王德奎 （y-tx@163.com）　2007.03

摘要：霍金关于宇宙开端之前无时间的证明不漂亮，也不完备。借助空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的庞加莱猜想熵流，在一个三维空心圆球上，用一条封闭的曲线把球分成两半，先把一半收缩成局部平面，组成圆球内外对称图相的翻转，可证这类对称中隐含不对称的轨道交流，必经庞加莱猜想球点自旋的复杂程度概率阻断，正是时间之箭的起源；在此还能把热力学与量子论、相对论、超弦论相联系。

关键词：时间之箭、庞加莱猜想、自旋、复杂程度

一、对称破坏霍金证明

2006年6月19日，2006年国际弦理论会议在我国北京人民大会堂开幕，霍金作题为《宇宙起源》的报告。其中霍金关于宇宙开端之前无时间的类比证明有启迪意义，但这个证明不漂亮，也不完备。

霍金说：“时间，用纬度来测量，在南极处有一个开端。”“长期以来，人们说宇宙的开端是正常定律失效之处，所以宇宙不应该有开端。而现在，宇宙的开端由科学定律来制约，所以反对宇宙有开端的论证不再成立。”“爱因斯坦的广义相对论将时间和空间统一成时空。但是时间仍然和空间不同，它正像一个通道，要么有开端和终结，要么无限地伸展出去。然而当广义相对论和量子论相结合时，在极端情形下，时间可以像空间中另一方向那样行为。这意味着，和我们摆脱世界边缘的方法类似，假定宇宙的开端正如地球的南极，其纬度取时间的角色。宇宙就在南极作为一个起始点。”

破坏霍金证明的是“庞加莱回归”---它讲的是，每一个孤立系统迟早会回到它的初始状态。这个破坏证明的发展是KAM定理。由柯尔莫哥洛夫（A•H•koπmoГopob）、阿诺尔德（V•I•Arnold）、莫泽（J•K•Moser）等三人证明的KAM环面，是了解庞加莱回归的向导。它出于柯尔莫哥洛夫1954年对“庞加莱回归”的研究。20世纪60年代初分别由阿诺尔德和莫泽证明的KAM定理证明，庞加莱的这种系统属于完全规则和完全混沌之间的一种中介情况。KAM定理揭示了可积哈密顿系统规则运动对微扰的稳定性，给出了无理环面得以保存的充分条件。KAM环面的存在使各混沌区相互隔开，把混沌运动限制在局部范围内，但对高自由度哈密顿系统，混沌运动轨迹仍有可能渗透到相空间中各个地区，从而显著地偏离未受扰时的运动轨迹，这一现象由阿诺尔德首先发现，称做阿诺尔德扩散。

霍金用诘问在宇宙开端之前发生了甚么没有意义，类似在南极的南边没有任何东西的“地球证明”，是一个对称图形。对称破坏时间箭头，是一个世界性难题；例如《时间之箭》一书说，除热力学外，牛顿力学、相对论力学、量子力学中的时间箭头都是对称的，而且超弦理论也不能避免。所以彭罗斯说，如果有一种量子引力理论，能把相对论力学和量子力学统一起来，但时间箭头仍没有解决好，也不算成功。但2006年6月1日出版的《亚洲数学期刊》，刊登朱熹平和曹怀东的庞加莱猜想完全证明的论文提醒我们，出路正是在庞加莱猜想及庞加莱猜想熵上。我们的说明有几个部分，该文是第一篇。

二、庞加莱猜想的约束条件须知

庞加莱猜想是：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

庞加莱猜想中封闭的曲线，实际是等价于封闭曲线包围的那块面，即庞加莱猜想只等价于超弦理论中的“开弦”，并不等价于其“闭弦”。因为庞加莱猜想的约束条件，是拓扑学中严格数学定义的不能撕破和不能跳跃粘贴的规定。所以一段“开弦”才可以连续收缩成一点；反之，一个点也才可以连续扩散成一段“开弦”。 虽然一个点能连续扩散成一个“闭弦”，但这已是类似一种跳跃性的粘贴，就违反了拓扑学中不能跳跃粘贴的规定。所以庞加莱猜想中封闭的曲线能收缩成一点，是等价于封闭曲线包围的那块面，它类似从封闭曲线各点指向那块面内一点的无数条线。它的图相我们亦称为庞加莱猜想球或点。

如果一个点连续扩散成一个“闭弦”，它再连续收缩成一点，我们称“曲点”。如果把“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球”称为“庞加莱猜想正定理”，那么“在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成类似一点，其中只要有一点是曲点，那么这个空间就不一定是一个三维的圆球，而可能是一个三维的环面”---我们称为“庞加莱猜想逆定理”。“曲点”和“点内空间”，正是来源于逆庞加莱猜想之外的“庞加莱猜想熵流”。因为类似轮胎的三维的环面，不能撕破和不能跳跃粘贴，是不能收缩成一点的。它的图相等价于“闭弦”，我们亦称为庞加莱猜想环或圈。

当然线性超弦理论，“开弦”能产生“闭弦”，“闭弦”能产生“开弦”，但这也属于“轨形拓扑学”。轨形拓扑学，就规定可有限地撕破和有限地跳跃粘贴。非线性超弦理论，如三旋理论采取的办法是，在承认“圈与点并存且相互依存”的基础上，对欧几里德点定义补充了“圈比点更基本和物质存在有向自己内部作运动的空间属性”的约定。非线性超弦理论将圈的“三旋”：体旋、面旋、线旋视为这个几何客体的自然属性。它的特点是，开弦能吸引闭弦，闭弦能吸引开弦。开弦与闭弦并存且相互依存，但追溯到宇宙尽头的微单元，开弦和闭弦是不对易的。它们的截止是，闭弦耦合组成线链---开弦。这也是磁单极子的微单元的起源。介子式的力传递模式，是宇宙大爆炸以后的事。

“庞加莱猜想熵”指由庞加莱猜想引出的逆问题。除上面的“庞加莱猜想曲点”外，还有“庞加莱猜想点内空间”。它不是指在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩成一点的三维圆球，而且指三维空心圆球收缩成一个庞加莱猜想点的空间几何图相。“点内空间”是三维空心圆球外表面同时收缩成一点的情况，或三维空心圆球外表面每一条封闭的曲线都收缩成一点的情况。这可联系恒星坍缩变成的黒洞，也可联系狄拉克的负电子海洋。

三、可逆对称、循环含有时间但不是时间起源

庞加莱眼睛近视，在学校的成绩以绘画得零分而有名，但他的老师利尔德却称庞加莱为“数学怪物”，他19岁写的论文就发表在专业数学年刊上。

也许类似点、曲点、开弦、闭弦、自旋、平动、往返、连续、间断等抽象的几何图相和动力图相概念，应用到自然数、整数、有理数、无理数、虚数等领域，或者零维、一维、二维、三维、四维等空间，可以做到逻辑上求真，所以庞加莱才醉心于超前的数学探索。把庞加莱的那些艰深的数学映射到运用，它的超前是十分惊人的。庞加莱猜想熵揭示的时间起源，就是一例。因为如果说，牛顿力学、相对论力学、量子力学，乃至超弦理论中的数学公式，对于时间的计量，都是可逆对称的；例如，现在的状态可以说明过去，也可以预展测未来，时间被降到第二位置，那么时间箭头、时间起源就不重要。

但这并不可怕，因为我们只需根据类似热力学的生活经验，在牛顿力学、相对论力学、量子力学，乃至超弦理论等的方程中，加上一个时间大于零或等于零的公式，组成方程组即可。所以牛顿力学、相对论力学、量子力学，乃至超弦理论等的方程中，并不是没有时间箭头，或者会让人弄错。只不过时间大于零或等于零的公式，类似它们的“尾巴”，常常露着不见。许多对牛顿力学、相对论力学、量子力学，乃至超弦理论等方程没有时间箭头的批评，是无的放矢。他们并没有抓住时间起源、时间箭头的比较，在哪里？

因为在自然数、整数、有理数、无理数、虚数等数学领域，或者是在零维、一维、二维、三维、四维等现实空间，时间箭头都是可以对称的。在实数内可如此，在虚数内也可如此；在空心圆球的外圆面可如此，在空心圆球的内圆面也可如此。所以简单看庞加莱猜想，也不能证明时间有起源。

但庞加莱猜想涉及空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的知识。这是笔者1962年上高中时，认识一位在初中部教数学的四川大学数学系毕业分配来的赵老师，他与笔者一位在外地教高中的哥哥有同学之谊，曾因转校还多读了几年大学，他私下给笔者说明自己教初中部教数学有些屈才，举的例子是他学过空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的高深知识。对此，当时笔者十分难懂，觉得是天方夜谭。但它影响了笔者的兴趣，几十年下来，才清楚它与庞加莱猜想的熵有关。今天，朱熹平和曹怀东虽然已封顶证明了庞加莱猜想，但用庞加莱猜想说明空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面，也还难懂，或者有不同的联系角度。

因为空心圆球也含有拓扑约束。例如，表面不能有一个孔，有一个孔就类似一个曲面，根据庞加莱猜想，它能收缩成一点，而类似一个实心球。而不撕破和不跳跃粘贴，把空心圆球内表面翻转成外表面，也只能利用庞加莱猜想，才能做到，并且可以简化为三种方法。

四、第一、二种方法证明

A、第一种，假想用一根针从外向内穿过空心圆球，在内外球面各有两个交点，我们都称“支点”。再用一根曲线连接球半边的两个“支点”，而假想把球这半边剖开但并没有剖开，而是为了划分曲线两边的点的相对流动。因为我们要在连线的中间取一点，作为内外表面收缩的“起点”。其次，在内外表面“起点”的连线中选一点，作为内表面翻转成外表面交流的“转点”。把空心圆球上的针端面向自己，剖口朝下，假想其路线设定是：

左内表面从内“支点”由上向下收缩到内“起点”，再从内向外收缩到“转点”，由“转点”从内向外收缩到外表面的外“起点”。此时不再收缩而是向左外表面扩散左内表面，直到把原左外表面从下向上赶到外“支点”的临近右外表面。此时左内表面继续扩散，从外“支点”由上向下在右外表面扩散左内表面到外“起点”。

而右外表面是从上向下收缩到外“起点”，再从外向内收缩到“转点”，由“转点”从外向内收缩到内表面的内“起点”。此时右外表面不再收缩而是向右内表面扩散，直到把原右内表面从下向上赶到内“支点”的临近内左表面。此时右外表面继续扩散，从内“支点”由上向下在左内表面扩散右外表面到内“起点”。

再说右内表面是从下向上收缩到内“支点”，此时右内表面继续收缩，它在原左内表面由上向下收缩右内表面到内“起点”。再从内向外收缩到“转点”，由“转点”从内向外收缩到外表面的外“起点”。此时右内表面不再收缩而是在原左外表面扩散右内表面，直到把原左外表面从下向上赶到外“支点”的临近右外表面。

再说左外表面是从下向上收缩到外“支点”，此时左外表面继续收缩，它在原右外表面由上向下收缩左外表面到外“起点”。再从外向内收缩到“转点”，由“转点”从外向内收缩到内表面的内“起点”。此时左外表面不再收缩而是在右内表面扩散，直到把原右内表面从下向上赶到内“支点”的临近左内表面。到此时，空心圆球内表面翻转成外表面已全部完成。

B、第二种，也是假想用一根针从外向内穿过空心圆球，在内外球面各有两个交点，过这两个交点作3条封闭的交叉曲线，把球面平分为6等份。然后假想6个对角的球面从两边的曲线相对收缩成3条封闭的交叉曲线。现在用上面第一种的办法来完成不撕破和不跳跃粘贴，把空心圆球内表面翻转成外表面。办法是，把空心圆球上的针端沿垂线放置，针端的上交点对应第一种办法的“支点”，即是把第一种办法的两个支点合并为一个支点；针端的下交点对应第一种办法的“起点”，然而把3条封闭的交叉曲线依次按第一种的办法的程序来翻转，到第三条完成，空心圆球内表面翻转成外表面已就全部完成。第二种办法也等价于用N条封闭的交叉曲线，来把空心圆球内表面翻转成外表面的办法。

但这里特别要注意的是，N这个自然数必须要能被3整除；我们称为“庞加莱猜想篩法”。因为，不然针端上交点的那一“点”循环，会留下没有被翻转。这是庞加莱猜想一处与数论的联系；这类联系之大，是惊人的，它几乎把数学和物理学的所有主干知识都会聚起来，下面我们逐次来点明。例如，总结上面第一和第二种方法可以看出：

1、空心圆球有之内和之外的区别，它们可对应实数和虚数。如果不撕破和不跳跃粘贴，即使能把空心圆球内表面翻转成外表面，也是不能把球内空心区域翻转为球外空心区域，反之亦然，这是一种内禀不可逆。

2、曲线收缩和相向移动，涉及“连续”和“间断”。而要用数学严格定义“连续”和“间断”，就涉及自然数、整数、有理数和无理数问题。因为连续也含有“间断”，间断也含有“连续”。其中的区分，类似涉及“距离”大小的尺度，在自然数和整数上好认定，但在无限不循环的无理数和无限循环的有理数上，就不好认定。人测原理是要分清人的有责任和无责任，“连续”和“间断”是以人的有责任行使的，这就引出了玻尔兹曼常数和普朗克常数两个尺度，从而才产生三维空间和额外维空间的起源与分野。庞加莱猜想只能在普朗克尺度上认定，而且这也涉及“庞加莱猜想球点”的内禀自旋。

3、在三旋理论中，球体的内禀自旋有两种：面旋和体旋。面旋是，大指姆指与其余四指垂直，左手或右手握住球体，大指姆指的方向规定为球体的轴线，那么其余四指的方向标示的运动为“面旋”，它有正反两类状态：A和a。体旋是，大指姆指与其余四指垂直，左手或右手握住球体，大指姆指的方向规定为球体的轴线，如果其余四指的方向无运动,而是大指姆指弯曲标示的方向才有转动,此运动称为“体旋”。它也有正反两类状态：B和b；此时体旋的转轴与面旋的转轴垂直，并可在面旋平面转动360度。“面旋”和“体旋”还可两两组合，就有四类状态：AB、Ab、aB、ab。按张学文先生的组成论，一个(N)“庞加莱猜想球点”的标志值的个数n就是8；根据张先生的复杂程度公式，复杂程度是与概率联系对应的一种平均值；对数以2为底，其复杂程度值是：

C=（n)log(n/N)=8log8=24 bit (1)

而类圈体（环圈）内禀自旋有三种：面旋、体旋和线旋。面旋和体旋跟球体相似，只是线旋是多出的。线旋类似通电磁线圈磁场的磁力线转动；它还分平凡线旋（G、g）和非平凡线旋（E、e；H、h）。类圈体的面旋、体旋和线旋还可两两组合，和三三组合，合计的标志值个数就是62，对数以2为底，其复杂程度值是：

C=（n)log(n/N)=62log62=353 bit (2)

空心圆球内表面翻转成外表面的“转点”，只能类似球体而不是类圈体。以第一种办法的“转点”为例，它相当于“庞加莱猜想球点”。设球体的轴线是指向“支点”和“起点”。“转点”的“庞加莱猜想球”自旋如果是作纯面旋，那么从内向外或从外向内的交流就会被阻塞，所以只能作纯体旋和四类组合旋。从第一、二种办法的实际情况看，也是这样，只不过纯体旋的转轴方向与起点和支点的连线垂直。

4、空心圆球内表面翻转成外表面，“转点”的“庞加莱猜想球”自旋这里，存在量子论类似的“间断”性。原因是，其一，即使球体的纯体旋不阻塞从内向外或从外向内的交流，但由于“转点”外的交流要在同一段线上运动，根据广义泡利不相容原理，它们必须“间断”交换才能进行。其二，如果是四类组合旋有一个被选择，本身也产生“间断”，原因是它有旋到纯面旋位置的时候，这种阻塞即使时间是短暂的，因双方运动的速度或频率差，也要用普朗克尺度来截止可能计算涉及小数点后面的无理数或有理数的位数。

五、庞加莱猜想物理证明挑战又补充数学证明

C、第三种，空心圆球不撕破和不跳跃粘贴，能把内表面翻转成外表面的方法是：假想用一条封闭的曲线把球面平分成两半，该线称为“平分线”，这种方法不要“支点”，只把两半球面各自的中心点作“起点”，放在沿垂线位置，再先后分两次完成。程序是，假想从下“起点”开始。

第一次：空心圆球“平分线”以下半个内外球面，先向内外球面下“起点”收缩。由于球面可近似看成是由很多局部平面组成，所以在收缩到内外下“起点”之前，下部内外圆球面先是局部对称的平面图相。如果空心圆球的皮层较厚，还可形成“圆台”，直到“圆锥”状。这里要涉及康托的集合论和康托集合论失效的问题。即康托是把实数定义为有理数序列，把每个有理数基本序列与一个实数等同起来，如果r是一个有理数，则序列{r,r,r,...}就表示对应r的实数，所以内外圆面的“点数”对应对称，是一样多。假想我们承认这个事实或“悖论”，但我们也要求引进热力学的“热扩散论”图相来说明:把下部内“起点”和外“起点”分别看成两个相同大小的容器，以对应康托集合论的“点数”一样多，它们之间的连通，假设是由下内表面的内“起点”，从内向外收缩到“转点”，再从“转点”由内向外收缩到外表面的下“起点”。

但这里，第三种方法与第一、第二种方法基本是封闭曲线顺序运动不同，它是两段“开弦”线，所以内外球面的内外下“起点”，可以各自同时收缩到“转点”，并假想类似覆盖在这个“庞加莱猜想球”各自的半边球面上，再通过“庞加莱猜想球”的体旋，把它们转动交换到对面。然后才是原内球面在外“起点”向外球面的下部半球面扩散，直到外球面的“平分线”为止；同时原外球面在内“起点”向内球面的下部半球面扩散，直到内球面的“平分线”为止。到此，算完成下部空心圆球内表面翻转成外表面的任务。

第二次：完成上部空心圆球内表面翻转成外表面的程序，与第一次完全相似，只是初始条件有了些变化。这是被称为“庞加莱猜想对偶性”引起的。例如，当第一次原下外球面在内“起点”向内球面的下部半球面扩散，应该到内球面的内“平分线”时为止，但实际它有一个比原下内球面在外“起点”向外球面的下部半球面扩散，直到外球面的“平分线”为止更大的“力”的作用。原因是，下部半球面的外球面比内球面的面积大，用相同的“点数”来除，外球面转到内球面，类似原来的小密度会变成了大密度，或原来的压力小会变成了压力大。这就给上部空心圆球内表面开始向上内“起点”收缩，比第一次预先加了一点作用力。这里特别要注意的是：

1、我们已经假想把空心圆球内表面翻转成外表面变换成了“热扩散”图相，而把内“起点”和外“起点”看成是两端分离的两个装有相同气体分子的容器。容器中分子运动产生的密度或压力，还可转换成温度。由于两端容器的连通，密度、压力或温度不同，还可转换成“温差”或温度梯度。

2、两端的“温差”在第三种方法中，是靠连通它们之间的“转点”---即“庞加莱猜想球”的自旋，特别是体旋反馈或自组织的。但“时间”是如何产生的，并没有清楚说明。克劳修斯认为，耗散使得热和功之间产生了十分重要的不对称性---熵，而与时间之箭发生联系；按他对热力学第二定律的说法，在可逆过程中熵改变是零，而在不可逆过程中熵总是增加的；是熵把系统拖向平衡。但普里高津的非平衡热力学给出了两个分支：线性分支描述接近平衡的系统的行为，非线性分支处理系统远离平衡时的情况。热扩散说明在不可逆的、非平衡态过程中，也可以产生出有序性，这样时间箭头就和可能出现的结构联系。众所周知，温度梯度会给该系统一个推力，因而可以被描述为如同一种热力学力；这力造成了热量流和质量流。热力学第二定律解释，是熵直接联系无序；热扩散表明，有序的组织可以自发地从无序状态中形成。

热学过程计算出来的熵S是微观状态，玻尔兹曼给出的重要公式是：

S=klnW (3)

另外，普朗克的能量子假说给出的能量子的能量E与其耗散频率v之间关系的重要公式是：

E=hv （4）

h是普朗克常数。公式(3)中，W是系统所处的宏观状态对应的微观状态个数，k是玻尔兹曼常数。张学文先生根据他自己的组成论，推得lnW与他的复杂程度公式C=（n)log(n/N)是等价的，所以从公式(3)中得到： S=kC (5)

把微观状态复杂程度熵公式(5)与微观状态能量及频率公式(4)比较，可以用来研究空心圆球内表面翻转成外表面的“转点”庞加莱猜想球模型，而使热力学与量子论、相对论、超弦理论、三旋理论发生联系。

3、庞加莱猜想球模型，代表的是一种“开弦”和“闭弦”空间运动，包含了卷缩的额外维空间。“转点”通道的庞加莱猜想球，虽然不是曲点、闭弦，但在第三种方法中它起的交流作用，客观上类似“闭弦”的线旋。公式(5)与公式(4)中，玻尔兹曼常数k与普朗克常数h对应，量子频率v与量子复杂程度对应；玻尔兹曼常数可以看成是时空与质能进入三维势阱的尺度，普朗克常数则可以看成是时空与质能进入高维势阱的尺度。公式(4)作为一种类似公式(5)