王为民（四川省南充市龙门中学 邮编637103 ）

德国天文学家开普勒（Johannes Kepler，1571-1630）于 1600 年到布拉格担任第谷·布拉赫的助手。1601 年，第谷去世后，他继承了第谷的事业，利用第谷多年积累的观测资料，经过仔细分析和研究，发现并提出行星运动三定律，即开普勒定律，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。

开普勒定律是：

1、 行星运行的轨道是以太阳为焦点的椭圆。

2、 从太阳到行星的向径在相同的时间内扫过的面积相等。

3、 行星运动周期的平方，正比于椭圆长轴的立方。

开普勒定律是万有引力定律的推论，是引力按照平方反比变化的必然结果。为了看清楚这一点，下面就从引力的平方反比规律推导出开普勒定律。

一、圆锥曲线

椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。在极坐标系中按照“焦点—准线”定义圆锥曲线最为简单。见图 1，

图1

定义：如果一个点 P到焦点 O与到准线 MN之间的距离比为常数 k，那么这个点 P的轨迹就是一条圆锥曲线。

在地面抛出去的石块的运动轨迹是一条抛物线；太阳系中的行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆（圆是一种特殊的椭圆）；从太阳系以外的飞过来，然后永远地离开太阳系的行星等的运动轨道就是一条双曲线。

用数学表达式表示为

其中 k为正常数，是圆锥曲线的离心率。

设 O为极坐标的极点， (r,θ )为 P点的极坐标，如图有

其中 ι为半正交焦 弦。所以， 圆锥曲线的方程为

故

也可表示为 （1）

如果 k<1，这个 圆锥曲线是椭圆；

如果 k=1, 这个 圆锥曲线是抛物线；

如果 k>1, 这个 圆锥曲线是双曲线。

二、径向单位向量和周向单位向量

图2

表示径向的单位向量（沿半径方向），见图2，

有 （2）

其中 i表示平行于x方向的单位向量， j表示平行于y方向的单位向量。

表示周向的单位向量（垂直于半径方向），

有 （3）

由（ 2）和（3 ）知道单位向量和 的方向是变化的，可以对极角θ 进行微分

有 （4）

（5）

三、速度与加速度

在极坐标系中，质点的位置向量为

r=r(t)=r ， （6 ）

它可以被看着是关于时间变量 t的两个参数方程，即

r=r(t)和θ=θ (t)

对 r(t)求导得到速度向量

（7 ）

见图 3，

图3

对速度向量再对时间求导得到加速度向量

(8)

见图 4，

图4

四、开普勒定律

开普勒第定律是引力的平方反比定律的推论。下面首先推出开普勒第二定律。

由于万有引力是中心力，引力的大小与距离成平方反比关系，引力的方向是沿着径向的。所以，单位质量的质点受到的径向力 f(r)，有

(9)

中心力场没有周向力，即

(10)

（ 9）和（10 ）就是行星运动的轨道微分方程。由于是二阶级微分方程，所以要在 为已知的情况下才能求解。

（一）、开普勒第二定律

将（ 10）乘以r得

（11 ）

即

故 （12 ）

其中 h是常数，代表质点的单位质量的角动量。

在极坐标系中，面积元素的表达式为

由（ 12）得

（13 ）

这就是开普勒第二定律的表达式，即从太阳到行星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，它与 f(r)的具体形式无关。

（二）、开普勒第一定律

用（ 12）式将（9 ）式改写为

（14 ）

下面作一个代换，令

现在（ 12）式变为

（15 ）

现在质点速度的径向分量为

（16 ）

径向加速度为

（17 ）

代入（ 14）得

（18 ）

如果引力与距离的平方成反比

即 (19)

其中 λ是常数。代入（ 18）式得

（20 ）

这个微分方程的通解为

（21 ）

其中 C和α是任意常数。与（ 1）式比较得，有

，，

故 （22 ）

这是圆锥曲线方程，其中 α是圆锥曲线长轴与 x轴的夹角，如图 5。

图5

这就是说，行星运行的轨道是以太阳为焦点的椭圆、抛物线或双曲线。如果轨道为有界，即位移向量不出现 r→∞ 的情况时，行星围绕太阳运行的轨道是以太阳为焦点的椭圆。这就是开普勒第一定律。

（三）、开普勒第三定律

对（ 13）式进行积分得到行星围绕太阳运行一周扫过的面积

（23 ）

其中 T是行星围绕太阳运行一周所用的时间（一个周期），而 S是椭圆轨道的面积。由于椭圆的面积公式为

S=πab

其中 a是椭圆轨道的长半轴， b是椭圆轨道的短半轴。由（ 23）式得

（24 ）

椭圆的半正焦 弦

ι =b²/a

及

所以，有

由此可见

这就是开普勒第三定律，即行星运动周期的平方，正比于椭圆长轴的立方。

四、万有引力定律

用牛顿万有引力公式可以推导出开普勒定律，同样，反过来用开普勒定律也可以 推导出牛顿万有引力公式。

如果已知轨道方程

可以推导出

由（ 20）和（18 ）式有得到（19 ）式

这和牛顿的万有引力定律的中心力与距离的平方反比规律相一致。

万有引力公式为

它表示宇宙中的任何两个质点间的万有引力的大小与它们的质量成正比，而与它们之间的距离的平方成反比，方向指向引力中心。