王为民

（四川南充市龙门中学 邮编：637103）

公元前，古罗马诗人，唯物主义哲学家卢克莱修（公元前约 99—55年）写道：

实际上是两样东西组成了大自然，这，首先是物体，再则是那虚无缥缈的太空，物体在那儿停留并以不同的方式运动。

但是，那虚无缥缈的太空有边界吗？再说，纵然宇宙空间是有限的，假若突然有某人急速地奔跑，到达那边缘的终端，他以全部力量和冲刺的速度掷出一支标枪，它一直向前飞去，它会不偏不倚地命中那预定目标，或是在它的路程上的某个地方被什么东西阻挡？你不得不承认其中的一个结果，但你无法解释其中任何一个结果，你必须同意，宇宙空间扩大到无穷的远方。

文艺复兴时期的意大利哲学家布鲁诺（ 1548—1600年）直到站在火堆上被烧死之前，还不止一次地重复说过：“尽管这个地球是如此美好，但我始终要问：在它的外面究竟还有什么？”

如果宇宙空间是有限的，那么请问，它的边界外面是什么？

牛顿说：“绝对空间，就其本质来说，独立于外界任何事物，总是始终如一和静止不动的。”在一个既没有中心，又没有方向性的真空中，运动的物体将作匀速直线运动，我们找不到什么理由，它应该按照别的什么方式运动，这就是牛顿第一定律。

宇宙到底有不有一个“不动的中心”？牛顿说：“世界体系的中心处于静止状态。所有人都可以承认这点，因为一些人可以把地球看作不动的中心，另一些人可以把太阳看作不动的中心”。

假定宇宙有一个不动的中心。但是，根据相对性原理，我们根本无法区分宇宙中那一个点才是宇宙的中心。

我们坐火车的时候有这样的经验，我们坐在火车里，常常搞不清到底是我们在运动，还是迎面驶来的火车在动。

同样理由，假如张三和李四两人分别位于甲、乙两个点上作相对运动。那么张三和李四根本无法确定到底是谁处于静止状态，谁在做运动，谁才是宇宙中的那个不动中心。

假如有第三个观察者王五也在作相对于张三和李四的相对运动。在王五看来，自己也可以认为自己是静止的，自己是宇宙的中心，是张三和李四在做相对于自己的运动。这样一来，到底谁是宇宙的中心，要凭我们的实验和观测是根本无法确定的事。即宇宙根本没有中心。

在数学上，一条空间曲线的切向量T、主法向量N和从法向量B；曲率和挠率全是弧长参数s的函数，被弧长参数s唯一决定，即一条空间曲线只需要“一个”弧长参数描述，所以，一条空间曲线就是一个“一维空间”。

把一条空间曲线看成是一维空间，原因是一条空间曲线只是受内在几何量：曲率、挠率唯一决定，可以脱离欧氏三维空间，所以，把一条空间曲线看成是一维空间是合理的。

如果有一个“一维人”，只有长度，没有宽度和高度，那么，他就可以在曲线形成的“一维空间”运动。

如果在一条首尾相接的闭合空间曲线中，一个“一维人”在这一条闭合空间曲线中运动，他会发现，他在向前或向后两个方向运动的过程中，“一维空间”有限无边，即长度有限，但是，没有边界，所以，这个一维空间“有限无界”。

一维空间有限无界，所以，也就没有中心，即处处是边界，处处是中心，也就是没有所谓边界，也就没有所谓中心。

但是，这个“一维空间”到底是闭合的（比如一个圆周），还是没有闭合，是开放的（比如直线），这只能由实验确定。

二维空间是一个曲面，它的内在几何性质完全可以脱离欧氏三维空间而独立地被第一和第二基本量决定，所以，可以把二维曲面，叫做二维空间。

球面就是一个二维空间。

比如球面人，只有面积，没有厚度，他在球面上运动的时候，发现，球面面积是有限的（不是无穷大），但是，球面人发现，球面没有边界，所以，球面是“有限而无界”的。

对球面人来说，没有发现球面的边界，也同样无法确定球面的中心，所以球面没有中心。

但是二维空间是闭合的（比如球面），还是开放的（比如伪球面）应该由实验确定。

根据爱因斯坦相对论，我们的宇宙是四维时空（三维空间加一维时间），同样是有限而无界的，没有边界也没有中心。但是，我们的宇宙到底是闭合还是开放，应该由实验来确定。

其实，任意 N 维空间的的内在几何性质完全由度规张量所决定的。

任何维度的空间都有曲率，都有相应的计算公式。

一维空间，曲率为零时，是一条直线；

二维空间，曲率为零时，是一个平面；

三维空间，曲率为零时，是欧氏空间；

四维空间，曲率为零时，是平坦的黎曼空间，其中一种平坦的黎曼空间，就是闵氏空间。

其实，任意维空间，定义了空间中的两个点的“距离”后，都是黎曼空间。

我们的宇宙是多少维度的？曲率是多少，只有靠观测才能确定。

爱因斯坦认为，在引力场中，四维时空，时空曲率不为零，特别是大质量的恒星周围时空曲率不为零，物理时空偏离了平坦的闵氏空间，经观测得到了证实。

采用黎曼空间才可能计算出时空曲率，我们不能用时空曲率为零的空间来描述我们这个宇宙。

在宇宙学中，罗伯特-沃克度规

ds²= c²dt²- a²(t)[dr²/(1-kr ²)+r² (d θ²+sin²θ d ф²)]

中，a (t) 代表宇宙尺度因子，k代表空间的曲率指数，而

K = k/a²(t)

代表空间曲率。

如果 k=+1 ，则罗伯特-沃克度规对应闭合球形空间；

如果 k=-1 ，则罗伯特-沃克度规对应开放双曲空间；

如果 k=0 ，则罗伯特 - 沃克度规对应平坦空间。

把罗伯特- 沃克度规代入爱因斯坦引力场方程

R_ik 是里契张量，R 是标量曲率，Λ g_ik是宇宙项， Λ是宇宙学常数， T_ik是宇宙流体的能量动量张量，K 是常数。

可以得到

和

它们分别是弗里德曼方程和相对论连续性方程。其中， μ表示质量密度。

为了简化计算，取光速 c=1，令 C_m=8πGμa³/3=Kμ a³/3

那么， 弗里德曼方程变成

其解形式地表示成

在宇宙流体的物态方程 p=p(μ )确定后，三个作为时间函数的参量 a(t),μ (t)和p(t)就可以确定下来。

1、 标准宇宙模型

如果 物态方程为

ε =µc², p=0

表示宇宙物质是无压尘埃，这样的宇宙模型叫做标准宇宙模型，或叫做弗里德曼宇宙模型。

2 、爱因斯坦 静态宇宙模型

如果 p=0 ,同时 ，所以宇宙尺度因子a=常数

有 k=+1 ，这就是爱因斯坦 静态宇宙模型。

爱因斯坦宇宙的 罗伯特-沃克度规变为

ds²= dt²- a²(t)[dr ²/(1-r² )+r ²(dθ² +sin ²θdф² )]

由此可以计算出 爱因斯坦宇宙的

体积为 V=2π²a³

宇宙总质量为 M=μV=2π²a³μ

环绕闭合的爱因斯坦宇宙的距离为 2πa

因为 宇宙尺度因子a= 常数，曲率指数k=+1 ，其空间为常曲率的三维球面，这是一个静态的、闭合的和有限没有边界的宇宙。

爱因斯坦宇宙的缺点是不能解释遥远星系光谱的红移。不过由于宇宙膨胀而导致的遥远星系光谱的红移是在爱因斯坦 静态宇宙模型提出十几年后才发现的。

3、空虚宇宙模型

如果质量密度 μ=0 ，这就是空虚宇宙模型。

它包括

空虚静态平坦宇宙：

Λ =0,k=0,a=常数

密尔恩宇宙：

Λ =0,k=-1,a=cτ=τ

τ为固有时。密尔恩宇宙可以解释 3K背景辐射的运动学。

德西特宇宙：

Cm=8π Gμa³/3=Kμ a³/3>0

当Λ >0时，

曲率指数 k和宇宙尺度因子 a(t)分别为

k=+1表示在斥力 (Λ >0)作用下，宇宙从开始 持续膨胀，以至无穷。

k=-1表示宇宙流体元的类时短程线交汇于一点， 在斥力( Λ>0)作用下持续膨胀。

k=0表示宇宙持续膨胀，最终达到极限。

当Λ <0时，得到反德西特宇宙，它的曲率指数k和 宇宙尺度因子a(t)分别为

这表示宇宙开始膨胀，后来受引力（ Λ<0）的制约而减慢， 这是振荡宇宙模型。

德西特宇宙能很好地描述遥远星系光谱的红移现象。

Λ =0的弗里德曼宇宙

（ 1）、爱因斯坦—德西特宇宙

当Λ =0， k=0时，由弗里德曼方程的形式解有

这是一个单调膨胀的宇宙，它起源于 t=0,a(t)=0，，然后按照

的规律膨胀下去。

宇宙年龄

t．=2/3H。≈ 1.3×10¹ºyr

宇宙密度

μ。 = 3H。 ²/8πG≈ 5×10⁻²⁷kg·m ⁻³

这叫做临界密度。如果 μ≤μ。，那么宇宙就是开放型宇宙。如果 μ≥μ。那么宇宙就是闭合型宇宙。

（2 ）、弗里德曼- 爱因斯坦宇宙

当 Λ=0,k=+1 时，由弗里德曼方程的形式解有

引进代换

上式变成参数 φ表示的旋轮线方程

宇宙在 φ=t=0 时，a(t)=a(0)=0 开始膨胀，在0<ф<π膨胀，在π <ф<2π收缩。所以，这是一种振荡宇宙模型。

（ 3）、 开放型弗里德曼宇宙

如果 Λ=0,k=-1， 由弗里德曼方程的形式解有

引进代换

上式变成参数 η表示的方程

在 0<η <∞的范围内， 宇宙尺度因子a(t)从t=0 开始，单调地增加，直至趋于无穷，而在t→∞时逐渐趋于平坦。

Λ ≠0的 弗里德曼宇宙

把弗里德曼方程

改写成如下形式

再求出用 m表示的 Λ(a) 的曲线族

当 Λ<0,k=±1,0 时，为振荡宇宙。

当 Λ>0,k=0,-1时， 为勒梅特宇宙。

当 Λ>0,k=+1时，分悬链线型反弹宇宙；纯静态宇宙、爱因斯坦 -爱丁顿宇宙、爱丁顿- 勒梅特宇宙；勒梅特回折型宇宙。

以上各种宇宙都是建立在爱因斯坦广义相对论基础之上的宇宙模型。

这些宇宙没有绝对中心，所以，提出宇宙的边缘在什么地方的问题就显得毫无意义。因为没有中心，何来边缘？反过来说，没有宇宙的边缘也就没有宇宙的中心。

但是，宇宙存在相对中心，这个中心可以按照宇宙物质的分布和起源给予定义。但是，应该明确，这不是宇宙的绝对静止中心。这个道理就象，我们每个人虽然都在自己特有的参考系中拥有自己特定的固有时，但是，这不妨碍我们所有人都拥有一个标准时间完全一样。

英文标题：

宇宙没有中心和边缘……………………………………………………………………王为民

Universe don’ t have centre and boundary …………………………………………… Wang weimin