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¶ http://sea3000.net/wangweimin ¶ 王为民科学与艺术网站
王为民( 四川南充市龙门中学邮编637103) 传播着的振动就是波。比如水波、声波、光波等。最简单的波是机械波。机械波是一种扰动使媒质偏离平衡位置，并且可以随时间从一个区域移动或传播到另一个区域形成的。 一、 波动方程 波函数 y = Ysin(ωt - kx) 波的传播速度为 c = λ f = ω/k 将波动方程中的x 看着常数，取y 对t的导数（即偏导数）得质点振动的速度 v = ә y/ә t = ω Ycos(ωt - kx) 二阶偏导数得到质点振动的 加速度 a = ә ²y/ әt ²= -ω²Ysin(ω t - kx) 如果将波动方程中的 t看着常数，取 y对 x的导数（即偏导数），则 әy/ әx = -kcos(ωt - kx) ә²y/ әx ²= -k ²sin( ωt - kx) 由于
所以，有
这就是波动方程。可见，y是以波速c沿 x轴传播的行波。 二、 横波的速度 波在绷紧的弦上的传播速度与弦的每单位长度的质量u及张力 S的关系为
如图所示：
根据相似三角形的关系有 F/S = vt/ct 所以 F = Sv/c 扰动在运动部分的横向冲量（横向力× 时间）为 横向冲量= Ft = Svt/c 运动部分的横向动量（质量×横向速度）为 横向动量= uctv 由于 横向冲量= 横向动量 所以 Svt/c = uctv 因此
这是弦上的横波的传播速度。 三、 纵波的速度 将密度为ρ 的流体（液体或气体），装在截面积为A的管子内，压强为 p，受到的压力为 ⊿pA的扰动 。如图所示：
扰动在流体运动部分的纵向动量为： 纵向动量= ρctAv 以运动部分的流体计算流体的弹性模量：
所以
扰动在运动部分的流体的纵向冲量为：
由于 纵向冲量= 纵向动量 因此
故
这就是纵波的传播速度。 如果是固体棒的一端受到打击，时，与被限制在恒定截面积的管子中的流体稍有不同的是：固体棒在受到纵向压缩的同时，固体棒还有微小的侧向膨胀，这时固体棒的纵向脉冲的传播速度为
式中的Y 为杨氏模量。
四、纵波的绝热特性 流体压缩时，温度要升高，流体膨胀时，温度要下降。人能听到的声波的频率范围为 20~20000赫兹，波长对应为 >17米 到 >1. >7厘米 左右。流体的导热率取定于稠密区到稀疏区的距离（半波长）。 对于声波来说，由于热导率非常小，所以，纵波的稠密区到稀疏区之间是绝热的，而不是等温的。 在纵波的速率表达式
中，根据体积变化的原因不同，弹性模量B分 两种，即绝热体积弹性模量Bad和等温体积弹性模量两种。 所以，一般情况下（绝热的），纵波的速率表达式为
绝热体积弹性模量Bad 被定义为
这里的p 表示气体的压强，V表示气体的体积。 而理想气体的绝热方程为
其中γ= Cp/Cv ，即为定压热容Cp 与定容热容Cv 之比。 对绝热方程求对数，得 lnp + γ lnV = ln常数 对此方程求微分得
所以
由此可得理想气体的绝热体积弹性模量 Bad = γ p 而等温过程中， γ=1，所以 等温体积弹性模量为 B = p 因此，绝热和等温过程的纵波传播速率可以统一表示为
由理想气体的状态方程可以得到 p/ρ= RT/M 其中R 是普适气体常数，M是分子量，T是开氏温度。 因此
由于γ 、R 、M 都是常数，所以， 理想气体中的纵波的传播速度与开氏温度的平方根成正比。 最初，牛顿认为声波的传播是一个等温过程，但是，根据上面的公式计算出的数据和实验结果比较并不符合。 1816年，法国科学家拉普拉斯指出了牛顿的错误，认为声波传播很快，来不及和外界交换热量，不应视为等温过程，而应该看作是绝热过程。 四、水波 静止的水受到扰动时，质点离开平衡位置，在回复力作用下形成水波。水波不是单纯的横波，也不是单纯的纵波，是横波和纵波的叠加。 1、表面波的微分方程 水波的回复力是重力和水的表面张力，其中，在重力作用下形成重力波，在表面张力作用下形成张力波，它们统称为表面波。 取x轴为水波的传播方向，y轴为竖直向上的方向。如图所示：
流体中质点的速度为 V = -▽φ 其中φ为速度势。 不可压缩流体必须满足拉普拉斯方程 ▽²φ= 0 在平面笛卡尔坐标系中，上式表示为
如果在水槽中，侧壁的边界条件为
n为水槽侧壁的法向。此式表示在水槽侧壁的法线方向没有速度的变化。 对于有限深度的水槽中的表面波，设自由表面的平衡位置处 y = 0 流体从平衡位置到自由表面的位移为η 于是自由面的方程为 y - η= 0 由于自由面随流体运动，所以
而
其中u 、v 分别为x 、y 方向的速度分量，t 为时间。 于是自由面的方程变成
略去高阶小量 得
考虑自由表面的张力产生的附加压强
其中p 为压强，T 为张力系数，R1 、R2 为主曲率半径。 在上面的坐标系，只能用到一个曲率半径（注意：曲率半径的倒数是曲率） 所以，有
根据流体力学的伯努利方程
考虑到水波除波动外，处处静止，所以，可以忽略
得到
对于波动，含有p 、φ、y的每一项都含有一个共同的因子
所以，伯努利方程变成
这个方程和前面的拉普拉斯方程、 水槽侧壁的边界条件一起成为水的表面波的一个线性微分方程组，即
2、表面波的微分方程的解 如果表面波平衡位置y = 0，则在深度为h 的底面上， y = -h，对于波数为 k的正弦波，V = -▽φ的解为 φ= Acoshk(y + h)cosk(x - ct) 在y = -h处的满足边界条件
此时
如果用X(t) 、Y(t) 是一个质点从平衡位置(x,y)算起的位移分量，忽略u、 v在点 (x,y)和点 (x+X,y+Y)的计算值的差别，由
可以得到表面波的波动方程为
所以水波中的质点的运动轨迹为一椭圆，即
其中
当y = -h 时，Y=0,
质点的运动的椭圆轨迹蜕化为一条水平线段。 当h →∞时， a=b， 质点的运动的椭圆轨迹已经变成了圆。 所以，越接近水的表面，质点的运动的轨迹越接近圆；越接近水底，质点的运动的轨迹由圆变成椭圆，再变成一条水平线段。
3、水波的传播速度 由前面
可得
其中波数k=2 л/λ。 当波数 k很小时，即对于非常长的波，自由表面的曲率很小，表面张力的影响可以忽略不计（即圆括号内的第二项可以忽略），同时， tghkh≈kh 所以
这时，表面波即为重力波。 当波数k 很大时，即对于非常短的波，自由表面的曲率很大，表面张力非常大，而重力的影响可以忽略不计（即圆括号内的第一项可以忽略），同时tghkh≈1 所以
表面波此时即为张力波。 从水波的速度公式可以看出，这一表达式和弦上的横波或流体中的压缩波的传播速率的表达式明显不同，这里速度不仅与媒质的性质有关，而且与波长 λ（即k=2л/λ）有关，这说明媒质是色散的。 在沟槽中，质点的运动的椭圆轨迹的长轴是水平的，这种运动可以看成是两个频率相同，振幅不同的简谐振动的叠加。一个在水平方向振动，一个在竖直方向振动，相位相差 90°。如果波长和水的深度长短，或者比水的深度还小，则在表面处，两个振幅几乎相等，表面质点做圆周运动。 X分量和Y分量的振幅随深度的增加而减小，但是，竖直分量的振幅比水平分量的振幅减小得快一些。在沟槽底部，竖直分量的振幅变为零，振幅全部是纵向的。 在沟槽中，质点的运动的椭圆轨迹沿顺时针方向旋转。 在弹性固体的表面，也可形成类似的波，由于材料的刚性使情况更加复杂，结果使位移的纵向分量和横向分量之间的相位差，随着表面下的深度而改变，这种波称为瑞利波。在雷达、电视和无线电信号所用的机械装置中要考虑这种情况。 六、电磁波 电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组 ▽×E = - ӘB/ Әt ， ▽×H = - ӘD/ Әt ， ▽·D = 0， ▽·B = 0。 在自由空间中，ρ= 0,J = 0, 麦克斯韦方程组变成： ▽×E = - ӘB/ Әt ， ▽×H = - ӘD/ Әt + J ， ▽·D = ρ， ▽·B = 0。 在真空中， D=ε。 E B=µ。 H 所以有 ▽×（▽×E）= - Ә▽×B/ Әt = -µ 。ε。Ә ²E/ Әt ² 因为▽·E = 0有 ▽×（▽×E）= ▽ (▽·E) - ▽²E = -▽² E， 因此，电场 E的偏微分方程为 ▽²E - µ。ε。 Ә²E/ Әt ²= 0 同理，在麦克斯韦方程组消去电场 E，可得的到关于磁场 B的偏微分方程 ▽²B - µ。ε。 Ә²B/ Әt ²= 0 令
所以，关于电场E 和磁场 B的偏微分方程为
这就是电磁波的波动方程，c是电磁波在真空中的传播速度。
由于真空中的介电常数 µ。 = 4л×10⁻⁷亨/米= 12.5663706144× 10⁻⁷ 亨/米 真空中的磁导率ε。 = 10⁷/ (4π c²)法/ 米 = 8.854187889 ×10⁻¹²法/米 所以，真空中的电磁波的传播速度
在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，比如无线电波、光波、 X射线和 γ射线等）都以速度 c传播， c是最基本的物理常数之一。 但是，在介质中，电磁波的传播速度为
其中
参考文献 郭泰运等，大学物理学（第二册），人民教育出版社，1981.6 张建华，栾蓉，静水中表面波的力学分析，大学物理，高等教育出版社，1994.2 郭硕鸿，电动力学，高等教育出版社， 1984.2
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王为民 （w_wm39@yahoo.com.cn） 上传2007.12
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分别表示介质的相对介电常数和相对磁导率。由于