统一场理论1.麦氏静电作用理论是建立统一场方程的数学基础

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肖军（xj5107@163.com）　上传2007.12 浏览181

“ 物理学的一个终极目标（爱因斯坦曾经长期追求），便是将包括引力在内的四种力全部统一起来。但是至今还没有人提出过可以达到这一目标的令人信服的方法。有人想按照描述其他三种力的理论来描述引力，但是都失败了。大多数物理学家认为，必须提出崭新的思想才能把引力包括在自然界的统一论之中。 ”

我们知道，电磁力和引力是长程力，它们均与作用距离的平方成反比，作用强度相差 10³⁷倍。核力和弱力是短程力，其作用距离分别是在10^-15 >米和10^-17 >米以内。为建立包含这四种作用力的统一理论，物理学家在量子力学的基础上先后提出过许多理论，如大统一理论、超统一理论，以及近代较流行的超弦理论，它们都是尝试把相互作用当作一种微拢来研究，或看做是通过交换自旋为整数的玻色粒子传递相互作用。笔者在利用麦氏静电场的散度方程讨论被作用电荷激发的电场对源电荷激发电场分布的影响时，结果发现引力、核力及弱力也可由麦氏的静电作用理论来描述，其中弱力是静电作用理论附带的短程作用力，核力是源于荷电粒子周围存在带有等量异号电荷的虚粒子云，引力则是两中性物质间存在静电作用

* 收入《中国当代思想宝库》（2005）一书

的剩余效应，它们都能包含在一个由麦克斯韦电磁理论导出的统一场方程中。

1、完备的静电作用理论

在静电场理论中，电场强度定义为电势的负梯度

（1）

借助于电场强度的定义和场的散度方程

（2）

可知电势满足泊松方程

（3）

由此方程可解得距源点电荷为场点处的电势

（ 4）

将（4）式代入（1）式，能够得到电场强度

（5）

若空间含有电介质，考虑电介质极化后出现的束缚电荷对源电场分布的影响，介电系数应等于，其中为电介质的相对介电系数；为真空介电系数。

上述理论就是我们熟悉的麦氏静电作用理论，其正确性是无可非议，但它不是完备的。在求源电荷对源外电荷的作用势能和作用力时，它没有考虑被作用电荷的加入会影响源电荷激发电场的分布。

如果被作用电荷的加入对源电场分布无影响，被作用电荷在场中所受到的作用势能必是

（ 6）

据此导出电荷受到的静电作用力表达式就是库仑公式

（ 7）

如果被作用电荷激发的电场同束缚电荷一样都能够改变源电荷激发电场的分布。其影响的程度肯定与被作用电荷到源电荷的距离有关。因此，在有被作用电荷存在的公式中，一定存在有与距离有关的系数，它能够反映被作用电荷激发电场对源电荷激发电场分布的影响。

为得到与的关系式，不妨我们把含有电荷 q的（6）式中的做如下替换

（8）

于是，有

（ 9）

类似电介质的相对介电系数，它们都是描述源外电荷激发的电场对源电荷激发电场分布的影响。不同的是描述的是束缚电荷对源电场分布的影响；而描述的是被作用电荷对源电场分布的影响。只要在表达式中存在有被作用电荷，就应该存在有，这如同电介质的相对介电系数，只要有电介质存在，就有。（ 4）式不存在电荷，因此，在（4）式中肯定不存在有。但是，借助于（ 9）式，能够把（4）式写成形式为

（10）

将（10 ）式代入（3）式，可得

（ 11）

如果麦氏静电作用理论是完备的，理论上由（ 11）式应该能够得到结果。为证明究竟是否恒等于1 ，不妨对（11）式做变量替换，并利用

可把（11 ）式展开为

（12）

其中是的函数。显然，欲使在时能够回到（6 ）式的库仑静电作用势能公式上来，其和就一定是常量，而且满足

（13）

也就是满足

若用表示这个常量，就有

（ 14）

可见，仅是情形时的一个特例，由于没有任何证据要求必须等于零，因此，建立在基础上的麦氏静电作用理论不可能是普遍成立的完备理论。

普遍成立的完备理论应该包含情形。把（14 ）式代入（12）式知，在情形，电场作用势能满足的方程是一个二阶常系数非齐次微分方程

（15）

借助边界条件

（ 16 ）

易解得，在情形，电荷q 受到的静电作用势能V是

＝（ 17 ）

由此可求出电荷q 在P 、Q 两点所受到的静电作用势能差是

（18 ）

将上式与比较易看出，电荷q 受到的静电作用力应是

上式也可直接由电场作用力的定义得到。我们知道，电场作用力等于电场作用势能的负梯度，借此定义由（ 17）式可导出点电荷间的完备静电作用力

又由（1）式知

（19）

所以有

（ 20 ）

很明显，在时，力 F与库仑静电作用力相差一个系数。仅当电场是无源心的匀电场时，才可认为是恒为零，此时位于匀电场中电荷受到的静电作用力是库仑作用力。从（ 20）式看出，当两作用电荷之间的作用距离时，其间的作用力由斥力变为吸引力，或由吸引力变为斥力，这是库仑定律所没有的结论。这种转换其实早已被实验所证实，我们知道，两个电子之间是斥力作用，但在晶格中运动的两个电子由于晶格的存在能使两个电子易于靠近，并在电子间有吸引作用，在这种吸引力的作用下，两个电子能够形成电子的“库珀对”。还有对于氢、重氢和离化的氦的精细结构测量所显示的能级位移，发现电子与质子之间存在有弱的、短程的斥力作用，这些实验结果都能看做是支持（ 20）式成立最有说服力的证据。

从（20）式还可看出，无论等于零，还是不等于零，电场强度都是定义为单位电荷所受的库仑力，或定义为电势的负梯度，即

（21）

以上讨论的是两点电荷间的静电作用理论。对于给定电荷连续分布所激发电场，即（ 15）式中的情形时，可设

代入（15 ）式能够导出

显然，就是电势，于是，有

这就是给定源电荷连续分布所激发电场作用位于空间P点处电荷的作用势能V 的表达式。式中中的r是连续分布源电荷体系的质心到场点的距离。根据场的迭加原理，N个相互独立的连续电荷体系所激发电场作用位于空间 P点处电荷的总作用势能是

尤其指出，作用势能 V不能写成

因为它不是（15 ）式方程的解。

从下表易看出，麦氏电磁理论是完备麦氏电磁理论在时的特例。如果考虑被作用电荷激发的电场对源电荷激发电场的影

	麦氏理论结果	完备麦氏理论结果
散度方程
电势
电场强度
作用势能
作用力

响，就需要引入常量。引入后，只是电场的作用力和作用势能的表达式比麦氏电磁理论中的相应公式多了一个与 r有关的无量纲系数，而电势和电场强度的表达式仍然是麦氏电磁理论中的相应公式。

关于常量的确定，目前还不能从理论上直接给出，不过从（17）、（20）两式可知，的物理含义是电力作用势能达到极值时的作用距离。很明显，若要电势能及电场力在没有无穷大奇点，是不能取零。不为零意味着有最小值，有足够的证据表明与两作用物体的质量M 、m有关，并满足

(22)

式中和分别是两作用物体的质量； =;是普朗克常数 ; 是光速 ; 是牛顿万有引力常数。在以下情形，式（ 22）可简化为

1) , 当>>时;

2) , 当<<时;

3) ，当=0时。

易验证，无论 M、m 取何值，都不会小于。

2、弱力场是静电作用理论附带的短程作用

非齐次常系数方程（15）式在情形有两个线性无关解，除了有（17）式长程静电作用电势能解外，在情形时，还同时存在有一个短程静电作用电势能解是

（23）式中是短程电场的最大作用距离；是具有电势量纲的常量。据实验测定，短程电场的作用强度是长程电场作用强度的倍。导至这一结果的原因可能是在短程电场的作用空间内介电常数不再是等于真空介电常数，而是等于1。如果是这样，则可令

于是，（23 ）式可写成

（24 ）

其中是长程电场的作用势

（24 ）式就是弱力场的作用势能，由其导出的弱场作用力是

（25）

可见，短程电场（即弱力场）与长程电场不同，它存在有一个最大作用距离，仅当时有短程电场作用，而当时无短程电场作用。短程电场力在最大作用距离处不为零，意味着在此处将有新粒子产生，新粒子的质量与最大作用距离可能存在有关系式

（26）

3 、核力源于荷电粒子周围存在带有等量异号电荷的虚粒子云

根据电场强度在原点处有无穷大奇点可知，在荷电粒子内肯定分布带有等量异号电荷的内、外两层粒子云，内层粒子云集中分布在荷电粒子的原点处，外层粒子云则分布在附近空间内。若要内、外两层粒子云所带电荷相等，（ 15）式中的势能与的关系就应满足

（27）

也就是满足

（28）

由（28）式易解得

（29)

式中是待定常数。很明显，取后，将（ 29）式与汤川秀树给出的核力势能函数比较，则知

（29）式就是核力作用势能，相应核力的表达式是

(30)

容易验证，核力有两个极值点、，若假设，则可得到

为什么核力会具有（30）式的形式呢？这是与核电粒子内存在带有电荷虚粒子云的分布形式有关，根据

(31)

可求出在核电粒子内，以为半径的球内含有虚粒子云所带电荷是

(32)

其中可通过把（29）式代入（10 ）式导出

(33)

将（33 ）式代入（32）式, 就可得到

(34 )

由（34）式易看出，电荷并非是常量，而是随减小而增大，当时，电荷。这说明在荷电粒子原点处集中分布带有电荷的内粒子云。

另外，由（34）式还可看出，当时，电荷。这说明在荷电粒子原点外还分布带有与内粒子云等量异号电荷的外粒子云，随着的增大，内、外粒子云的电荷将逐渐中和，使总电荷逐渐趋于零。

外粒子云所带电荷可由

(35)

求出。由（27 ）式知，式中

(36)

把（36 ）式代入（35）式，可得到半径为的球内含有外粒子云所带电荷是

（ 37 ）

显然，在原点处有，而在时，恰好有。可见，（ 27）式满足粒子云所带的总电荷对外显电中性的要求，这说明前面给出的核力作用理论是自洽的。

如果取，由场方程（15 ）式还可以得到两种新场的作用势能解。第一种场是情形，此情形方程（15 ）等价于

这是一个常系数齐次微分方程，由于

有解

另一种场是情形，此情形方程（15 ）等价于

这也是一个常系数齐次微分方程，由于

有解

式中、均是常量势。这两种场是否存在，还有待实验证实。

4、万有引力是两中性物体间静电作用的剩余效应

我们知道，若用矢势和标势表示场方程，借助洛仑兹规范

（38）

可证得，、是以波动的形式在空间传播，并满足波动方程

（39）

该方程在变换式^[1][2][3]

（40）

的变换下具有协变性。式中是电磁波传播方向上的单位矢量；是参照坐标系坐标轴的基矢；；。

为使（38）式也能利用（ 40）变换，不妨令

（41）

（38）则可写成形式为

（42）

利用（40）式对（ 42）式变换，则有

（43）

于是，洛仑兹规范又可写成四维形式

（ 44 ）

其中

(45)

其中=1 、2、3 、4。

易验证，四维形式的洛仑兹规范在

（46）

整体规范变换下具有不变性。满足这种不变性的原因可能是光源的固有振动不是单一的，而是由两个相互垂直、频率相同、相位差是的两个分振动的合成。

很明显，对于不随时间变化的静电场，就是其电势。由（10）式知，位于场中的电荷所具有的电势能满足

（47 ）

又根据（46 ）式的整体规范变换要求，电势应为复数形式

（48）

所以必有

(49)

式中；为在方向上电荷的电力线单位方向矢量；表示取实数部分；“ *”表示的共轭复数形式。

若设的方向是由指向，根据正电荷电力线方向矢量是背向电荷，负电荷电力线方向矢量是指向电荷（见图1 ）的规定，当和带有异号电荷时，因与同向，见图2，则有。当和带有同号电荷时，因与反向，则有。于是，由（ 49）式知，两异号电荷间的静

图1 电荷正负与电力线方向矢量的关系

图 2 两电荷间的四种作用情形

电作用势能是

(50)

两同号电荷间的静电作用势能是

(51)

显然，只要是，就恒有> 。这意味着两中性物质间也存在有静电作用，这种静电作用就是牛顿万有引力作用。

众所周知，物质是由质子、中子、电子等基本粒子组成，质子带有一个单位的正电荷，电子带有一

图 3 两中性物质间的静电作用示意图 个单位的负电荷，中子不带有电荷，而且中性物质所含有的质子数恒等于所含有的电子数。

如果认为中子是由带有等量的正负两种电荷基本粒子组成，从图 3可看出，两中性物质间存在的总静电作用势能应为

（52）

若令质量为的中性物体带有正负电荷均为，质量为的中性物体带有正负电荷均为，和间存在的静电引力作用势能和静电斥力作用势能就可以分别由（50）式和（51 ）式求出，将这两式代入（52）式，即能得到两中性物体间存在的总静电作用势能为

（ 53 ）

对于中性物体而言，因没有自由电荷和束缚电荷存在，（ 53）式中的应恒等于。和可以这样求出，用表示中性物质原子核的摩尔质量，用表示阿伏伽德罗常数，则为单位质量中性物质所含有的原子核数，于是质量为中性物质含有的原子核数则是，由于每一个原子核含有个核子，而每一个核子又都带有一个单位电荷，所以，质量为中性物质带有总的正负电荷均为

（54）

同理可知，质量为中性物质带有总的正负电荷均为

（55）

将（54）、（55 ）两式代入（53）式中，即可得到牛顿万有引力作用势能及作用力的表达式分别是

（56）

（ 57）

式中

（58）

当时，有

这正是爱因斯坦引力理论对牛顿万有引力理论修正后的结果。由上可知，牛顿的万有引力作用实际上就是两中性物体间静电作用的剩余效应。当时，若假设引力公式可以写成形式为

并与（57）式比较，则知

显然，引力并不是严格与作用距离的平方成反比，而且也不是常数。通过对水星、金星、月球的运行规律观测，已经能够证实。 A.霍尔根据对水星的研究具体定出。纽康根据对四颗内行星的研究，得出。纽康的这一结论至今仍在许多天文年历中使用。E.W.布朗根据多年的研究指出 ,对于月球有 . 这是对（57）式最有力的支持。

从(57)式易看出, 当时, 两中性物体间静电作用将变成斥力作用。如果假设宇宙的平均密度为，在半径内所含物质的质量为

将上式和代入(57)式 ,则可得到

其中

很明显，仅当时，两物质间才为引力作用，引力最大值是在处，其；而当时，两物质间的引力变成了物质斥力，斥力的最大值是在处，其。支持此结论成立的证据有天文观测到的宇宙膨胀现象.

5、完备的稳恒磁场作用理论

类似于静电作用理论的讨论，也可以建立稳恒磁场作用理论。我们知道，在麦克斯韦电磁理论中，通过引入矢势后，稳恒磁场可以写成

（59）

其中矢势可通过把（59）式代入场方程

(60)

中后解出

(61)

当被作用电荷相对磁场源以速度运动时，运动的电荷必会感受到有一个与等效电场作用在其身上，借助于（59）式易求出等效电场的散度是

（62）

由于

（63）

故有

（64）

显然，运动电荷感受到的等效电场

（65）

其中为等效电场势。

类似于前面对静电作用理论的讨论，可得到磁场对运动电荷的作用势能及作用力的表达式分别是

(66)

（67）

在上面的讨论过程中，假设运动电荷 q是作直线运动，如果电荷有曲线运动，其就不再是恒为零，而是

（ 68）

因此，（62 ）式应写成

（69）

即

（70）

由此可知, 作曲线运动的电荷还将受到等效电场强度为

（71 ）

的作用力是

(72)

6、结论

完备的静电作用理论不仅能够给出无奇点的电磁力、弱力、核力及万有引力表达式，还能将这四种场力统一在一个由麦氏电磁理论导出的场方程中，这个方程就是（ 15）式方程，它是我们梦寐以求的统一场方程。由其导出的四种场力的作用势能表达式若应用到量子电动力学理论和超弦理论，可为验证上述统一场理论找到实验证据。

附带指出，量子电动力学理论和超弦理论与在麦氏静电场方程的基础上建立起来的上述统一场理论并不矛盾。量子电动力学理论是通过先求得自由轻子（或者夸克）的单粒子波动方程的解，然后把相互作用当作一种微拢来研究一个粒子被另一个粒子的散射，由 Lagrangian 量出发导出 Feynman 规则，并画出相应的Feynman 图，再对有关的Feynman 图求和，最后得到的是相应的跃迁几率或截面。超弦理论是假设四种场力通过交换自旋为整数的坡色弦达到传递相互作用的理论。可见，它们研究的对象不同，使用的方法不同，，但它们极具有互补性，不能用一种理论去否定另一种理论。

参考文献

[1] 肖军, 关于周期性同状态运动变换的讨论，《中国高等教育研究》（理化卷），中国大地出版社，2000 (4)

[2] 肖军, 论电磁波波动方程的协变性 , 《中国学校教育与科研》(理化卷 ), 中国农业科学技术出版社, 2002 (3)

[3] 肖军, 洛仑兹变换式物理解释有误 , 《中国学校教育研究》(理化卷 ), 中国统计出版社, 2002 (4)

[4] 杨纯斌蔡勖，夸克与轻子物理原理导引，武汉：华中师范大学出版社， 2000。

附：正文中（40）式变换式导出过程

设光源相对静系静止时辐射个波数所需时间为，则在时间内波前离开光源的矢距应是，并有