多变元n＋1≥2曲函数：

令B_n（T）＝exp（J_n^rt_r）

＝〖S_n，0（T）_n，S_n，n-1（T）…，S_n，1（T）〗

＝J_n^kS_n，k（（T）

T＝（t₁，t₂，…，t_n-1）

则

S_n，k（T）＝S_n，k（t₁，t₂，…，t_n-1）＝

＝∑（（t_j^pj）/（p_j！））

↑

P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），rp_r≡k（mod n）

这“多变元n＋1≥2曲函数”同样满足“双曲函数”

和“单变量n＋1≥2曲函数”的所有规律：

1、万氏欧拉公式：

exp（J_n^rt_r）＝J_n^kS_n，k（（T）

2、万氏棣美弗公式：

（J_n^kS_n，k（（T））^α＝J_n^kS_n，k（（αT）

3、万氏和角公式：

（Sn，0（α＋β），Sn，1（α＋β），…，Sn，n-1（α＋β））-1 ＝Bn（α）（Sn，0（β），Sn，1（β），…，Sn，n-1（β））-1 ＝Bn（β）（Sn，0（α），Sn，1（α），…，Sn，n-1（α））-1

（Sn，0（α＋β），Sn，1（α＋β），…，Sn，n-1（α＋β）） ＝（Sn，0（α），Sn，1（α），…，Sn，n-1（α））Bn（β） ＝（Sn，0（β），Sn，1（β），…，Sn，n-1（β））Bn（α）

4、万氏倍元公式：

（Sn，0（αT），Sn，1（αT），…，S，n-1（αT））-1 ＝Bnα－1（T）（Sn，0（T），Sn，1（T），…，Sn，n-1（T））-1

（Sn，0（αT），Sn，1（αT），…，Sn，n-1（αT）） ＝（Sn，0（T），Sn，1（T），…，Sn，n-1（T））Bnα－1（T）

5、万氏双曲型行列式为1公式：

｜Bn（T）｜ ＝｜exp（Jnrtr）｜ ＝｜〖Sn，0（T）n，S，n-1（T）…，Sn，1（T）〗｜ ＝1， n×n阶行列式值为1

当n＝2时即此行列式展开即为双曲函数的公式：Ch²t－Sh²t＝1

6、万氏循环导数公式：

Sn，k（T）/tj＝sn，k-j（t），当k-j≥0时；

Sn，k（t）/tj＝sn，n＋k-j（t），当k-j<0时

7、万氏有限欧拉公式：

虚数型公式： Sn，k（T）＝Sn，k，1（T）＋iSn，k，2（t）＝Sn，k，1（T）＝ ＝n-1（-1）（n＋1）kexp（（-1）（n＋1）rtrexp（2βriπ/n）-2βkiπ/n）

实数型（正好是上式的实部）公式： Sn，k（T）＝Sn，k，1（T）＝ ＝n-1（-1）（n＋1）kexp（（-1）（n＋1）rtrCOS（2βrπ/n））COS（Fβ）

故有恒等式： Sn，k，2（T）＝exp（（-1）（n＋1）rtrCOS（2βrπ/n））SIN（Fβ）＝0

其中 Fβ＝（-1）（n＋1）rtrSIN（2βrπ/n）-2βkπ/n

Sn，k（T）＝exp（tr），

8、万氏有限和公式：

Sn，k（T）＝exp（tr），

（-1）（n＋1）kSn，k（T）＝exp（（-1）（n＋1）rtr ）

9、特殊例子：

①、n＝2对为“一元双曲函数”即普通“双曲函数”：

S2，0（t1）＝（et1＋e-t1）/2＝Cht1 S2，1（t1）＝（et1－e-t1）/2＝Cht1

②、n＝3对为“二元叁曲函数”：

S3，0（t1，t2） ＝（exp（t1＋t2） ＋2exp（（-t1-t2）/2）COS（（t1－t2）/2））/3

S3，1（t1，t2） ＝-（exp（t1＋t2） ＋2exp（（-t1-t2）/2）COS（（t1－t2）/2＋2π/3））/3

R3，2（t1，t2） ＝（exp（t1＋t2） ＋2exp（（-t1-t2）/2）COS（（t1－t2）/2－2π/3））/3

③、n＝4为“三元肆曲函数”：

S4，0（t1，t2，t3） ＝（exp（-t1＋t2-t3）＋exp（t2）COS（-t1＋t3）＋exp（t1＋t2＋t3） ＋exp（-t2）COS（t1-t3））/4

S4，1（t1，t2，t3） ＝（-exp（-t1＋t2-t3）-exp（t2）SIN（-t1＋t3）＋exp（t1＋t2＋t3） ＋exp（-t2）COS（t1-t3））/4

S4，2（t1，t2，t3） ＝（exp（-t1＋t2-t3）-exp（t2）COS（-t1＋t3）＋exp（t1＋t2＋t3） -exp（-t2）COS（t1-t3））/4

S4，3（t1，t2，t3） ＝（-exp（-t1＋t2-t3）＋exp（t2）SIN（-t1＋t3）＋exp（t1＋t2＋t3） -exp（-t2）COS（t1-t3））/4

④、n＝5时为“四元五曲函数”：

S5，0（t1，t2，t3，t4） ＝［exp（t1＋t2＋t3＋t4）＋2exp（T1）COS（T2） ＋2exp（T3）COS（T4）］/5

S5，1（t1，t2，t3，t4） ＝［exp（t1＋t2＋t3＋t4）＋2exp（T1）COS（T2-2π/5） ＋2exp（T3）COS（T4-4π/5）］/5

S5，2（t1，t2，t3，t4） ＝［exp（t1＋t2＋t3＋t4）＋2exp（T1）COS（T2-4π/5） ＋2exp（T3）COS（T4＋2π/5）］/5

S5，3（t1，t2，t3，t4） ＝［exp（t1＋t2＋t3＋t4）＋2exp（T1）COS（T2＋4π/5） ＋2exp（T3）COS（T4-2π/5）］/5

S5，4（t1，t2，t3，t4） ＝［exp（t1＋t2＋t3＋t4）＋2exp（T1）COS（T2＋2π/5） ＋2exp（T3）COS（T4＋4π/5）］/5

⑤n＝5时为“五元陆曲函数”：

S6，0（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4）＋2eT5COS（T6）］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）＋exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2） ＋2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）/2）］/6

S6，1（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1-eT2＋2eT3COS（T4＋2π/3）＋2eT5COS（T6）π/3］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）-exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2 ＋2π/3）＋2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）/2 ＋π/3）］/6

S6，2（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4-2π/3）＋2eT5COS（T6＋2π/3）］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）＋exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2-2π/3） ＋2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）z＋2π/3）］/6

S6，3（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1-eT2＋2eT3COS（T4）-2eT5COS（T6）］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）-exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2） -2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）/2）］/6

S6，4（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4＋2π/3）＋2eT5COS（T6-2π/3））］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）＋exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2＋2π/3） ＋2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）/2-2π/3）］/6

S6，5（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2-2eT3COS（T4-2π/3）＋2eT5COS（T6）-π/3］/6 ＝［exp（-t1＋t2-t3＋t4-t5）-exp（t1＋t2＋t3＋t4＋t5） ＋2exp（（t1-t2-2t3-t4＋t5）/2）COS（（t1＋t2-t4-t5）/2-2π/3） ＋2exp（（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2）COS（（t1-t2＋t4-t5）/2-π/3）］/6

亦即为：

S6，0（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4）＋2eT5COS（T6）］/6

S6，1（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1-eT2＋2eT3COS（T4＋2π/3）＋2eT5COS（T6）π/3］/6

S6，2（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4-2π/3）＋2eT5COS（T6＋2π/3）］/6

S6，3（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1-eT2＋2eT3COS（T4）-2eT5COS（T6）］/6

S6，4（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2＋2eT3COS（T4＋2π/3）＋2eT5COS（T6-2π/3））］/6

S6，5（t1，t2，t3，t4，t5） ＝［eT1＋eT2-2eT3COS（T4-2π/3）＋2eT5COS（T6）-π/3］/6

T1＝-t1＋t2-t3＋t4-t5 T2＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5 T3＝t1-t2-2t3-t4＋t5）/2 T4＝（t1＋t2-t4-t5）/2 T5＝（-t1-t2-2t3-t4-t5）/2 T6＝（t1-t2＋t4-t5）/2