王为民( 四川南充市龙门中学邮编637103)

意象力学是一切视觉和听觉艺术的理论基础。笔者多年以前就提出了意象力学的概念和一般规律，这里将进一步做出深入研究。

一、意象力学的概念

意象力学是研究人类通过视觉和听觉现象而形成的力的心理感觉。这种感觉是一种客观存在，与我们的主观意志有区别也有联系。

意象力学规律的成立是有条件的。它必须是在人的感觉器官正常和心理健康的情况下，在一个视野和听觉范围内才能对一系列比较对象进行对比，得到意象力学的客观规律。

研究意象力学目的是提高人类艺术创造活动的水平，为人类艺术事业做出贡献。

二、视觉现象中意象力学

视觉现象中意象力学，是在人的视觉器官正常，心理健康，在观测者一个自然的正常视觉范围内对一系列比较对象进行对比得到的客观规律，而不能所有比较对象中的任何一个超出人的一个正常的视野范围，否则就不符合意象力学的规律。

研究意象力学必须应用微分几何、物理学、心理学等方法进行研究，才可以得到正确的结论。

1、 平面上的意象力学

（1）、平面上的意象力学实验

①曲率

平面曲线r = r(s)在S点的 曲率定义为

其中，⊿θ表示相邻两切向量Τ (s+⊿s)与Τ(s)的夹角，⊿ s表示弧长。

对于两条曲线上间隔同为⊿ s的两对点，弯曲越大，对应的 ⊿θ就越大，从而平面曲线的曲率 k(s)也越大，如图所示。

②意象力学实验

Ⅰ、观察实验一

观察下面两条曲线，不难发现，

由于弧长 ⊿S1 < ⊿S 2

意象力 ⊿F 1 < ⊿F2

所以，在平面上的任意曲线，意象力的大小与曲线的弧长成正比，即

⊿F ∝ ⊿S

Ⅱ 、观察实验二

经过观察还发现，由于

⊿θ1 < ⊿θ2

意象力 ⊿F1 < ⊿F2

所以，在平面上的任意曲线，意象力的大小与曲线的角度变化成正比，即

⊿F ∝ ⊿ θ

Ⅲ、观察实验三

通过观察发现，意象力的方向与主法向量方向相反。

（2）王氏平面意象力学定律

总结上述三个观察实验，笔者发现，在正常人的一个视野范围内，平面曲线意象力 ⊿F的大小与曲线的相邻两切向量Τ(s+⊿ s)与Τ(s)的夹角⊿θ 和弧长⊿ s成正比，方向与曲线主法向量 N(s)方向相反，这就是王氏平面意象力学定律，用公式表示为：

⊿F = -ρ⊿θ⊿sN(s)

其中F 表示平面意象力，单位为为民， ρ是一个与光频率、亮度、饱和度和观测距离有关的常数，单位为 为民/ 弧度米，⊿θ表示曲线的相邻切向量 T(s+⊿ s)与 T(s)的夹角， 单位为弧度，⊿ s表示曲线的两个点之间的间隔，单位为 米，N(s)表示 曲线的单位主法向量，无量纲，负号表示意象力的方向与曲线的主法向量方向相反。

如果是光滑曲线，王氏平面意象力学定律可用微分形式表示为

dF = -ρ N(s)dθds

王氏平面意象力学定律的积分形式为

F = -∫∫ρ N(s)dθds

王氏平面意象力学定律还可以用曲线的曲率表达为

dF = -ρ k(s) N(s)ds²

即，意象力 F的大小与曲线的曲率和弧长的平方成正比，方向与曲线主法向量方向相反，

其中k(s)表示 平面曲线的曲率。

积分形式为

F = -∫∫ρ k(s) N(s)ds²

（3）、 王氏平面意象力学定律的应用

① 距离产生美（意象力的大小与距离成正比）

由王氏平面意象力学定律的微分形式可以看出，当两个比较对象 ρ、N(s)、dθ完全相同的情况下， 意象力F 的大小与曲线长度s成正比(这就是王氏距离定律 )。如图所示，汉字“斯”右边的一竖，用笔画边界曲线进行分析，为了便于观察，这里用虚线代表“斯”右边的一竖的边界，见虚线包围的的部分。“斯”右边的一竖越长，虚线的长度越长， 意象力也越大。

再比如汉字的“典”字下面的两点，用虚线把它包围起来，很明显，“典”字下面的两点的距离越大，虚线的长度就长，意象力也越大，所以，意象力 F的大小与曲线长度 s成正比。

这时，可以简单地说，意象力的大小与距离成正比。

②曲线美（意象力的大小与角度变化成正比）

由王氏平面意象力学定律的微分形式可以看出，当两个比较对象 ρ、N(s)、ds完全相同的情况下， 意象力F 的大小与角度变化 θ成正比。

比如，汉字“身”字的竖画，向前面弯曲比直线更有力。

③丰满（ 面积越大越有力）

由王氏平面意象力学定律的微分形式可以看出，当两个比较对象 ρ、N(s)、dθ完全相同的情况下， 意象力F 的大小与曲线长度s成正比。所以，两个比较对象在形状大小相同的情况下，面积越大，周长越大，所以， 意象力就越大。比如，“大”字，字形小，意象力就小，而字形大，意象力就越大。

④不连续曲线的意象力学受力分析举例

直线的意象力大小为零。

对于汉字毛笔书法的点、横、撇、捺、竖、勾、挑、折等笔划和数学上的曲线是有区别的，在分析意象力大小时，应该以汉字笔划的边界画曲线，进行计算。

在进行不连续曲线的意象力学受力分析时，应该把角度的跳跃放在两条线段之间进行计算，而不能放在一条线段的起点或终点进行计算。

为了不让计算结果为零，得到有意义的结果，不能直接应用微分公式进行计算。最好用连续曲线从外面或内部去“逼近” 不连续的折线进行计算。比如下面的折线，可以用一条连续曲线从 内部去“逼近”进行计算。

再以等腰三角形Δ ABC为例，如果等腰三角形 ΔABC的边长AC=BC，外角⊿θ 1 =⊿θ2 > ⊿θ3， 也是用连续曲线（虚线部分）去“逼近”进行计算。如图所示：

曲线的总意象力可以为零，但是，局部可以不为零，所以可以产生内聚、内聚和扩散、膨胀等形式的意象力的感觉。如下图所示：

2、三维空间中的意象力学

（1）、三维空间中的意象力学实验

① 曲率

空间曲线r = r(s)在S点 曲率定义为

② 空间曲线r = r(s)在 S点挠 率定义为

τ (s) = - B′(s)·N(s)

由此可见，挠 率τ (s)的绝对值B′(s)的长度：

其中，⊿j 表示曲线两个相邻点S和S+⊿ S的从法向量B(s)与B(s+⊿ S)的夹角。也就是挠 率τ (s)的绝对值衡量了曲线在其一点的密切平面的法线向量的倾斜角对其弧长的变化率，即曲线在其一点“偏离”相应的密切平面的程度。

当挠 率τ (s) = 0 时，一般空间曲线就变成了平面曲线。

③ 意象力学实验

观察实验，下图所示：

以上为圆柱螺线：

r(s) = {acosωs,asinωs,bω s},其中a、b是常数，ω= 1/(a²+b²)½， s是弧长为例。

圆柱螺线r(s)的曲率

k(s) = |T′(s)|²=a/(a² +b²)

圆柱螺线r(s)的 挠率

τ(s) = b/(a²+b² )

通过观察不难发现，意象力⊿ F的大小与曲线的 两个相邻点S和S+⊿ S的从法向量B(s)与B(s+⊿ S)的夹角⊿j 成正比。即

⊿F ∝ ⊿j

（2）、王氏三维空间意象力学定律

在正常人的一个视野范围内，空间曲线意象力 ⊿F的大小与曲线的相邻两切向量Τ(s+⊿ s)与Τ(s)的夹角⊿θ、 曲线的两个相邻点从法向量 B(s)与B(s+⊿S)的夹角⊿ j和弧长 ⊿s成正比，方向与曲线的主法向量方向相反，这就是王氏三维空间意象力学定律，用公式表示为：

⊿F = -ρ′⊿θ⊿ j⊿ sN(s)

其中F 表示平面意象力，单位为为民， ρ′是一个与光频率、亮度、饱和度和观测距离有关的常数，单位为 为民/ 弧度²米，⊿θ表示曲线的相邻切向量 T(s+⊿ s)与 T(s)的夹角，⊿ j表示 曲线的两个相邻点从法向量 B(s)与B(s+⊿S)的夹角， 单位都是弧度，⊿ s表示曲线的两个点之间的间隔，单位为 米，N(s)表示 曲线的单位主法向量，无量纲，负号表示意象力的方向与曲线的主法向量方向相反。

如果是光滑曲线，王氏三维空间意象力学定律的微分形式可表示为

dF = -ρ′ N(s)dθdjds

王氏三维空间意象力学定律的积分形式为

F = -∫∫ρ′ N(s)dθdjds

王氏三维空间意象力学定律还可以用曲线的曲率和挠率 表达为

dF = -ρ′ k(s) τ(s)N(s)ds ³

即，意象力 F的大小与曲线的曲率、 挠率和弧长的立方成正比，方向与曲线主法向量方向相反，

其中k(s)、τ(s)分别表示 平面曲线的曲率和挠 率。

积分形式为

F = -∫∫ρ′ k(s) τ(s)N(s)ds ³

（3）、 王氏三维空间意象力学定律的应用

比如圆柱螺线，明显比平面上的圆有更大的意象力。

3、曲面上的意象力学

曲面上的意象力直接用高斯曲率和曲面面积进行定义比较方便。

（1 ）、高斯曲率

曲面的第一基本形式为

Ⅰ =Edu²+ 2Fdudv + Gdv²

曲面的第二基本形式为

Ⅱ=Ldu²+ 2Mdudv + Ndv²

高斯曲率被定义为

K =k1k2

其中k1、k2表示曲面的主曲率。

同时， 高斯曲率还可表示为

K = (LN - M ²)/(EG - F²)

高斯曲率绝对值的几何意义可以 按照高斯映射给予解释。

如图所示，曲面S中的区域 在高斯映射 下被映射到球面 S²的区域，它们的面积分别是 A和 A* 。和 对应于参数平面的同一区域D。P∈ ，P *∈ ，

： P →P*

高斯曲率的绝对值为

其中

由此可见，高斯曲率绝对值的几何意义就是：当曲面 S在 P点附近较平坦时，直观地看出， 的面积不大；反之，当曲面S在P点附近弯曲较大时， 占的面积也越大。

高斯曲率 K的符号如下：

（ 2）、观察实验

观察下面的凸曲面，可以发现，意象力F的大小与高斯曲率 K成正比，即

⊿F ∝K

对比平面上的意象力学实验，可以知道，意象力F的大小与还与曲面面积的平方成正比，即

⊿F ∝ ⊿S²

（ 3）、曲面上的王氏意象力学定律

在正常人的一个视野范围内，空间曲线意象力⊿F的大小与曲的高斯曲率 K和曲面的面积的平方成正比，方向与曲面的法向量方向相反，这就是曲面上的象力学定律，用公式表示为：

⊿F = -ρ′′Κ⊿sN(s)

其中⊿F表示平面 意象力，单位为为民，ρ′′是一个与光频率、亮度、饱和度和观测距离有关的常数，单位为 为民/ 弧度²米⁴ ，⊿s表示曲面的面积， 单位为平方米，N(s)表示曲面的单位法向量，无量纲，负号表示意象力的方向与曲面的法向量方向相反。

如果是光滑曲面，曲面上的王氏意象力学定律的微分形式可表示为

dF = -ρ′′Κ N(s)ds²

曲面上的王氏意象力学定律的积分形式为

F = -∫∫ρ′′Κ N(s) ds²

（4）、 曲面上的王氏意象力学定律的应用

应用曲面上的王氏意象力学定律，使我们能够解释为什么人在挺胸、抬头、提臀的情况下更精神，更有力的美感。为什么山峰越大越高越壮观。为什么大海的波浪比小河沟的浪花更有气势。黄角树瀑布比山泉更磅礴。下面比较女性的乳房为什么这么美。

比较一下维纳斯的照片，乳房更大更挺就更美，这是意象力更大的原因。

4、观测者对观察对象的距离的依赖关系

观测者和观察对象的距离影响意象力的大小和方向。即意象力的大小与观测者和观察对象的距离的平方成反比，意象力的方向决定于观测者和观察对象的方位。

dF ∝ 1/r²

这个关系已经包含在前面的ρ、ρ′和ρ′′中了。

5、 观测者对观察对象亮度和颜色的依赖关系
一般地说，意象力的大小与观察对象的光波频率 υ和饱和度L成正比，与 观察对象的亮度I 成反比。即

dF ∝ υL/I

这个关系同样包含在前面的ρ、ρ′和ρ′′中了。

所以， ρ=ευ L/I r²

ρ′=ε′υL/I r²

ρ′′=ε′′υL/I r²

其中，ε、ε′、ε′′都是常数。如下图所示：

三、听觉现象中意象力学

笔者定义听觉现象中意象力的大小与响度E、音高（频率） V和时间 T成正比，方向与响度 E、音高（频率） V的变化率法向 N(T)方向相反，即

F = -ρ EVT N(T)= - 10ρVT N(T)logI/I 。= - 20 ρVT N(T)logP/P 。

其中，E = 10logI/I 。= 20logP/P。

F表示意象力，单位为为民， E为响度，单位为分贝（ d.b.），I为声音强度，P为声压， T为时间，V表示音高（频率），单位为赫兹/秒，ρ为常数，单位为为民 /分贝赫兹，N(T)表示 意象力与响度E 、音高（频率）V 变化率的法线方向。

参考文献：

苏步青，刘鼎元，初等微分几何，上海科学技术出版社，1985.3

曹日昌，普通心理学，人民教育出版社，1991.1