摘要：在日常生活中本人发现了不同于欧氏、黎氏、洛氏三角形的第四种空间三角形。根据《惯性原理探讨》中对直线的相对性分析得出，任何直线都是相对的都具有曲率，因此我们分析出，对任何三角形的研究都要通过角和边弧度及边长研究才能得出正确结论。

关键词：欧几里德几何学 黎曼几何 学 洛巴切夫斯基几何学 直线的相对性 曲线的相对性

1空间三角形内角和分析

引言

在几何学中存在着具有代表性三种几何体系，欧氏几何、黎曼几何。洛巴切夫斯基几何这三种几何学个成体系互不相融，同时存在于数学领域之中。如果用几何图形来准确表示它们，那就是三角形表示法。即欧氏几何学三角形ABC中A+B+C=180度；如图（1） （1） （2）

（3） 黎曼几何学三角形ABC中A+B+C>180度，如图（2）；而在洛巴切夫斯基几何学三角形ABC中A+B+C<180度如图（3）。我们现在称图（2）几何空间为正曲率二维空间；称图（3）几何空间称为负曲率空间。由此而得出以下结论：曲面上的三角形内角和大于180°，则称为正曲率二维弯曲空间；如果曲面上的三角形内角和小于180°，则称为负曲率空间。然而这个结论并非正确的。

在我们日常生活当中有时会发现这样的三角形，如图 （4）此种三角形不论三角形内角和是大于180°、等于180°还是小于180都不符合以上结论，此三角形既不是欧氏空间三角形，也不是黎曼正曲率三角形，也不是洛氏负曲率二维空间三角形。很明显，在图（4）三角形中，包含着欧氏几何学、黎氏几何学和洛氏几何学三个系统的内容。这里就出现了欧氏几何学与非欧几何学统一的问题。

从图（4）中我们可以看出，对于一个扭曲的曲面我们不能用或正或负曲率二维曲面空间来描述，我们只能通过描述扭曲曲面的三条边线的性质来分析复合曲率曲面三角形的性质。

2　曲线的性质

　已知三条光滑曲线L1、L2、L3交于O点且L1=L2=L3如图(5)，易见R1>R2>R3　 　则有三条曲线弧度L1>L2>L3　.

在《惯性原理探讨》中，我们已经认识到直线是相对的，它是狭义惯性运动曲线的一小部分，是人为的规定。一段曲线被认定为直线，则此直线的曲率被认定为零，而不是绝对为零。因此当我们认定L2为直线时，则L1、L2、L3三条曲线就出现视觉变形。如图（6） 从图（5）（6）的形态看是两个不同的坐标图像，而这两个坐标图像是针对同一个事物形态描述的。之所以产生不同的视觉图像主要问题出在参考系的选择上，对于图（5）的坐标描述是以O1O2直线为参考直线；而　图（6）的坐标描绘是以L2为参考直线。从图（5）与图（6）对比，我们可以看出，不论是直线还是曲线，都有其固有的指向狭义惯性系心的法向量和曲率。而直线段只是相对直线，是人为的认定。当一条曲线被认定为直线时其曲率也被认定为零〔如图（5）中L2〕。此时其本质没有发生任何变化，其仍然具有法向量和曲率，且法向量并非是无穷大。对于图（6）中的L1的曲率我们规定其为负值。其法向量也认定为负向量。（规定法向量指向参考图形重心方向的为正向，反之为负向量。）

由于直线都是狭义惯性直线，因此每一条参考直线都有其特有曲率和特有法向量。致使所有的参考直线相对于空间各向量不是平权的。欧氏几何学直线相对与空间各向量是平权的，实际上也是相对平权，也是人为的粗略认定。

由于光滑曲线的法向量是指向圆心的射线，因此连续曲线各点的法向量相交于圆心。各法向角大小不同，曲率相同。因此得出以下结论：

曲率相同的连续曲线曲率法向量必交于一点。　

由以上结论可以推出以下结果：如果两条曲线的法向量相交于一点，则两条曲线的曲率是同号。

如果两条曲线的法向量方向相反，则此两条法向量不相交于一点。法向量方向相反的两条曲线曲率为异号。

3空间三角形内角和分析

由于直线的弧度为180°，光滑曲线的弧度为　180°+α，而负曲率曲线的弧度为180°－α。由于封闭曲线的总弧度为2*180°或2K180°。（K为常数）

在三角形　ABC中，则有A+B+C+L1+L2+L3=2K*180°，所以有

A+B+C=2*180°－（L1+L2+L3)，当L1、L2、L3都为非零正曲率曲线时，

L1+L2+L3=3*180°+β<4*180°　其中β＝α1＋α2＋α3<180°所以

2K*180°+180°<A+B+C<2(K+1)180°此结果与黎曼几何学相符。

当L1、L2、L3的曲率为零时，L1+L2＋L3＝3*180°所以

A+B+C=2K*180°－（L1+L2+L3)=2(K-2)*180°＋180°此结果与欧氏几何学相符。

当L1、L2、L3为非零负曲率曲线时L1+L2+L3=3*180°－β<4*180°所以

2（K－1）*180°<A+B+C<2(K－1）180°＋180°此结果与洛巴切夫斯基几何学相符。

如果三角形三边不是统一符号曲线时三条边的和弧度为：

2(K－1）*180°<L1+L2+L3<2K*180°所以2(K－1）*180°<A＋B＋C<2K*180

如图（7） 由于此三角形三边弧度和的取值范围为（0，2*180°）之间，而内角和取值范围也为（0，2*180°）之间。因此我们无法用三角形内角和的取值范围来判断三角形二维空间的性质，只有通过对三角形三边性质的分析才能了解三角形性质。

如图（8） 所示三角形ABC中虚线部分为欧氏三角形ABC且等边。实线部分三角形ABC中　－AB弧＝BC弧。

　 不论实线弯曲的三角形ABC还是虚线三角形ABC,其内角和都是180°但两个三角形有着本质的区别，因此我们无法用三角形内角和数值的大小来判定三角型的性质。

　4　结论

通过以上分析我们得出一个重要结论。在现存几何学中的三角形内角和判定定理是不正确的。即三角形ABC的内角和大于180°，则此三角形为黎曼空间三角形；三角形ABC的内角和等于180°，则此三角形为欧氏三角形；三角形ABC的内角和小于180°，则此三角形为洛巴切夫斯基空间三角形。此三结论不正确。

只有通过三角形三边性质的分析才能了解三角形所在的性质。这样不但使欧氏几何空间与非欧几何空间统一起来，而且扩宽了欧式几何学与非欧几何学得研究范围。这对数学的发展具有很好的意义。

参考文献：
（1） 作者：闫赤元 《惯性原理探讨》发表于《中国当代思想宝库》06年6月版 《发现》杂志社发行。
（2）作者: 陈维桓，李兴校 编著 黎曼几何引论（上册）――北京大学数学教学系列丛书 北京大学出版社 出版日期: 2004-1-1
（3）作者: B.H.科士青 《几何学基础》 出版社: 商务印书馆 出版时间: 1954-00-00