“低维与高维统一、非轮回与轮回统一、 低值与高值统一、数矩阵与指数矩阵统一、 （＋1）开n次方与n×n阶正斜轮回单位 矩阵开n次方的统一”、 引起“低曲函数与多曲函数统一、 实数与超实数统一、数与矩阵统一”、 用正斜轮回矩阵把单变元“双曲函数”推广 为单变元和多变元“n＋1≥3”曲函数， 使得各曲函数均遵循着共同的规律：

Ⅰ、单变元n＋1≥2曲函数：

我们知道，普通单位矩的是主对角线（左上角到右下角）均为1，其它均为0：

E_n＝

轮回矩阵定义为：

＝〖a₀，a_n-1，…，a₁〗

但我们取正负交错的轮回单位矩阵：

J_n＝＝〖0，…，0，1〗 ，

J_n是n×n方阵；

且J_nⁿ＝E_n； ；det（J_n）＝（-1）^n＋1det（E_n）＝（-1）^n＋1

J_n^k＝〖0，…，0，1，0，…，0〗 ，其中左边有n-k亇0，

右边有k-1亇0

J_nⁿ＝J_n^n-1J_n＝J_n⁰＝E_n＝〖1，0，…，0〗 ，右边有n-1亇0

由指数矩阵

exp（J_nt）＝（J_nt）^j/j！

＝B_n（t）

＝〖H_n，0（t），H_n，n-1（t）…，H_n，1（t）〗

＝J_n^kH_n，k（t）

其中 H_n，k（t）＝t^nj＋k/（nj＋k）！

就是“单变元n＋1≥2曲函数”

普通“双曲函数”满足的规律这“单变元n＋1≥2曲函数”也满足：

1、万氏欧拉公式：

exp（J_nt）＝J_n^kH_n，k（α）

2、万氏棣美弗公式：

（J_n^kH_n，k（t））^α＝J_n^kH_n，k（αt）

3、万氏和角公式：

（Hn，0（α＋β），Hn，1（α＋β），…，Cn，n-1（α＋β））-1 ＝Bn（α）（Hn，0（β），Hn，1（β），…，Hn，n-1（β））-1 ＝Bn（β）（Hn，0（α），Hn，1（α），…，Cn，n-1（α））-1

（Hn，0（α＋β），Hn，1（α＋β），…，Hn，n-1（α＋β））-1 ＝（Hn，0（α），Hn，1（α），…，Hn，n-1（α））Bn（β） ＝（Hn，0（β），Hn，1（β），…，Hn，n-1（β））Bn（α）

4、万氏倍元公式：

（Hn，0（αt），Hn，1（αt），…，Hn，n-1（αt））-1 ＝Bnα－1（t）（Hn，0（t），Hn，1（t），…，Hn，n-1（t））-1

（Hn，0（αt），Hn，1（αt），…，Hn，n-1（αt））-1 ＝（Hn，0（t），Hn，1（t），…，Hn，n-1（t））Bnα－1（t）

5、万氏正循环导数公式：

Hn，k（j）（t）＝Hn，k-j（t），当k-j≥0时；

Hn，k（j）（t）＝Hn，n＋k-j（t），当k-j<0时

6、万氏双曲型行列式为1公式：

｜Bn（t）｜ ＝｜exp（Jnt）｜ ＝｜〖Hn，0（t），Hn，n-1（t）…，Hn，1（t）〗｜ ＝1， n×n阶行列式值为1

当n＝2时即此行列式展开即为“双曲函数”的公式：Ch²t－Sh²t＝1

7、万氏有限欧拉公式：

虚数公式： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＋iHn，k，2（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（exp（texp（2βπi/n）＋2β（n-k）πi/n））

实数解析公式（正好是上式的实部）： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（exp（tcos（2βπ/n））COS（tSIN（（2βπ/n）＋2β（n-k）π/n）））

故有恒等式：Hn，k，2（t）＝ （exp（tcos（2βπ/n））sin（tSIN（（2βπ/n）＋（2β（n-k）π/n））））＝0

为偶数时的虚数公式： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＋iHn，k，2（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（-1）k（exp（-texp（2βπi/n）－2βkπi/n））

n为偶数时的实数解析公式（正好是上式的实部）： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（-1）k（exp（-tcos（2βπ/n））COS（tSIN（2βπ/n）＋2βkπ/n））

故n为偶数时有恒等式： Hn，k，2（t）＝（exp（-tcos（2βπ/n））sin（tSIN（βπ/n）＋2βkπ/n）） ＝0

n为奇数时的虚数公式： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＋iHn，k，2（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（-1）k（exp（-texp（（2β＋1）πi/n）－（2β＋1）kπi/n））

n为奇数时的实数解析公式（正好是上式的实部）： Hn，k（t）＝Hn，k，1（t）＝ ＝n-1（-1）k（exp（-tcos（（2β＋1）π/n）COS（tSIN（（2β＋1）π/n） ＋（2β＋1）kπ/n））））

故n为奇数时有恒等式： Hn，k，2（t）＝ （exp（-tcos（（2β＋1）π/n）sin（tSIN（（2β＋1）π/n）＋（2β＋1）kπ/n）））＝0

8、万氏有限和公式：

Hn，k（t）＝et， n为奇数时；

（-1）（n＋1）kHn，k（t）＝exp（（-1）n＋1t ） n为偶数时；

9、对上述公式规律的证明与证明：

所有公式证明雷同“多角函数”公式，不再具体再证。

①、对“万氏欧拉公式”的说明---(一䫫新型超实数)

当n＝2时

exp（J₂t）＝J_2，0⁰Cht＋J_2，1¹Sht＝⁰Cht＋¹Sht＝

而

exp（t）＝⁰Cht＋¹Sht

这说明J₂＝相当于“超实数”单位“”的情形。，

这里的不仅可以有根±1，而且还有“超实数”的根，因此我们

令此“超实数”的单位为σ₂，令σ₂＝1.

从这里可以看出正轮回矩阵与“超实数”的统一性。因此我们就可以称双曲型正轮回矩阵的n×n阶单位矩阵J_n就相当于1^1/n＝σ_n，这开n次方所新引进的超实数单位，这就把正会斜轮回矩阵与超实数在某种程度上统一起来了，但并不相等。也说明超实数单位J_n的模型是无穷的！

10、特殊例子：

①、n＝2时为“双曲函数”：

H2，0（t）＝（et＋e-t）/2＝Cht H2，0（t）＝（et－e-t）/2＝Cht

②、n＝3时为“叁曲函数”：

H3，0（t）＝（et＋2e-t/2COS（t/2））/3

H，1（t）＝-（et＋2e-t/2COS（t/2－2π/3））/3

H3，2（t）＝（et＋2e-t/2COS（t/2＋2π/3））/3

③、n＝4时为“肆曲函数”：

H4，0（t）＝（et＋e-t＋2COSt）/4

H4，1（t）＝（et－e-t＋2SINt）/4

H4，2（t）＝（et＋e-t－2COSt）/4

H4，3（t）＝（et－e-t－2SINt）/4

④、n＝5时为“伍曲函数”：

H5，0（t） ＝5-1（et＋2etCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）） ＋2e-tCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）））

H5，1（t） ＝5-1（et＋2etCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）-2π/5） -2e-tCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）＋π/5））

H5，2（t） ＝5-1（et＋2etCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）＋π/5） ＋2e-tCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）＋2π/5））

H5，3（t） ＝5-1（et－2etCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）－π/5） ＋2e-tCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）－π/5））

H5，4（t） ＝5-1（et＋2etCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）＋2π/5） －2e-tCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）-π/5））

⑤、n＝6时为“陆曲函数”：

H6，0（t）＝6-1（et＋e-t ＋2（et/2＋e-t/2）COS（t/2））

H6，1（t）＝6-1（et－e-t＋2et/2COS（t/2－2π/6） ＋2e-t/2COS（t/2－4π/6））

H6，2（t）＝6-1（et＋e-t＋2et/2COS（t/2－4π/6） ＋2e-t/2COS（t/2＋4π/6））

H6，3（t）＝6-1（et－e-t－2（et/2－e-t/2）COS（t/2））

H6，4（t）＝6-1（et＋e-t＋2et/2COS（t/2＋4π/6） ＋2e-t/2COS（t/2－4π/6））

H6，5（t）＝6-1（et－e-t＋2et/2COS（t/2＋止2π/6） ＋2e-t/2COS（t/2＋4π/6））