王为民 （四川省南充市龙门中学邮编637103）

1834年 8月，英国人——约翰 ·司各脱 ·罗素（ John Scott Russell,1808 —1882） 和达尔文乘贝格尔号勘探船在南半球作探险考察时，26岁的罗素受命在爱丁堡到格拉斯哥的运河上进行勘探。第二年，他在《英国科学促进协会第 14届会议报告》上发表了一篇题为《论波动》的论文，文中描述了他的这次考察中的一次奇特经历。

“我正在观察一只船的运动，这只船由两条马拉着很快地沿着狭小的水道向前航行着。突然间，船停了，但是由船所牵动的水道中的水团却没有停止运动。水环绕着船头积聚着，引起了一阵强烈的骚动，然后，水团突然飞快地向前滚动，远远地离开了船头。突然，水中出现了一个很大的突起孤峰，这个圆团形的、光滑完整的水团沿着水道继续它的进程，俨然不改变它的形状，而且速度也不减小。

“我骑着马追逐着，最后赶上了；但是，水团仍然保持着它最初的形状——有三十英尺长，半英尺高的水团——仍以每小时八或九英里的速率继续向前滚动。后来，高度逐渐减小了，在我整整追逐了一二英里以后，水团便在蜿蜒的水道中消失了。这一情景是我第一次有幸遇见的奇特而又优美的壮观。”

后来，罗素把他发现的奇异波叫做孤立波。罗素晚年把这一天称为他一生中最幸福的一天。罗素逝世 100周年后，即1982 年在这条运河边树起一座罗素像纪念碑，以纪念148年前的这一不同寻常的发现。

罗素以毕生的精力进行孤立波的研究，他曾经在一条 >6英尺 深的小河道中人工再现过一个小的孤立波，导出了它传播的经验公式。但是，限于当时的科学技术水平，人们没有在理论和实验上作出进一步研究。又经过 60多年的探索，两名年轻的荷兰学者柯特维格和德弗里斯研究了狭窄水道浅水中的小振幅长波运动，终于导出了著名的 KdV方程，为孤立波的研究提供了理论基础。

KdV方程的形式为：

其中左边第二项为是非线性项，第三项是色散项。

它的一个特解为：

这里 c是水团的行进速度， A为波峰高度， b为水域宽度， h为水的深度。这个特解是一个典型的孤立波解。

更简单的形式是

它的一个特解是

（4 ）

其图形如下：

这个图形是一个孤立的脉冲，波峰高度为 ，速度为。从这个 孤立波解可以看出，孤立波速度的大小与它的高度有一定的联系。

可以设想，如果河道中有两个孤立波，向同一方向前进，一个 波峰低，一个 波峰高。显然波峰高的速度较快，波峰低的速度较慢。现在让 一个波峰低的 孤立波在前面跑，一个波峰高的 孤立波在后面追。经过一段时间后，后面的波峰高的 孤立波最终会追上前面的波峰低的 孤立波，发生碰撞。碰撞后它们的波形是否能够保持呢？

大多数人猜测，非线性波碰撞后波形会发生改变。原因是一般的非线性波碰撞后的理论和实验结果都表明会发生改变。所以人们猜测孤立波属于非线性波，非线性波碰撞后波形也会发生改变。

但是， 1965年，美国科学家萨布斯基和克鲁斯卡尔公布了他们在高速电子计算机上的计算结果，结果大大出乎人们的意料，两个孤立波碰撞后波形和速度都不发生改变！

孤立波具有粒子般的特性。促使两位科学家创立一个新的英文名词—— Soliton（孤立子）来进行命名。

由于两个孤立子相互碰撞后形状和速度都不发生改变，所以，人们把它和微观粒子联系起来，因为微观粒子具有波粒二象性。而孤立子也具有“波粒二象性”。但是，这里还是有一些区别，因为这里的孤立子完全属于经典力学范围。

1958年，人们发现在强磁场中的等离子体内也可以产生孤立波，并建立了一类非线性偏微分方程，即非线性薛定谔方程，它的一维形式为：

（5）

这个方程与一般的线性薛定谔方程不同的是多了一项非线性项，其中 G是参数。这个方程常常被应用在非线性光学中的自聚焦现象和等离子体的单色波自调制问题中。

在超导体和铁磁体理论的某些问题中会出现 另一类非线性孤立波方程，叫做正弦—戈登方程，其一维形式为：

（6 ）

上式左边与线性波动方程类似。

除以上几种类型的孤立波方程外，还有其它不同类型。但是，目前发现的所有非线性孤立波方程的孤立波解，都是一维的。

基本粒子是否就是孤立子？对于这个问题，我们暂时还不能简单地划等号。因为基本粒子有几百种之多，而且它们之间可以相互作用和转化。而孤立子种类太少，而且，能够得到的解全都是一维的，根本不能和基本粒子之间建立一一对应关系。

但是， 1976年，美籍华裔物理学家李政道等人对孤立子概念进行了扩充，在新的定义下，孤立子具有了三维形式，这使孤立子与实物粒子之间的对应关系又靠近了一大步。

1973年荷兰青年物理学家提出一种磁单极子理论，说明磁单极子具有波动非线性特征，据认为磁单极子可能就是一种孤立子。

现在，人们一般认为：

（ 1）、孤立子是某些非线性演化方程的特殊波动解。

这种波在传播中保持形状、速度不变，能量集中在狭小的空间范围而不弥撒开来。

（ 2）、孤立子的碰撞过程与实物粒子相似。

它和实物粒子一样具有质量、动量和能量特征，在外力作用下服从牛顿第二定律。

所以，人们确信，孤立子具有波动和粒子特性决非偶然，它一定存在深刻的物理根源。所以，孤立子吸引着越来越多的物理学家和数学家的注意。

孤立子在自然界中广泛存在；比如在安达曼海泰国海岸的海面上以及婆罗洲同菲律宾之间的苏卢海中发现了海面孤立波；木星上的大红斑；神经纤维中传递的神经冲动等。

而孤立子理论已经渗透到晶格理论、非线性光学、等离子体物理、分子生物学、基本粒子理论、海洋学、凝聚态物理、导电塑料、激光和光纤通讯、电磁导弹等领域。

在数学上具有孤立子解的非线性波动方程具有以下几个特征：

（ 1）、可以用散射反演法求解方程。这种方法是将非线性问题的解转化为线性问题来求解。

（ 2）、可用贝克隆变换求解。即将方程的一个解变至另一个解。

（ 3）、很多有孤立子解的非线性方程有无穷多个守恒律。同时有无穷多个守恒量。

（ 4）、有孤立子解的非线性方程可以转化为完全可积的哈密顿系统。

孤立子在实践中也得到了大量应用。

比如 1968年孤立子理论就被应用在光纤通讯中。光纤通讯系统中光脉冲的传输面临脉冲能量的损失和展宽两个问题。如果发送脉冲过密或传输距离过长，就会在光纤通讯系统接收端造成脉冲重叠现象，以致无法识别。所以，脉冲展宽是限制光纤通讯系统扩大传输容量的主要因素。所以，人们制成了孤子激光器，如拉曼孤子激光器、掺铒光纤孤子激光器和锁模半导激光器等，使其在光纤中以非线性光孤子的形式保持光信号的振幅、脉宽和形状不变，这类似于神经冲动在神经纤维上的传导。

1979年，乌克兰科学家达维多夫将一维孤立子理论应用在 α—螺旋蛋白质分子中结合能的传输问题，在连续性近似下，化为非线性薛定谔方程，它的解就是达维多夫孤立子。其它科学家又把孤立子理论应用在了肌肉的收缩问题中。

总之，孤立子理论对数学、物理、生物学等领域的发展有着非常重要的意义。