“低维与高维统一、非轮回与轮回统一、低值与高值统一、 数矩阵与指数矩阵统一、（-1）开n次方与n×n阶负斜 轮回单位矩阵开n次方的统一”、 又引起“低角函数与多角函数统一、复数与超复数统一、 数与矩阵统一”、 用正负交错的斜轮回矩阵把单变元“三角函数”推广 为单变元和多变元“n＋1≥3”角函数， 使得各角函数竟然遵循着共同的规律：

Ⅰ、单变元n＋1≥3角函数：

我们知道，普通n×n阶单位矩的是主对角线（左上角到右下角）均为1（共n亇1），其它均为0：

E_n＝ ，

令轮回矩阵为：

＝〖a₀，a_n-1，…，a₁〗 ，

但我们定义“正负交错的轮回单位矩阵”为：

I_n＝＝〖0，…，0，-1〗 ， 其中左边有n-1亇0

I_n是n×n方阵，且I_nⁿ＝-E_n

则

I_n^k＝〖0，…，0，-1，0，…，0〗 ，其中左边有n-k亇0，

右边存n-1亇0

故

I_nⁿ＝I_n^n-1I_n＝＝〖-1，0，…，0〗＝-E_n

由指数矩阵

exp（I_nt）＝（I_nt）ⁱ/i！

＝A_n（t）

＝〖C_n，0（t）-C_n，n-1（t）…，-C_n，1（t）〗

＝I_n^kC_n，k（t）

其中 C_n，k（t）＝（-1）^jt^nj＋k/（nj＋k）！

就是“单变元n＋1≥3角函数”

普通“三角函数”满足的规律这“单变元n＋1≥3角函数”也满足：

1、万氏欧拉公式：

在exp（I_nt）＝I_n^kC_n，k（α）中取n＝2时有：

exp（I₂）＝I₂⁰cost＋I₂¹sint＝⁰cost＋¹sint

而e^it＝i⁰cost＋isint

这说明I＝相当于（但不等于）虚数单位i＝

这也说明椭圆形斜轮回矩阵的n×n阶单位矩阵I_n就相当于开n次方所引进的“虚数”单位（-1）^1/n＝ω_n

这就把“虚数单位”跟“椭圆型正负交错斜轮回矩阵的单位矩阵”在某种程度上统一了，随之也把“复数”跟“椭圆型正负交错斜轮回矩阵”在同样意义下给统一了！这也说明“超复数”定义也是无穷的！

“虚数单位”跟“椭圆型正负交错斜轮回矩阵的单位矩阵”统一了

“复数”跟“椭圆型正负交错斜轮回矩阵”统一了

“超复数”定义也是“无穷”的

2、万氏棣美弗公式：

（I_n^kC_n，k（t））^α＝I_n^kC_n，k（αt）

因（exp（I_nt））^α＝exp（I_nαt）＝I_n，kC_n，k（αt）证毕

n＝2时有

^α＝

3、万氏和角公式：

（Cn，0（α＋β），Cn，1（α＋β），…，Cn，n-1（α＋β））-1 ＝An（α）（Cn，0（β），Cn，1（β），…，Cn，n-1（β））-1 ＝An（β）（Cn，0（α），Cn，1（α），…，Cn，n-1（α））-1

（Cn，0（α＋β），-Cn，1（α＋β），…，-Cn，n-1（α＋β））-1 ＝（Cn，0（α），-Cn，1（α），…，-Cn，n-1（α））An（β） ＝（Cn，0（β），-Cn，1（β），…，-Cn，n-1（β））An（α）

因exp（I_n（α＋β））＝A_n（α＋β）

exp（I_nα）＝A_n（α），exp（I_nβ）＝A_n（β）

exp（I_n（α＋β））＝exp（I_nα）exp（I_nβ）

＝exp（I_nβ）exp（I_nα）

亦即A_n（α＋β）＝A_n（α）A_n（β）

A_n（α＋β）＝A_n（β）A_n（α）

对上两式分列取第一列和第一行即为所求，证毕。

4、万氏倍元公式：

（Cn，0（αt），Cn，1（αt），…，Cn，n-1（αt））-1 ＝Anα－1（t）（Cn，0（t），Cn，1（t），…，Cn，n-1（t））-1

（Cn，0（αt），-Cn，1（αt），…，-Cn，n-1（αt））-1 ＝（Cn，0（t），-Cn，1（t），…，-Cn，n-1（t））Anα－1（t）

因exp（I_nαt）＝A_n（αt）

又因exp（I_nαt）＝exp（I_n（α－1）t）·exp（I_nt）

＝A_n（（α－1）t）·A_n（t）

＝A_n（t）·A_n（（α－1）t）

A_n（αt）＝A_n（（α－1）t）·A_n（t）

A_n（αt）＝A_n（t）·A_n（（α－1）t）

对上两式分别取第一列和第一行即为所求，证毕。

由于α是任意实数，故特令α＝1/2就有：

＝^-1/2＝、、、，

^-1/2＝

其中

x＝cos（t/2）cost＋sin（t/2）sint

y＝sin（t/2）cost－cos（t/2）sint

a＝（（1＋cost）/2）^1/2

b＝（（1-cost）/2）^1/2

这说明n×n阶斜轮回矩阵开m次方有mⁿ亇根，

即成为mⁿ亇新斜轮回矩阵！

5、万氏正负交错循环导数公式：

Cn，k（j）（t）＝Cn，k-j（t），当k-j≥0时；

Cn，k（j）（t）＝-Cn，n＋k-j（t），当k-j<0时

因（exp（I_nt））´＝（I_n^kC_n，k（t））´＝I_n^kC_n，k´（t）

＝I_n⁰C_n，0´（t）＋I_n^kC_n，k´（t）

又I_nⁿ＝－E_n, I_n^-n＝－E_n, 再对exp（I_nt）求j次导数。

（exp（I_nt））^（j）＝I_n^jexp（I_nt）＝I_n^jI_n^kC_n，k（t）＝I_n^k＋jC_n，k（t）

＝I_n^kC_n，k-j（t）＝I_n^kC_n，k-j（t）＋I_n^kC_n，k-j（t）

＝-I_n^kC_n，n＋k-j（t）＋I_n^kC_n，k-j（t），（用到I_n^k-n＝－I_n^k）

比较上述两式即证毕。

6、万氏椭圆型行列式为1公式：

｜An（t）｜ ＝｜exp（Int）｜ ＝｜〖Cn，0（t），-Cn，n-1（t）…，-Cn，1（t）〗｜ ＝1

因d｜A_n（t）｜/dt＝0

这是因为对｜A_n（t）｜中的第一行求导得到｜A_n（t）｜的最后一行的相反数，而对｜A_n（t）｜中的第m（1<m≤n）行求导得到｜A_n（t）｜

的最后m-1行，行列式中有二行相等，则行列式值为0，由此知

｜A_n（t）｜＝const

又t＝0时有C_n，k（0）＝（-1）^j0^nj＋k/（nj＋k）！＝1，当k＝0时；

C_n，k（0）＝（-1）^j0^nj＋k/（nj＋k）！＝0，当k≠0时

把其代入上式｜A_n（t）｜＝const

｜A_n（0）｜＝1

故｜A_n（t）｜＝1，证毕

7、万氏有限欧拉公式：

虚数式：Cn，k（t）＝Cn，k，1（t）＋iCn，k，2（t）＝Cn，k，1（t）＝ ＝exp（texp（（2β＋1）πi/n）-（2β＋1）kπi/n）/n

当n为偶数时又有虚数式： Cn，k（t）＝Cn，k，1（t）＋iCn，k，2（t）＝Cn，k，1（t）＝ ＝（-1）kexp（-texp（（2β＋1）iπ/n）-（2β＋1）kiπ/n）/n， 实数解析式（其是上式的实部，其虚部为0）： Cn，k（t）＝Cn，k，1（t）＝ ＝（-1）k（exp（-tcos（（2β＋1）π/n））COS（tSIN（（2β＋1）π/n）＋（（2β＋1）kπ/n）））/n

当n为奇数时有虚数式： Cn，k（t）＝（-1）kexp（-texp（2βiπ/n-2βkiπ/n）/n n为奇数时有实数解析式（其是上式的实部，其虚部为0）： Cn，k（t）＝（-1）k（exp（-tcos（2βπ/n））COS（tSIN（2βπ/n）＋2βkπ/n））/n

我们只对C_n，0（t）证明就行了，其地各式同理证明。

法一：用麦克劳林展式来证明。

令F1（t）＝n^-1exp（texp（（2k＋1）πi/n））

对上式求j次导数用归纳法可得：（j≥0）

F1（j）（t）＝n^-1exp（texp（（2k＋1）iπ/n））exp（（2k＋1）jπi/n）

＝n^-1exp（texp（（2k＋1）iπ/n）＋（2k＋1）jπi/n）

当t＝0时，代入上式可得：

F1（0）＝n^-1exp（（2k＋1）jπi/n）＝n^-1exp（jπi/n）exp（2jπi/n）^k

＝n^-1exp（jπi/n）·（e2jπi-1）/（e2jπi-1）＝0，当j≠nm时；

＝n^-1exp（jπi/n）·（e^2mπi）^k＝（-1）^m，当j＝nm时；

F1（t）＝F1^（j）（0）t^j/j！＝（-1）^mt^mn/（mn）！

而C_n，0（t）的定义正好是：C_n，0（t）＝（-1）^mt^mn/（mn）！

因此 F1（t）＝C_n，0（t）

这就证明了

法二：

n^-1exp（texp（（2k＋1）πi/n））

＝n^-1（（texp（（2k＋1）πi/n））^rn＋m/（rn＋m）！）

＝n^-1（（t^rn＋mexp（（2k＋1）（rn＋m）πi/n））/（rn＋m）！）

＝n^-1（（（-1）^rt^rn＋mexp（m（2k＋1）πi/n））/（rn＋m）！）

＝n^-1（-1）^rt^rn＋m/（rn＋m）！（exp（m（2k＋1）πi/n）））

＝n^-1（（-1）^rt^rn＋m/（rn＋m）！exp（mπi/n）（exp（2mkπi/n）））

＝（-1）^rt^rn/（rn）！

这是因（exp（2mkπi/n））在m＝0时为n；在m≠0时为0

8、万氏有限和公式：

（-1）kCn，k（t）＝e-t， n为奇数时；

ωn（n-1）kCn，k（t）＝exp（ωnn-1t ），n为偶数时；其中ωn＝eiπ/n

因n为奇时且n＝2β＋1时

（-exp（-（2β＋1）πi/n））^k＝1＝n，；

当n为偶时，或n为奇时但n≠2β＋1

（-exp（-（2β＋1）πi/n））^k＝

＝（（-1）ⁿexp（-（2β＋1）πi）/（1＋exp（-（2β＋1）πi/n））＝0，

当n为偶时，或n为奇时但n≠2β＋1

而

（-1）kCn，k（t）

＝n^（-1）（-1）^kexp（texp（（2β＋1）πi/n）-（2β＋1）kπi/n）/n

＝n^（-1）exp（texp（（2β＋1）πi/n））（-exp（-（2β＋1）πi/n））^k

＝exp（te^πi）＝e^-t，

证毕。同理可证其它合式

9、特殊例子：

①、n＝2时为“三角函数”：

C2，0（t）＝COSt

C2，1（t）＝SINt

②、n＝3时为“四角函数”：

C3，0（t）＝（e-t＋2et/2COS（t/2））/3

C3，1（t）＝-（e-t＋2et/2COS（t/2＋2π/3））/3

C3，2（t）＝（e-t＋2et/2COS（t/2＋4π/3））/3

③、n＝4时为“五角函数”：

C4，0（t）＝2-1（e-/2＋e/2）COS（/2） ＝ch（/2）COS（/2）

C4，1（t）＝-2-1（e-/2COS（/2＋π/4） ＋e/2COS（/2＋3π/4））

C4，2（t）＝2-1（e/2-e-/2）SIN（/2） ＝sh（/2）SIN（/2）

C4，3（t）＝-2-1（e-/2COS（/2＋3π/4） ＋e/2COS（/2＋π/4））

④、n＝5时为“六角函数”：

C5，0（t） ＝5-1（e-t＋2etCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）） ＋2e-tCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）））

C5，1（t） ＝5-1（-e-t＋2etCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）-π/5） -2e-tCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）＋2π/5））

C5，2（t） ＝5-1（e-t＋2etCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）-2π/5） -2e-tCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）-π/5））

C5，3（t） ＝5-1（-e-t－2etCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）＋2π/5） ＋2e-tCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）＋π/5））

C5，4（t） ＝5-1（e-t－2etCOS（π/5）COS（tSIN（π/5）＋π/5） ＋2e-tCOS（2π/5）COS（tSIN（2π/5）-2π/5））

⑤、n＝6时为“七角函数”：

C6，0（t）＝3-1（COSt＋（e＋e-）COS（t/2））

C6，1（t）＝3-1（SIN（t）＋eCOS（t/2－π/6） －e-COS（t/2＋π/6））

C6，2（t）＝3-1（-COSt＋eCOS（t/2－2π/6） ＋e-COS（t/2＋2π/6））

C6，3（t）＝3-1（-SIN（t）＋eSIN（t/2） ＋e-SIN（t/2））

C6，4（t）＝3-1（COSt－eCOS（t/2＋2π/6） －e-COS（t/2－2π/6））

C6，5（t）＝3-1（SIN（t）－eCOS（t/2＋π/6） ＋e-COS（t/2－π/6））