【内容提要】：本文从数学和哲学意义上阐述了时空概念，并介绍了牛顿力学的绝对时空与广义时空相对论的相对时空及其坐标变换。同时指出，量子力学与牛顿力学的时空观念都是建立在“相互作用传播速度为无穷大、同时性是绝对的”前提假设之上，因而都属于抽象时空（即数学时空）。在抽象时空中，虚数时空坐标代表着时空反演；在相对论中，时空坐标与观测者的所在位置有关，因而虚数时空坐标没有现实意义。这样一来，统一描述微观与宏观世界的物理规律时必须使用11维时空的数学模型，其中包括8维绝对时空坐标(4维实数加上4维虚数)与3维相对时空坐标。随后，分别讨论了虚数空间、波粒二象性、德布罗意波、以及薛定谔方程的物理本质。

【关键词：牛顿力学 广义时空相对论 量子力学 波粒二象性 德布罗意波 薛定谔方程】

一 11维时空坐标的构成

就广义的空间概念而言，它是接受了黎曼（B. Riemann）的关于“同类现象的连续集合可以解释成某种空间”的思想（参见【1】第168页）。黎曼是从几何学的意义出发，对于“空间”这个概念做出了普遍性的定义。不难看出，这个定义与哲学上的定义并行不悖。

诚如所知，从哲学的意义上来讲：空间是人们对于“物质存在形式的普遍性特征”所作的主观描述（即表象）；时间是人们对于“物质运动过程的普遍性特征”所作的主观描述（即表象）。物质存在形式的“普遍性特征”与“同类现象的连续集合”这两个概念，从根本上说，具有相同的物理意义与哲学内涵。

其中，“时间”是单向的流逝，所以在“相对论效应”可以忽略不计的物理领域中，即在假设了“相互作用的传递速度为无穷大、同时性是绝对的”前提条件下，可以用绝对的时间坐标来描述一切物体的运动过程（即，，），这就是牛顿(I. Newton)力学的“绝对时空”的物理本质。

相反地，在必须考虑相对论效应的物理领域中，对于不同位置（和系）上的观测者而言，就必须用的关系来表示时间坐标，这就是“广义时空相对论”的时空观念。在广义时空相对论中，时空是4维的，即用于描述物体存在形式的3维空间和用于描述物体相对运动过程的1维时间。在这里，空间坐标与时间坐标是相互独立的。

进一步地说，在广义时空相对论中（参见【2】第54~73页,第138~142页），如果我们用一根线段（）来代表一个事件的运动过程，那么在这根空间线段的起点A与终点B之间，包含着传递运动信息所需的滞后的时间过程（这是一个最短的时间过程），即存在着起点与终点在时间记录上的“不同时性”（其中是A和B两点之间的空间距离，是相互作用的最高传递速度）。换言之，站在运动事件起点处的观测者和跟随事件一起运动的观测者，对于同一个客观事物运动过程的记录（即从起点到终点的时间坐标），会得出两种截然不同的记录结果：当事件由起点A到达终点B时，起点A处的观测者所得出的时间坐标为；而跟随事件一起运动的观测者所得出的时间坐标为。在和之间，存在着的内在联系。其中，是起点A处的观测者接收到运动事件到达终点B时所需的最短的滞后时间。于是，我们根据客观性原理——客体具有不依赖于主体的客观内容——确立了间隔相等（）的关系式，从而导出广义时空相对论的变换公式，即

(1)

相反地，对于量子力学的来说，它所使用的空间叫做“相空间”。相空间本身也属于“抽象空间”。抽象空间也就是“数学空间”或“绝对空间”。这种空间的坐标变量也是建立在“相互作用的传播速度为无穷大，同时性是绝对的”前提之下。这种前提下的空间坐标（）和时间坐标（）不仅与牛顿力学的空间坐标和时间坐标完全一致，而且与欧几里德(Euclid)几何所定义的“抽象线段”也完全一致！

那么，究竟什么是相空间呢？

诚如所知，量子力学是一种统计理论。统计物理中处理的（即描述的）是大量微观粒子的统计平均行为，在给定的宏观物体系统中，每个时刻系统中大量微观粒子的“运动状态”都可以集中地用一个“代表点”来描述。人为地把所有可能出现的代表点集合到一起（即同类现象的连续集合），就构成了“广义时空”的概念，这种形式的“连续空间”被称为“相空间”，由相空间代表点构成的系统叫做“系综”。

不难理解，把大量微观事件的平均行为集中起来加以研究，就等于排斥了单个粒子的具体行为（即运动特征）。由此所定义的空间和时间，从本质上说，也是一种“抽象空间”与“抽象时间”，它们与牛顿力学的抽象空间和抽象时间具有相同的物理意义，都是建立在“相互作用的传播速度是无穷大、同时性是绝对的”前提假设之下。

正因为量子力学的空间和时间属于抽象时空,所以它们的实数坐标和虚数坐标也同牛顿力学的坐标一样，即：实数坐标代表着实物粒子的真实运动；虚数坐标代表着真实运动的“时空反演”。这样一来，在量子力学中，描述微观粒子运动行为的时空坐标就需要8维。其中，3维实数的空间坐标和1维实数的时间坐标代表着微观粒子的真实运动；3维虚数空间坐标和1维虚数时间坐标代表了这个粒子运动状态的时空反演。

与牛顿力学和量子力学的绝对时空观念根本不同，广义时空相对论的相对时空观念是建立在“相互作用传递速度是有限的，同时性是相对的”基础上，它的虚数空间坐标与虚数时间坐标均不能代表物体运动的镜像对称（即时空反演）。不过，在两种根本不同的时空理论之间，只有代表物体运动过程的时间流逝是客观存在的，即系中记录的时间坐标（）与量子力学中的时间坐标（）具有等同的物理意义；代表相对时空意义上的空间坐标和时间坐标，即系中记录的时间坐标（）与系记录的空间坐标（），将会因人而异，因而不是一个符合客观实际的物理参数，那么它的时空反演也就毫无意义。须指出，单纯从字面上，看爱因斯坦（A. Einstein）相对论的时空观念是相对的，但在实际上，爱因斯坦的相对论并没有从根本上摆脱牛顿力学的时空观念（参见【2】第43～53页）。

由此而来，统一地描述宏观和微观世界物质客体的运动行为必须利用绝对时空中的8维时空坐标与相对时空中的3维空间坐标，即11维时空坐标（8＋3＝11）的数学模型。须指出，在这里，绝对时空中的抽象时间坐标（）与相对时空中的时间坐标（）具有相同的物理意义，因而可归类成1维的时间坐标。而其余的10维时空包括：1维虚数时间、3维实数绝对空间、3维虚数绝对空间、以及3维实数相对空间。这里之所以把实数相对空间坐标与实数绝对空间坐标分离开来，其根本原因在于：相对空间坐标的起点对不同观测者来说是截然不同的，其空间尺度也就因人而异，它的虚数形式便没有物理意义。

基于上述理由我们推断：这种11维空间的数学模型正是“超弦理论”能够成立的物理基础。即是说，物质并非是在11维的超空间（即膜空间或M空间）上运动，而是建立“大统一”的物质运动规律时，必须同时满足宏观物理的广义时空相对论与微观物理的量子力学对时空坐标的基本要求。换句话说，要想统一这两个领域上的运动规律，只能采用11维时空结构的数学模型。因此说，超弦理论认为“过去关于空间的观念都是错误的，空间正在以一种陌生的令人惊讶的方式活动着”的观点是荒谬的！

顺便指出，当前流行的超弦理论认为，在客观世界中并不存在基本粒子，只有弦在空间运动，各种不同的粒子只不过是弦的不同振动形式而已。自然界中所发生的一切相互作用，所有的物质和能量，都可以用弦的分裂和结合来加以阐释。问题是，弦并不是在通常的三维空间运动，而是在我们根本无法想象的多维空间（即11维空间）中运动。

二 虚数时空的物理意义

下面，我们以上述观念为基础，来讨论理论物理学现有的几个重大学术课题。为此，需要先来探讨一下“时空镜像对称”的数学形式。诚如所知，时空镜像对称的数学形式为：

（2）

上式可写改成：

（3）

不难看出，上式的右边为实物，左边为该实物的镜像。镜像对称是一个动态过程，即镜外实物怎样动作，镜内影像将以镜面为对称作完全相反形式的动作。

我们从式（3）的右边拿出一项变成：

（4）

其中，为作用量；为微观粒子的动量。从式（3）的左边提取一项，并改写成：

（5）

对于微观领域，我们需要将式（5）改换成量子化的数学形式。为此，我们需要把普朗克(M. Planck)常数当成作用量的最小单元，于是则有

（6）

其中的普朗克常数。由此，式（2）可以改写成：

(7)

上式还可以表示成无穷小的形式，即

（8）

或者写成

（9）

从普遍的意义上来说，如果我们用实数的空间坐标代表实物粒子的空间位置，用代表实数空间位置所对应的虚数坐标，并利用代表实物粒子动量的镜像，那么，一个实物粒子的最小作用量将被限制在普朗克常数（）之内（参见图1），即

（10）

不难看出，这个微观空间与庞加莱(J. H. Poincare)空间类似，是一个有界的、非连续的空心球，就如同一个半径为的气球。

诚如所述，这里的虚数坐标之所以具有物理意义，关键在于：量子力学的时空观念同牛顿力学的时空观念一样，都是建立在“相互作用传递速度为无穷大，同时性是绝对的”前提之上。在绝对同时性的前提下，粒子的空间坐标和粒子的动量既可在实数空间中确定，也可以在虚数空间中确定。对于11维时空的数学模型而言，如果我们用实数坐标来确定粒子的位置，就可以同时用它的虚数坐标确定粒子的动量。反之亦然。

至于说微观粒子是否刚好被限制在以普朗克常数为界限的庞加莱空间之内，这取决于我们如果看待普朗克常数。从物质的“无限可分性与分割过程的阶段性是对立统一的”基本观点出发，我们没有任何理由相信普朗克常数是宇宙中物质存在的最小单元。因此说，庞加莱空间也不会是物质存在形式的“最小体积”。同样，海森伯(W. K. Heisenberg)测不准原理只有相对的物理意义，因而不能作为微观领域上的一个不可逾越的界限。

三 波粒二象性的微观本质

上一个问题的述讨论正确与否的关键是，微观粒子究竟是否真的“在以为半径的空心球（庞加莱空间）内作匀速圆周运动”。为了证明这一点，我们需要引进广义时空相对论的理论结果。按着广义时空相对论的理论结果（参见【2】第178页），对于一个匀加速运动的物体系统，应该存在着

（11）

的变换关系。将上式代入下述的关系式

（12）

并引入“相对加速度”的概念

（13）

便可以得出

（14）

利用相对速度（）与绝对速度（）的变换关系，并注意到法向的相对加速度

（15）

式中，为圆频率。利用式（15）可以将式（14）改写成

（16）

——这就是在均匀外力作用下物质运动的微分方程。

不难看出，上式右端的第一项为切向相对加速度，第二项为主法线方向上的相对加速度，它代表了匀速圆周运动，也代表着一种圆频率为的波动。——这一点正是微观客体具有“波粒二象性”的物理本质。

假设一个质量为的微观粒子与真空标量场的相互作用，导致了这个微观粒子被限定在庞加莱空间内作匀速圆周运动，其圆周运动的半径为，线速度为，那么这种周期运动的数学表达式为

（17）

式中，为质点的位移，为角速度，为初相，为时间坐标，为波的振幅。这种运动状态的投影如图2所示。

进一步地说，假设有一个恒定的外力作用于一个质量为的微观粒子，那么这个粒子将在的方向上产生加速度，并形成一个绝对速度为（即从系上看到的和系重合时的坐标原点的位置）。当作用力撤销后，这个粒子将以撤销前最后一刻所达到的绝对速度保持匀速直线运动。这个匀速直线运动与匀速圆周运动的合成结果，使它的运动轨迹不是一条直线，而是绕着前进方向公转与以自己的质心为圆心、不停地自转所形成的一条“螺旋线”（形似一个均匀的弹簧）。正因为这样，所以才造成：不仅大量微观粒子单独的、先后的通过“狭缝”时，在统计分布规律上，表现出了波动图像；而且在多个微观粒子同时通过两条狭缝时，出现了具有波动特征的干涉条纹。

四 德布罗意波微观本质

微观粒子具有波动性的观点，是由法国年轻的物理学家德布罗意（L. de Broglie）首先提出来的。1924年德布罗意首先将光子的两个重要公式推广到微观粒子之上，认为：质量为、速度为的微观粒子，也同样具有如下的关系式成立：

（18）

其中，是实物粒子的能量，是实物粒子的动量。这样，一个实物粒子的运动，既可以用动量、能量来描述；也可以用波长和频率来描述。有时其波动性表现的突出些，有时其粒子性表现的突出些。这就表明了微观粒子本身具有的“波粒二象性”。上述公式被戴维孙（C. J. Davisson）和革末（L. S. Germer）于1927年所作的电子衍射试验所证实。

1．德布罗意波的物理本质

然而，德布罗意假设的频率公式至今未得到验证。换言之，德布罗意波作为波却没有这样的关系。这到底是为什么呢？下面，我们将根据广义时空相对论的理论结果，来探索上述结论。

为此，这里首先假设，在恒力的作用下，质量为的微观粒子，经过了一段时间间隔之后，其绝对速度已经达到了,且移动了一段的距离，其运动质量变为。这里的是跟随粒子一起运动的观测者，在系内测得的粒子本身相对于运动起点（）的绝对速度，这个绝对速度（）与系（以为原点）上的观测者所得出的相对速度（）之间，满足于广义时空相对论的速度变换公式：。

如果恒力作用了一段时间间隔之后被撤消，那么，这个质量为的微观粒子将以恒定的末速度作匀速直线运动。显然，这里的绝对速度是两种速度的合成：一是粒子本身以点为圆心、以为半径、以频率为作匀速圆周运动，其线速度为；二是这个粒子沿着受力方向加速运动之后形成的末速度。这个绝对速度是位于系上的观测者所得出的粒子相对于运动起点的绝对速度。然而，对于系坐标原点（）上的观测者，他看到的运动状况是：这个微观粒子沿着受力方向以螺旋状的运动轨迹匀速前进（见图3）：

假设：在系上的观测者看来，一个质量为的微观粒子与真空微粒标量埸“相互作用能”的测量结果可以写成

（19）

也就是说，站在系坐标原点（）上的观测者看来：质量为的微观粒子、在以点为球心、以为半径的球面上、作线速度为的匀速圆周运动，其周期运动的频率

（20）

将式（20）带入式（19）的右端，可以得出：

（21）

或写成

（22）

由上式可以得出：

（23）

再由式（20）可以得出：

（24）

又

（25）

由以上各式可以得出，粒子在一个周期内走过的路程

（26）

注意到，以及，则上式可以写成

（27）

——这就是德布罗意波长公式（18）的由来。

上述结果证明：一方面微观粒子被束缚在庞加莱空间上作匀速圆周运动；另一方面又沿着受力方向作匀速直线运动。两种运动的合成结果，使微观粒子表现出螺旋状的前进运动。正因为这种运动形式，使微观客体表现出了“波动性”与“粒子性”的对立统一。

2．德布罗意波物理本质的实验证明

下面，我们利用已知的实验结果来验证上述推测的正确性（参见【3】第658～661页）。为此，这里需要回到1927年戴维孙与革末在镍单晶体上所做的电子衍射实验。对于一个初速度为零的电子，假设受到一个加速电压的加速作用，经过了一段加速作用时间后，其末速度变为，那么这个被加速电子最终所获得的动能应为

（28）

根据德布罗意的波长公式，可以得出

（29）

利用上述式（28）和（29），消去其中的电子运动速度，可以得出

（30）

将等常数代入上式，则有

（Å） （31）

按着德布罗意的假设，电子在晶体上反射也应满足布拉格（W. H. Bragg）公式，故有

（32）

由式（28）可以得出，电子的速度与加速电压的关系是

（33）

由此得出

（34）

故有

（35）

式中，

（36）

为常数。

实验表明，当加速电压满足式（35）时，入射的电子有最强的反射，即电流有极大值。定量计算表明，反射最强的加速电压值与实验结果相符，这说明德布罗意的假设是正确的。在戴维孙与革末的实验中，当、加速电压为伏特时，观测到电子流的峰值。镍晶格常数（Å），由布拉格公式求出电子衍射实验值

（Å） （37）

用上述式（31）可以求出电子的德布罗意波长理论值

（Å）=1.66（Å） （38）

显然，理论计算结果与实验结果十分接近。实验结果与理论结果的良好吻合，有力地证明了德布罗意关于“实物粒子具有波动性”的推测是完全正确的。

此外，由这里出发可以得出（参见【4】）：

（39）

进而得出

（40）

由此可见，用的假设与实验结果符合的很好（其误差仅为0.6%）。

顺便指出，计算表明，的值大约是的5000倍，所以，那些关于的推测应该是不正确的。

五 薛定谔波动方程的物理本质

薛定谔(E. Schrödinger)波动方程是量子力学的基本方程。量子力学的正统解释一直认为，薛定谔方程描述的是微观领域中各种力学量的几率波动。然而在量子力学中，导出薛定谔方程的逻辑基础恰恰是“决定论”范畴的“因果律”，而不是“非决定论”范畴的“机遇律”。例如，在创建薛定谔方程时，量子力学明确地指出：因为波函数完全表示纯粹系综，所以从因果律的意义上说，波函数应该决定系综未来的发展。（参见【5】第107～109页）。这句话的数学意义是：由时的波函数应该唯一地决定稍后时刻的波函数。比如，我们考虑到离无限接近的时间时的波函数，于是则有

（41）

因此，从因果规律的意义上说，应该由来确定，即

（42）

式中的是某种算符，它作用在上就得到了。因为是任意选取的，所以我们可以得出

（43）

这里，算符称为对于时间的移动算符，它的形式不能利用量子力学的基本原理来确定，而需要作适当的假设。不难看出，方程式（43）建立在因果规律的逻辑推理之上。

根据态的叠加原理，算符必须是线性的。同时，它不能含有对于时间的导数或者对于时间的积分。因为需要通过式（43）由原始波函数出发来求出波函数。因而，如果假定从到的间隔内，体系不受任何外加作用，其中包括不受任何测量过程的影响，则由这个波函数可以预言在时间时各种测量结果的几率。

算符的正确选择可以考虑利用具有一定动量的自由运动来得出一些暗示，这种运动的波函数是下述形式的德布罗意波

（44）

其中，

（45）

在古典力学中，总能量是动能与势能之和。注意到势能只是粒子坐标x, y, z的函数时，可以写成的形式。类似于古典力学的考虑，我们设想：总能量算符也是动能算符与势能算符之和，即

（46）

而且动能算符的本征值为

（47）

如果把看成动量算符的本征值，那么动能算符便可以改写成

（48）

我们分别用

（49）

代入式（48），并把理解成自由运动的哈密顿（W. R. Hamilton）算符，则有

（50）

式中，是拉普拉斯(P. S. Laplace)算符。

我们直接把波函数代入它所适合的方程，即

（51）

将上式两端同乘以，则有

（52）

利用式（50）可以把上式改写成

（53）

——这就是关于自由运动的薛定谔波动方程。类似地考虑，假设存在着力函数，我们便可以根据式（53）写出薛定谔波动方程的显明形式：

（54）

须指出，薛定谔方程并不是从某一个基本假设出发推导出来的，而是通过实验和一系列假设，用逻辑推理的方式拼凑出来的。它的正确性仅仅是因为能够与实验结果相符合而已。这个方程的最重要特征是其左端的导数前面有虚数单位，这个虚数单位表明等式左端代表得是这个导数的镜像。于是我们得出结论：一个德布罗意波函数对时间坐标一阶导数的镜像正比于它对空间坐标的二价导数。

正因为满足于薛定谔方程的德布罗意波代表着微观粒子的真实波动，所以波函数本身具有双重的物理意义。第一重意义是，在归一化的前提条件下，波函数绝对值的平方代表着：时，在态中粒子体系各种力学量测量结果的几率；第二重意义是，这个波函数乃是微观粒子所具有的真实波动。从二者的相互关系上说，因为有这第二重意义作为物理基础，所以才有这第一重意义。因此我们说：微观粒子的真实波动是构成其几率波动的物理基础。

六 结 论

通过以上讨论可以看出：为了描述微观领域中物体的运动状态，不仅需要利用3维实数空间坐标和1维实数时间坐标（共4维），而且还需要利用3维虚数空间坐标和1维虚数时间坐标（共4维）；实数的4维时空对应着微观粒子的实际运动；虚数的4维时空坐标代表着微观粒子运动行为的镜像。这种描述形式能够成立的根本原因在于：量子力学所引入的时空坐标与牛顿力学所引入的时空坐标完全一样，都是建立在“相互作用传播速度为无穷大、同时性是绝对的”前提假设之下，因而都属于“绝对时空”（即“抽象时空”或“数学时空”）。相反地，在相对论中，只有运动系上观测者所记录的时间坐标同牛顿力学的时间坐标一样，都具有绝对同时性的物理意义；静止系上观测者所记录的时间坐标并不是绝对客观的，而是一个包含着主观因素的物理量，它的数值可借助于坐标变换由其它客观的物理量中获得。不仅如此，而且相对论所使用的3维空间坐标与牛顿力学的空间坐标也有本质的区别，也就是说，不同的观测者具有截然不同的空间起点。因此，为了普遍描述宏观与微观领域上发生的物理现象，就必须用11维（8＋3）的数学模型。不过，这仅仅意味着11维时空的数学模型能够同时满足宏观物理学与微观物理学描述物理规律的需要，而并非意味着时空本身是11维的！

参考文献
【1】《数学—它的内容、方法和意义—》[苏] А.Д.亚历山大洛夫等 编著，王元、万哲先、裘光明 等译，第三册，北京，科学普及出版社出版，1962年5月第一版。
【2】《广义时空相对论》夏烆光著，北京，人民交通出版社出版，2003年1月第一版。
【3】《大学物理》肖忠模、王廷江、李效民主编，北京，经济日报出版社出版，2004年9月第一版。
【4】《德布罗意波的物理图像初探》赵常德 撰文，赵常德专栏 zyfnew@yahoo.com.cn
【5】《量子力学原理》Д.И.布洛欣采夫著，北京，人民教育出版社出版，1956年5月第一版。