作用与变形

——摘自作用学基本原理

王昌益

蓬莱国土

1.材料受作用分析

1材料受的作用和作用在材料内部的传递规律

如图所示, 试件在对向挤压作用量A和A′控制下变形。从表面来看，试件是在正反两个方向的对压作用支配下变形的，但事实上决定变形的关键作用是外来的作用量A. 外作用量A主动作用于物体，叫主动作用。外作用量A对受作用面s产生作用，对向阻碍作用量A′因主动作用现象发生而发生。更确切说，阻碍作用量A′是由作用量A生成的，它不是主动作用于试件的。根 据作用学的对立统一规律，

A′=TA.

因此，我们应将两个作用量区分开来。由于外作用是主动作用于物体的，所以称作主动作用，A叫主动作用量，单位时间产生的主动作用量叫主动作用力，即，主动力是

F=A/t

而被动生成的作用量A′叫被动作用量,而

F′=A′/t

叫被动力.若作用量A均匀分布在作用面S上，那么，作用面上个点受的作用力是

σ =A/s，

作用面s上的任意应力σ_i的大小σ乘以作用点与受作用体内质点间的联线与σ_i之间的夹角的余弦函数等于该应力传递给第k个横截面上的第j个质点的作用应力分量，即

σ_kji=∑σcosα_i，

受作用截面接受外作用的传递量的合量是

A_k=∑∑σcosα_ij=∫∫∫σcosαdαds.

式中，∫∫ds表示对横截面面积的积分。与此相对应，被动作用量的传递、分配函数是

A′_k=∑∑σ′cosα′_ij=∫∫∫σ′cosα′dα′ds.

事实上，试件除了受A和A′作用外，还受重力作用。重力规定受作用材料质心向下运动。由于阻碍应力是主动应力的函数，所以，在研究中一般不考虑被动应力值，只通过确定材料的虚实度性质来直接换算获得被动应力值。即受作用体内质点ρ受作用与运动之间的关系式是

(1-T)∑σcosα_i=ρa.

式中，a表示ρ相对于变形体质心的运动间速度；T表示受作用材料的抗变性质，叫实度。T值可通过实验来获得，也可以通过观测来获得。

在受作用物体内部,所有质点受的作用量都因其所在的位置不同

而不同,所以,它们在作用下的运动都不同.这是由作用的传递分配规律所决定的.

2材料受作用与变形的差异类型

材料受作用差异很大,但在机械工程上常见的作用类型主要有： 拉伸 ( 或压缩 ) 、剪切、扭转和弯曲 。本文讨论的问题不限于机械工程,所以,除这四种作用类型外还将讨论其它一些作用与变形间的关系,如冲击、挖掘作用等等。

3材料内部质点受的作用

材料内部质点受的作用与其表面质点受的作用有很大差别,这种差别规定材料内部质点在外作用支配下差异运动所必须遵守的规律,规定了材料首先在何处产生破裂变形。

i. 作用量在作用前方的传递与分配

如图所示，作用量A作用在o点,然后传递分配

给受作用体内的任意一个质点p，但是，不同点受的

作用量不同。即A对点p的作用量是

A_p=Acosα_p.

而对向被动作用量A′对点p的作用量是

A_p′=A′cosα_p′，

二者之合量在q点处最大，所以，受作用材料的拉

伸变形位移最大点位于q点，即位于中间横截面处.

材料内部任意质点所受的作用与其运动之间的关系

方程是

A_p+A_p′=A′cosα_p′+Acosα_p=(1-T)Acosα_p=EAcosα_p=ρat，

a为质点运动的加速度，T是材料的实度，E是材料

的虚度。

材料内部出现的剪裂隙也由质点受的合作用量

控制。如图所示，在ac和bd两侧的质点受的作用与

运动的方向完全不同，这是由材料内部质点受作用量

的传递与分配规律所决定的。

ii.扭转作用量的传递分配规律

如图所示，在受扭转作用的材料体内任意质点ρ受的作用量为

A_p=r_pid_pi(A₁-A₂-A₃-A₄)/rd.

若任意质点ρ的位移加速度为a,则有,

A_p+A_r=r_pid_pi(A₁-A₂-A₃-A₄)/rd+Rt=ρat.

R是ρ受的抗变阻力，t是受作用或变形时间。

ii. 弯曲作用的传递与分配规律

如图所示，杆状物体 受的主动作用量是A，被 动作用量分别是A₁和A₂， A_p

其整体受的作用方程是

A+A₁+A₂=mat.

当o₁和o₂在作用下处于静止状态时，a=0，A+A₁+A₂=0，受作用体整体处于受作用平衡状态，其实质是其体内存在一个或几个静止点，而大部分点处于受作用不平衡状态。其中，o点的变形位移距离最大。o、o₁和o₂点的受作用方程分别是

A+2A₁+Rt=A+2A₂+Rt=A+A₁+A₂+Rt=ma_Ot，

A₁+A/2+Rt=mat+Rt=0，

A₂+A/2+Rt=mat+Rt=0.

任意点p受的作用方程是

A′+A₁′+Rt=rA/r₁+2rA₁/r₁+Rt=A′+A₂′+Rt=rA/(2r-r₁)+2rA₂/(2r-r₁)+Rt.

可见，弯曲作用量A、A₁和A₂分别传递给每个点的作用量都是不同的，但有规律。

4物体内质点所受的作用与运动规律

物质传递作用主要以波动形式进行传递。波被分成主动波和被动波两种。主动波是运动物质在运动中直接与受作用物体内质点发生接触作用同时受阻时而呈现的波动，其动力源来自运动物质自身的动量。所以，主动波传递作用的过程是作用物质对受作用物质的直接作用过程。所以，我们所说的作用传递主要是指由被动波传递的作用。

被动波是指作用量集中在作用点或作用面，当受作用点（面）接受作用、获得动量增量后运动，并在运动中将其获得的作用量或动量增量传递给前方质点，前方质点继续向前传递……,从而形成从作用点（面）开始在物体内不断向前传递振动的波动现象。

由物体内的任意一个同时受作用和波动的质点组合构成的波动面叫波前面，波前面上任一质点在单位时间受的作用量叫应力，记为

σ.如果作用点（面）受的作用力是F，

那么，

如图所示，物体受的主动作用力是F，物体内任意质点受的应力是σ_i，α_i是F与σ_i之间的夹角,s表示物体内任意受作用波前面的面积。物体内质点的运动是在主动应力σ_i和被动应力σ_ri的共同控制下进行的。即，设物体内质量为ρ_i的任意质点在σ_i和σ_ri的控制下以a_i为加速度运动，则有

σ_ih=σ_i+σ_ri=ρ_ia_i.

σ_ri是由受作用体内物质关系确定的一种阻碍作用应力。

当物体受到多个作用量作用时，它体内任意质点受的主动应力合量由各个作用对该质点产生的作用应力合成，即，设对物体形成主动作用的作用力分别是F₁、F₂、…、F_j，物体内第k个受作用面上的第i个受作用质点ρ_ik受的第j各作用应力是σ_ikj，它受的阻碍作用应力是σ_rik，它在作用控制下的运动加速度是a_ik，则有

σ_ih=σ_ik1+σ_ik2+…+σ_ikj+σ_rik=ρ_ika_ik.

所以, 受多作用物体内任意波动面受的合作用力是

F=∑σ_ihcosα_i=σ_1hcosα₁+σ_2hcosα₂+…+σ_shcosα_s.

受多作用物体内任意波动面的波动方程是

Y=∫_x/u ^t(v+∫_x/u ^tσ_ihdt/ρ_ik)dt.

式中，x是ρ_ik与波源之间的原始距离；t是波动时间；u是波的传播速度，v表示变形初速度。

5物体受作用后的变形规律

当物体仅在其表面上一点受到外作用时，物体以其受作用点为变

形中心发生变形.如图所示,物体一点受作用,其作用应力以作用点为作用起始点向作用前方的任意方向分配并传递应力，变形则以作用点为中心点、以波动形式变形。其变形量等于作用点在物体内运动所产生的空间量，也等于波前面运动生成的空间量。即

△V=∫₀^tEAdt/m=∫₀^t(1-T)Adt/m

或

△V=∫∫[∫_x/u ^t(∫_x/u ^tEσ_idt/ρ_i)dt]ds.

式中,E和T分别表示物体的两个性质参数（两个相互对立统一的自然参数），分别叫虚度和实度；m是作用物的质量；t是作用时间，s表示波前面面积；σ_i表示波前面上质点受的应力。一点受作用后不仅产生一点为中心的波动变形,还产生线状孔洞变形量。即点移动生成线，如锥刺物体产生的变形。

当作用物体与受作用物体的接触面为一条线时，受作用体内的变形以作用线为中心产生波动，也产生切面变形即线动生成面，如刀砍变形。其变形方程也为

△V=∫₀^tEAdt/m=∫₀^t(1-T)Adt/m

或

△V=∫∫[∫_x/u ^t(∫_x/u ^tEσ_idt/ρ_i)dt]ds.

当作用物体与受作用物体的接触面为一个面时，受作用体内的变形以作用面的中点为中心产生波动，也产生空间体积变形即面动生成体，如落体对地面作用产生的冲坑。其变形方程也为

△V=∫₀^tEAdt/m=∫₀^t(1-T)Adt/m

或

△V=∫∫[∫_x/u ^t(∫_x/u ^tEσ_idt/ρ_i)dt]ds.

当物体多点或多线或多面受作用时，物体一方面以各处受作用点或作用线或作用面为中心发生变形，另一方面产生由多作用相互联系的统一变形。如图所示的对向拉伸或对向压缩作用现象中存在有两个作用，由于受作用物体是刚性很强的物体，刚性体能够将一处受的作用量瞬即传递到另一个较远处,所以，作用发生时，作用在一个作用面s上的作用量立即传递到任意一个作用面如s和s′处, 使任意一个

用面能在同时接受三个作用量: 作用量A、被动作用量A′和抗变、 阻碍、摩察作用量A_r，由于A是 主动作用量，A′和A_r都是被动作 △V=(a/2)²π△l 用量，所以， π(l -△l) [2(2d+a)²+a²]/12

A+A′+A_r=(1-T)A=EA,

其变形量为

△V=∫₀^tEAdt/m=∫₀^t(1-T)Adt/m=∫₀^t(A+A′+A_r)dt/m.

式中,m是产生主动作用量A的作用物体的质量。如果该受作用体是刚性体，该受作用体的变形不仅以受作用面s和s′为起点发生变形，而且生成一个变形中心点o点，受作用体的变形以o点为中心发生规律性变化。其中,

△V₁=∫₀^tEAdt/m=∫₀^t(1-T)Adt/m=∫₀^t(A+A′+A_r)dt/m=(a/2)²π△l

叫消亡变形量,而

△V₂=π(l -△l)[2(2d+a)²+a²]/12

叫生长变形量；二者间的比值

T=△V₂/△V₁

反映物体的不可压缩的性质：生长变形量△V₂与消亡变形量△V₁之间的比例关系，叫不可压缩系数，也叫实度。弹性或刚性物体的不可压缩系数大，非弹性物体或非刚性物体的不可压缩系数校

如果物体的刚性差，弹性小，那么，它在不同点接受的作用之间的联系就少，各受作用点作用形成的变形之间的联系也少，其受作用和变形中心都是其作用点，有多个中心。但是，当非弹性、非刚性物体收的作用很多时，在其体内也可以形成受作用和变形中心。