王为民 （四川省南充市龙门中学邮编637103）

普朗克研究绝对黑体的辐射规律，提出了物体吸收和发射电磁波的能量是以“量子”的方式进行的，这个“量子”的能量就是 ε=hυ 。这究竟是怎么回事呢？

一、空腔辐射

物体在温度 T时，在单位时间内，在单位面积上发射一个频率在 υ到 υ+dυ范围内的辐射能为

dR=r(υ ,T)dυ

而 r(υ,T)=dR/dυ叫做单色辐射本领。

在一定温度 T时，单位时间，单位面积上发射各种频率的总辐射能为

物体吸收到的某种频率的辐射能与照射到该物体上的该频率的辐射能的比值，叫做单色吸收本领 a(υ ，T) 。

单色辐射本领r(υ,T)与同一频率的 单色吸收本领a( υ， T)的比值只与频率和温度有关，而与物体的性质无关，这叫做基尔霍夫定律。即

r(υ,T)/a(υ ，T)=f( υ,T)

f( υ,T)与具体物质的种类无关，是一个普适函数。

如何确定f(υ ,T)呢？著名的普朗克公式就是一个关于普适函数f(υ ,T)的表达式。

为了得到普适函数f(υ,T)的表达式必须研究绝对黑体，因为绝对黑体能够绝对完全吸收照射到绝对黑体上的任何单色光，其 单色吸收本领a( υ， T)=1，所以

普适函数可以简单地等于绝对黑体的 单色辐射本领r(υ ,T)，即

f(υ,T)= r(υ,T)

但是，在什么地方才有能够完全吸收 任何单色光的绝对黑体存在呢？

事实上，自然界根本就没有绝对黑体的存在。但是，为了确定普适函数 f(υ,T)，又必须确定绝对黑体的 单色辐射本领r(υ ,T)。

人们想了一些办法，比如把一个物体的表面涂上一层黑色物质（散射层）就类似一个黑体。或者用不透明的材料做成一个空腔，并在在空腔上开一个小孔通向外面，就是一个黑体。如图所示。

光辐射一旦从小孔进去，就难以出来，所以这个“孔”就是一个黑体。

所以，确定普适函数f(υ ,T)就成了确定空腔的辐射本领r(υ ,T)。

我们可以用电炉给空腔加热以获得不同的空腔温度，而当达到热平衡时，温度 T恒定不变，这时，我们测定从空腔的小孔辐射出来的某一频率的电磁波的辐射能的大小。如图所示。

1900年普朗克得出 k是玻尔兹曼常数， h=6.626 ×10 ^-34 焦尔·秒，叫普朗克常数。

现在是普朗克公式是怎样推导出来的呢？

这个公式是在瑞利—金斯公式的基础上推导出来的。所以，我们必须了解瑞利—金斯公式的推导过程。

瑞利—金斯认为，空腔辐射处于热平衡时，辐射场是电磁波形成的一些驻波。如图所示。

为简单起见，设想有一边长为 L的立方体空腔，它的相邻三边构成一组直角坐标轴，腔内T。电磁波形成驻波的条件是，某频率的电磁波波矢量

，

其直角分量必须满足

即立方体的每一个边长是半波长的整数倍。

，， 。

某一频率的驻波形式的电磁波满足一个电磁波震荡模式

这是一个球面方程，所以

其中

在频率空间中，一个点的坐标被表示为

，

而 全是正整数，所以，频率为0 到范围的状态数（驻波数） Ν(υ)等于半径为半径为 的球体体积的1/8 ，即，

用表示空腔的体积。

所以，

由于每一个电磁波的震荡模式有两个独立的偏振方向，所以，状态数乘 2，即

如果某频率的驻波平均能量为 ，

那么，空腔在单位时间、单位体积中，频率在υ和υ +dυ范围内的平均辐射能（能量密度）u(υ ,T)为

而r(υ ,T)为绝对黑体在腔孔的单位时间、单位面积、在频率为υ和υ+dυ范围内的辐射能，即绝对黑体的单色辐射本领。可以证明

r( υ,T)= c u(υ,T) /4

所以

二、紫外灾难

现在的问题是要确定 r(υ,T)，其关键在于确定每一个驻波的平均能量 。在热力学中，根据玻尔兹曼分布律，能量为ε的几率为

瑞利—金斯认为：驻波能量ε能够从 0到∞连续取值。所以，驻波的平均能量为

其中k为玻尔兹曼常数。这就是经典力学错误的根源。

因为这说明电磁波的能量与电磁波的频率无关，电磁波的能量按照各种频率平均分配。 平均能量只是温度的函数。

由此得到

其中

而瑞利—金斯公式一般表达为

由瑞利—金斯公式可知，当电磁波频率υ趋于无穷大时，能量密度 u(υ,T)也趋于无穷大。这与实验发现当电磁波频率υ趋于无穷大时，能量密度 u(υ,T)也趋于零的结果相矛盾。这就是所谓的紫外灾难。

三、 普朗克的发现

普朗克发现，造成 紫外灾难的原因是经典力学的能量均分定理假定了能量ε是一个连续变量造成的。如果假定能量是不连续的变量，即

表示两个相邻能级之间的间隔，并且两个相邻能级之间的间隔与频率成正比，即

而h是一个比例常数。那么

普朗克按照这种方式计算驻波的平均能量，自然要用求和运算代替 瑞利—金斯公式计算过程中的积分运算，即

所以

而

普朗克公式一般表达为

四、普朗克公式的近似表达式还原为经典理论

1、 平均能量

在普朗克公式中的驻波平均能量的计算中，

（ 1）、如果 υ→0 ，那么，因为， 所以，平均能量 还原为经典公式。

（ 2）、如果 υ→∞，那么， ，这一点与瑞利—金斯公式计算中的平均能量不同。

2 、长波（红外）辐射

在长波（红外）辐射中，有 hυ<<kT，展开 ，在普朗克公式中略去二次以上的项得

这就是 瑞利—金斯公式。

3 、短波（紫外）辐射

在短波（紫外） 辐射中，hυ>>kT,有 ，在普朗克公式的分母中略去1 ，有

这就是维恩公式。

4 、普朗克公式在全波段与实验事实相符合

维恩公式在电磁波辐射的低频段 （远红外）部分与实验事实相矛盾，而瑞利—金斯公式在高 频段（紫外）部分与实验事实相矛盾，即出现所谓 紫外灾难，而普朗克公式在全波段与实验事实相符合。这说明普朗克关于线性谐振子存在不连续的能态是正确的。他关于量子概念的思想是量子力学的开端，这对量子力学的建立打下了必要的基础，具有非常重要的意义。

但是，在量子力学中，线性谐振子能量的最小状态不是 0，而是hυ/2 ，这就说明普朗克公式的推导过程还不完善。后来，玻色—爱因斯坦用量子统计的形式，严格地推导出了普朗克公式。

爱因斯坦并且发展了普朗克的量子思想，提出线性谐振子的能量不仅是量子化的，而且辐射场本身也是不连续是，是以光子的形式传播的。

五、普朗克公式的推论

1 、斯藩—玻尔兹曼定律

1879 年斯藩从实验中观察到

玻尔兹曼于 1884年应用麦克斯韦理论和热力学知识推导出了这一公式，其中 是斯藩—玻尔兹曼常数 。这个公式也可以由普朗克公式直接推导出来。

2、维恩位移定律

1893 年维恩推出了黑体辐射本领公式

取极大值时，有

λ mT=b

其中 米·开。