“低维与高维统一、非轮回与轮回统一、低值与高值统一、数矩阵与指数矩阵统一、（-1）开n次方与n×n阶负斜 轮回单位矩阵开n次方的统一”、 又引起“低角函数与多角函数统一、复数与超复数统一、 数与矩阵统一”、 用正负交错的斜轮回矩阵把单变元“三角函数”推广 为单变元和多变元“n＋1≥3”角函数， 使得各角函数竟然遵循着共同的规律：

经典有多项式定理：

（a_r）ⁿ＝∑（（n！）（a_j^pj）／（（p！）））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1）

令A_n（T）＝exp（I_n^rt_r）

＝（I_n^rt_r）^q/q！

＝∑（（I_n^jt_j）^pj/（p_j！））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1）

＝∑（I_n^jpjt_j^pj/（p_j！））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1）

＝∑（（I_nⁿ）^{k＋（jpj-k）/n}t_j^pj/（p_j！）↑

P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），rp_r≡k（mod n）

（I_nⁿ＝-E_n ，（I_nⁿ）^{（jpj-k）/n}＝（-1）^{（jpj-k）/n}·E_n）

↑rp_r≡k（mod n）

＝I_n^k∑（（-1）^{（jpj-k）/n}t_j^pj/（p_j！））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），rp_r≡k（mod n）

＝I_n^k∑（（-1）^{（jpj-k）/n}t_j^pj/（p_j！））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），rp_r≡k（mod n）

＝I_n^kR_n，k（t₁，t₂，…，t_n-1）

＝I_n^kR_n，k（T）＝〖R_n，0（T）_n，-R_n，n-1（T）…，-R_n，1（T）〗

其中 T＝（t₁，t₂，…，t_n-1）

则

R_n，k（t₁，t₂，…，t_n-1）

＝R_n，k（T）

＝∑（（-1）^{（jpj-k）/n}t_j^pj/（p_j！））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），rp_r≡k（mod n）

这“多变元n＋1≥3角函数”同样满足“三角函数”

和“单变量n＋1≥3角函数”的所有规律：

1、万氏欧拉公式：

exp（I_n^rt_r）＝I_n^kR_n，k（（T）

上面对此式左边的展开正是此式的右边。

2、万氏棣美弗公式：

（I_n^kR_n，k（（T））^α＝I_n^kR_n，k（（αT）

因

（exp（I_n^rt_r））^α＝（I_n^kR_n，k（（T））^α

式左＝exp（I_n^rαt_r）＝I_n^kR_n，k（（αT）＝左右

3、万氏和角公式：

（Rn，0（α＋β），Rn，1（α＋β），…，Rn，n-1（α＋β））-1 ＝An（α）（Rn，0（β），Rn，1（β），…，Rn，n-1（β））-1 ＝An（β）（Rn，0（α），Rn，1（α），…，Rn，n-1（α））-1

（Rn，0（α＋β），-Rn，1（α＋β），…，-Rn，n-1（α＋β））-1 ＝（Rn，0（α），-Rn，1（α），…，-R，n-1（α））An（β） ＝（Rn，0（β），-Rn，1（β），…，-Rn，n-1（β））An（α）

exp（I_n^r（α_r＋β_r））＝exp（I_n^rα_r）exp（I_n^rβ_r）

故

A_n（α_r＋β_r）＝A_n（α）A_n（β）

A_n（α_r＋β_r）＝A_n（β）A_n（α）

对两上式分别取第一列和第一行即得证。

4、万氏倍元公式：

（Rn，0（αT），Rn，1（αT），…，R，n-1（αT））-1 ＝Anα－1（T）（Rn，0（T），Rn，1（T），…，Rn，n-1（T））-1

（Rn，0（αT），-Rn，1（αT），…，-Rn，n-1（αT））-1 ＝（Rn，0（T），-Rn，1（T），…，-Rn，n-1（T））Anα－1（T）

A_n^α（T）＝A_n^α－1（T）A_n（T），A_n^α－1（T）＝A_n（（α－1）T）

A_n^α（αT）＝A_n（（α－1）T）A_n（T）

A_n^α（αT）＝A_n（T）A_n（（α－1）T）

对上两式分别取第一列和第一行即得证。

5、万氏正负交错循环导数公式：

Rn，k/tj（T）＝Rn，k-j（T），当k-j≥0时；

Rn，k/tj＝-Rn，n＋k-j（T），当k-j<0时

因 exp（I_n^rt_r）＝I_n^kR_n，k（（T）

对左边求偏导得：

exp（I_n^rt_r）/t_j＝I_n^jexp（I_n^rt_r）＝I_n^k＋jR_n，k（（T）

＝I_n^uR_n，u-j（T）＋I_n^uR_n，u-j（T）

＝I_n^uR_n，u-j（T）＋I_n^u-nI_nⁿR_n，u-j（T）

＝I_n^uR_n，u-j（T）－I_n^u-nR_n，u-j（T）

＝I_n^kR_n，u-j（T）－I_n^kR_n，n-j＋k（T）

而对右边求偏导：

I_n^kR_n，k（（T）/t_j＝＝I_n^kR_n，k（（T）/t_j ，

比较左右得证。

6、万氏椭圆型行列式为1公式：

｜An（T）｜ ＝｜exp（Inrtr）｜ ＝｜〖Rn，0（T）n，-R，n-1（T）…，-Rn，1（T）〗｜ ＝1

当n＝2时即此行列式展开即为三角函数的圆公式：SIN²t十COS²t＝1

因 ｜A_n（T）｜/t_j＝0 ，

这是因｜A_n（T）｜中第一行对t_j求偏导数就得｜A_n（T）｜的第n-j行的相反数，

而｜A_n（T）｜的第m行（1＜m≤n）行对t_j求偏导数就得｜A_n（T）｜的第n＋m-1-j行（m-1-j≥0）的相反数，

或第n＋m-1-j行（m-1-j＜0）的相反数。

因行列式中有两行相同，则行列式值为0，而｜A_n（T）｜对一切t_j求偏导数后其值均为0，则｜A_n（T）｜对T求全导数就为0

｜A_n（T）｜＝const，

而因T＝（0，…，0）＝0时有｜A_n（0）｜＝1

故恒有

｜A_n（T）｜＝1

7、万氏有限欧拉公式：

虚数式： Rn，k（T） ＝n-1（-1）（n＋1）kexp（（-1）（n＋1）rtrexp（（1＋2β）riπ/n）-（1＋2β）kiπ/n） ＝Rn，k，1（T）＋iRn，k，2（T）＝Rn，k，1（T）

实数解析式（正好为上式的实部）： Rn，k（T）＝Rn，k，1（T）＝ ＝n-1（-1）（n＋1）kexp（（-1）（n＋1）rtrCOS（（1＋2β）rπ/n））COS（Fβ）

故有恒等式： Rn，k，2（T）＝exp（（-1）（n＋1）rtrCOS（（1＋2β）rπ/n））SIN（Fβ）＝0

其中 Fβ＝（-1）（n＋1）rtrSIN（（1＋2β）rπ/n）-（1＋2β）rkπ/n

用证明单变元情况的同样方法即可证明。

法一：用麦克劳林展式法

因f（t1，t2，…，tn-1）＝（1/q！）（（t_j /t_j））^qf（0，…，0）

令

G_n，k（T）

＝n^-1（-1）^（n＋1）kexp（（-1）^（n＋1）rt_rexp（（1＋2β）riπ/n）-（1＋2β）kiπ/n）

G_n，k（T）的麦克劳林展式为：

G_n，k（T）＝（1/q！）（（t_j /t_jt））^qG（0）＝

＝（1/q！）∑t_j^pj/（p_j！））（^qG（0）/（t₁^p1t₂^p2…t_n-1^pn-1））

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1）

（^qG（0）/（t₁^p1t₂^p2…t_n-1^pn-1）＝（-1）^{（n＋1）k-（n＋1）jpj}/n）×M

其中

M＝

＝exp（（-1）^{（n＋1）jtj}exp（（1＋2β）j/πn）-（2β＋1）（k-jp_j）πi/n）

↑P_r＝q，P_r≥0（r＝1，2，…，n-1），jp_j≡q（mod n）

当把T＝（0，…，0）代入M

得

M＝0，（当rp_r≠k（mod n）时）

M＝（-1）^{（rpr-k）/n}（当rp_r≡k（mod n）时）代入上式即得

G_n，k（T）＝R_n，k（T）证毕

法二是直接把进行展开即得证，省畧。

8、万氏有限和公式

n为奇数时： （-1）kRn，k（T）＝exp（（-1）rtr），

n为偶数时： ωn（n-1）kRn，k（T）＝exp（（-ω）rtr ） 其中ωn＝eiπ/n

n为奇时

（-1）^kR_n，k（T）＝

（-1）^kn^{-1（-1）（n＋1）k}exp（（-1）^（n＋1）rt_rexp（（1＋2β）riπ/n）-（1＋2β）kiπ/n）

＝n^-1exp（（-1）^nkt_rexp（（1＋2β）riπ/n）-（1＋2β）kiπ/n）

（因1＋2β＝mn在β＝0，1，…，n-1时只能m＝1，

在1＋2β＝mn时exp（-（1＋2β）kiπ/n）＝（-1）-kπ＝（-1）^k）

故在1＋2β＝mn时有 （-1）^nkexp（-（1＋2β）kiπ/n））＝n ；

在1＋2β≠mn时有 （-1）^nkexp（-（1＋2β）kiπ/n））

＝（1＋exp（-（2β＋1）πi））/（1-（-1）ⁿexp（-（1＋2β）iπ/n））＝0

代入证毕。

n为偶时

ω_n^（n-1）kR_n，k（T）＝

n^-1e^{（n-1）kπi/n}（-1）^（n＋1）kexp（（-1）^（n＋1）rt_rexp（（1＋2β）riπ/n）-（1＋2β）kiπ/n）

＝n^-1exp（（-1）^rt_re^{（1＋2β）ri/n}（-e^{（n-2β-2）i/n}）^k

（在β＝0，1，…，n-1时，（n-2β-2）/n若为整数，

其只能或n＝2β＋2，

此时（-e^{（n-2β-2）i/n}）^k＝（-1）^k＝0 ，

或β＝n-1，此时（n-2β-2）/n＝-1，

此时（-e^{（n-2β-2）i/n}）^k）＝（-e^-πi）^k＝1＝n

在β≠n-1且2≠n-2时，（n-2β-2）/n不为整数则等比级数和为0：

（-e^{（n-2β-2）i/n}）^k＝（1-（-1）ⁿe^{（n-2β-2）πi}）/（1＋e^{（n-2β-2）πi/n}））＝0

代入后只剩下β＝n-1时的一项了：

ω_n^（n-1）kR_n，k（T）＝exp（（-1）^rt_rexp（（2n-2＋1）rπi））

＝exp（（-1）^rt_rexp（（2-1/n）πri））

＝exp（（-1）^rt_rexp（πri/n））

＝exp（（-ω）^rt_r ） 证毕

9、特殊例子：

①、n＝2时为“一元三角函数”即普通“三角函数”：

R2，0（t1）＝COS（t1）

R2，1（t1）＝SIN（t1）

②、n＝3时为“二元四角函数”：

R3，0（t1，t2） ＝（exp（-t1＋t2）＋2exp（（t1-t2）/2）COS（（t1＋t2）/2））/3

R3，1（t1，t2） ＝（-exp（-t1＋t2）＋2exp（（t1-t2）/2）COS（（t1＋t2）/2-π/3））/3

R3，2（t1，t2） ＝（exp（-t1＋t2）-2exp（（t1-t2）/2）COS（（t1＋t2）/2＋π/3））/3

③n＝4时为“三元五角函数”：

R4，0（t1，t2，t3） ＝（exp（（-t1＋t3）/2）cos（/2（t1＋t3）－t2）＋ ＋exp（（t1－t3）/2）cos（/2（t1＋t3）＋t2））/2

R4，1（t1，t2，t3） ＝（exp（（-t1＋t3）/2）cos（/2（t1＋t3）－t2＋π/4） －exp（（t1－t3）/2）cos（/2（t1＋t3）＋t2－π/4））/2

R4，2（t1，t2，t3） ＝（-exp（（-t1＋t3）/2）sin（/2（t1＋t3）－t2）＋ ＋exp（（t1－t3）/2）sin（/2（t1＋t3）＋t2））/2

R4，3（t1，t2，t3） ＝（-exp（（-t1＋t3）/2）cos（/2（t1＋t3）－t2-π/4） ＋exp（（t1－t3）/2）cos（/2（t1＋t3）＋t2＋π/4））/2