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动体电磁理论15.关于麦克斯韦场方程协变性的论证

肖军 （xj5107@163.com）　上传2007.12 访问131

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我们知道，麦克斯韦场方程

(1)

以及由其导出的电磁波波动方程

(2)

在洛仑兹变换式的变换下具有协变性。其实，这仅在特殊情形下成立，在一般情形下，真正能使（ 1）、（2 ）两式协变的变换式应是肖军变换式

(3)

* 发表于<中国学校教育与科研>，中国农业科学技术出版社， 2004。1

式中

(3-1)

(3-2)

;;;;是场源运动速度； 是波前传播方向上的单位矢量。很容易看出，洛仑兹变换式仅是肖军变换式取速度 与坐标轴基矢 同向情形时的特例，由（3）式知，此情形对于沿 方向传播的波前，有变换式

(4)

对于沿 、方向传播的波前，分别有变换式

(5)

和

(6)

显然，（4）、（5）、（6）分别是（ 1 ）式波前沿三种不同方向传播情形时的变换式。可是，爱因斯坦却无视波前沿 及 方向传播情形时存在的变换式 ，错把 和 两式当成两惯性系间的横向坐标分量变换式，而且还要求物理定律在（ 4 ）、（ 5 ）、（ 6 ）三式联合变换下具有协变性，这明显是穿凿附会。

事实上，不同的物理定律应有不同的协变变换式。能使牛顿力学定律协变的变换式只能是伽利略变换式；能使（ 2）式波动方程协变的变换式是（3 ）式，而能使亥姆霍兹方程

（ 7 ）

协变的变换式则是

（ 8-1 ）

和

（ 8-2 ）

式中 、分别是场源在静止和运动两种情形均沿单位矢量 方向上辐射电磁波的波矢长度；； 。

上面提到三种变换式的不变量是不同的，其中伽利略变换式的不变量是空间间隔，（ 3）式变换式的不变量是电磁波的波数 ，(8)式变换式的不变量则是相角。

由于（2）、（7 ）两式均是由（1）式场方程导出，因此可以猜测出，（3 ）、（8）两变换式也一定都能使（1 ）式场方程协变，事实的确如此。首先利用能使（ 7）式方程协变的（8 ）式变换式对（1）式进行变换，结果有

（ 9 ）

由于满足亥姆霍兹方程的电磁场应是横向电磁场，因此， 、 与间存在有右手螺旋关系。根据场的散度方程可知

由于

故有

上式两边同乘以 ，即可得到

另外，根据场的旋度方程又知

上式两边同除以 ，并注意到 ，又可得到

于是有

（ 10）

及

（11）

借助于（11 ）式，（9）式又能进一步写成形式为

（ 12 ）

显然，若令

(13-1)

(13-2)

就可得到与（1 ）式形式相同的场方程

（14 ）

可见，麦克斯韦场方程在（8 ）式变换下具有协变性。

同理可证，麦克斯韦场方程在（3）式变换下也具有协变性。利用（3 ）式对（1）式场方程进行变换，有

（15）

利用（10 ）式和

（ 16 ）

及矢量代数公式 又可证得

（17-1）

（ 17-2 ）

（17-3）

很明显，若把（ 17）式代入（15）式，仍然能够得到（13）和（ 14）式结果。

综上可知，（3）、（8 ）两式都能使麦克斯韦场方程协变，而且由它们所得到的场量变换关系式都是（ 13）式，这种自洽性意味着上面的论证是正确的。

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