭球面镜的成原理及其作图方法。圆锥曲面镜，是最有用处的曲面镜。对于一般的曲面镜，也可以参照圆锥同曲面镜的处理方法处理。 1 球面镜的成像原理及其正确的作图方法 根据费马原理：“光从空间一点传播到另一点，是沿着光程为极值的路走的。”球面镜成像原理及其正确的作图方法如下图所示： 〈图一〉所示，凹球面镜成像的正确的作图方法是： （1）从物A作通过球心C的入射光线ACM，交镜面于M，其反射光线必然是MCA。 （2）从物A作射向顶点O的入射光线AO，其反射光线必然为OP，必有∟AOC=∟POC。 两条反射光线MA和OP的交点Á既是A的像。 〈图二〉所示，凸球面镜成像的正确的作图方法是： （1）从物A作射向球心C的入射光线AC交镜面于G，其反射光线必然为GA。GA的延长为GC。 （2）从物A作射向顶点O的入射光线AO，其反射光线必然是Oq。Oq的延长线为ON。 GA和OP两条反射光线的延长线GC和ON的交点A，既是A的像。 分析：曲面镜成像作图，实质上是借助于特殊光线，根据光传播走极值路径的道理，由光的反射定律来完成的。物为一点A时，（1）从A射向顶点O的入射光线A0，反射光线必为OP。因为0是顶点，主轴OY必然是法线，入射角必然等于反射角。（2）从A通过球心C的入射光线在镜面上反射后，反射光线必然与入射光线重合。也就是说，入射光线，法线，反射光线三者合而为一。光从A到Ã所走的路程，必然为极值，所成的像一定是正确的。 2 抛物面镜面像原理及其正确的作图方法 抛物面镜的成像原理与球面镜成像原理一样，利用光的反射定律，找到特殊入射光线及其反射光线，就可作出正确的物与像的来图。 抛物面有一个准确焦点，焦点有特殊的光学性质，即平行于主轴的入射光线，在抛物面上的反射光线必然通过焦点F；通过焦点F的入射线，在镜面上的反射光线必然平行于主轴。抛物面成像作图，就是利用这些性质得出结果。
〈图三〉所示的作法如下： （1） 从A作射向顶点0的入射光线AO，其反射光线必为0q，且有∟A0X=∟q0X。 （2） 从A作平行于主轴的入射光线AG，其反射光线为GP，GP必通过焦点F。 （3）还可以从A作通过焦点F的入射光线，其反射光线必然平行于主轴（图上未画出）。 两条反射光线0q，GP的交点Á，既是A的像。实质上，任意选取上述三条反射光线中的两条，所得出的交点都是A的像。 〈图四〉所示的作法是： （1）从A作射向顶点0的入射光线A0，其反射光线必定是0P，而且∟AOX=∟POX，反射光线PO的延长线为Oq。 （2）从A作平行于主轴的入射光线AG，交镜面于G，其反射光线GH，反射光线CH的延长线GN必通过焦点F。
3 双曲面镜成像原理及其正确的作图方法
〈图五〉的具体作法是：
（1）从物A作射向另一个焦点 （2）从A作射向顶点0的入射光线A0，其反射光线为0M，且∟A0X=∟M0X
〈图六〉的具体作法是： （1) 从A作射向顶点0的入射光线A0，其反射光线必为0P, P0的延长线为0H。
(2 ) 从A作射向焦点 两条反射光线0H和Gq的交点Á，即是A的像。
4 椭球面镜的成像原理及其正确的作图方法 椭圆面的光学特性是，经过一个焦点的入射光线，在椭球面上的反射光线必定通过另一个焦点。椭球面镜的成像原理及正确的作图方法，就是光的传播特性和椭球面的性质相结合的产物。 〈图七〉的具体作法是： （1）从A作射向顶点0的入射光线A0， 其反射光线为0P，且有 ∟A0X= ∟P0X 。 （2）从A点作通过焦点F1的入射光线交镜面于G，其反射光线Gq必须通过另一焦点F2。 两条反射光线0P和Gq的交点Á即是A的像。 〈图八〉的具体作法是： （1）从A射向顶点的入射光线A0，其反射光线必然是0P，而且有∟A0X=∟P0X。 （2）从A作射向焦点F2的入射光线AG交镜面于G，其反射光为GB，GB的延长线Gq必通过焦点F1。 两条反射光线0H和Gq的交点A，即是A的像。 以上四种曲面镜的成像原理及其作出的图形，都可以用变分方法来证明它们的正确性。为减少篇幅，我们仅以球面镜为例加以证明。 1 证明〈图三〉的作图结果符合费马原理 过球面顶点O作切线OX，且使OX与AOP在同一个平面内。分别从A和Á向OX作垂线AT和Ág，T和g为垂足。令A到Á的光程为L，则
对（1）式进行一次变分，并令其结果等于零，求出光程的极值
（2）式实际上就是 S i n ∟A0X=S i n∟Á0X -----------------（3） （3）式正是光的反射定律表达式，是光走极值路程的体现，符合费马原理，作图结果完全正确。 （图四）所示凸面镜成像作图的结果，一样能证明光走的极值路程，遵守反射定律、符合马原理，证明省略。 2 证明〈图三〉的作图结果能自然得出成像公式 分别从A和Á向主轴作垂线AS和ÁŚ，得相似三角形∆AS0 ~∆ÁŚ0；∆ASC ~∆ÁŚC，由两组相似三角形得到
令物距SO=u 象距 ŚO=v 球面半径为R，将这些参数代入（3）式并经过移项整理得到：
（5）式就是凹球面镜的成像公式。若是对（图四）采用同样的方法处理，可以得到凸球面镜的成像公式
四 圆锥曲面镜在光通信器件中的应用 这里仅举几个应用例子以示说明，详细应用，另文陈述。
1 利用椭球面镜产生强激光 椭球面有两个焦点，椭球面的光学特性表明，从一个焦点上发出的光，经椭球面反射后，都汇聚于另一个焦点上。 将高压氙灯放在焦点F2上，灯光经反射后汇聚于F1上。将激光生成材料（红宝石、钕玻璃）放在F1上，氙灯的强光功率将它们受激辐射出强烈的激光。在焦点F1处放一个凹曲面镜，可以将强激光导引出来，用在通信、医疗、工业、军用等方面。 2 利用抛物面镜输出平行光 如果在[图九] F1 的位置上放上一个抛物面镜，使抛物面镜的焦点与F1 重合，抛物面镜将按选定方向，输出高效平行的激光。 [图十]所示，抛物面镜将提供单色性好的平行光源，在光通信，激光 测距，医疗等各方面都很有用途。 3 改进现行的光放大器 现行的光放大器，激光谐振腔，观测仪等，大都采用平面镜和球面镜， 耗散都比较大，尤其是平面镜。光纤通信，尤其需要耗散小的光通信器件。 为了提高光纤通信器件的性能，应当将圆锥曲面引入光通信器件中。 从前人们不大量采用圆锥曲面镜的主要原因：一是没有找到曲面镜成像的正确作图方法，二是加工这样一些曲 面镜比较困难。本文提供的曲面成像原理及其正确的作图方法，为设计和安装曲面镜仪器提供了根据。另一方面， 现在电脑数控机床问世，给加工各种曲面镜提供了方便。光通信器件的设计制造，可以大量采用性能优良的曲面镜 了。
参 考 文 献
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杨金城 （127389226@163.com） 上传2007.05
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的入射光线AG交镜面于G，其反射光线必通过焦点
得GP 。
两条反射光线GP和0M的交点Á，既是A的像。
,反射光线的延长线Gq 。
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和 
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--------------（6）
