《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

§ 2.1 数字、运算与“数字”概念的扩展

在很多哲学书中都说人与动物的主要差别就在于人有思维的能力，这一点几乎没有什么不同的意见。但是人的思维能力是怎样来的，却各有各的说法，从来也没有过统一的意见。人们曾经为这个问题争论不休，在不同的时代，在不同的国家和地区的人群中总会流行一些靠权力来维持的答案。但是这样的答案总是长不了的，而且维持得越长对于那些人群越是不好。因为对这个问题的不论什么样的答案都不会增加人们的获得知识的能力，而一些不实在的答案却会阻碍人们获得知识的能力。尽管对于人类思维能力的来源，人类自己没有能力获得确实的答案，但是随着社会的发展，人们对于人类思维能力的最基本要素的认识却越来越清楚了：那就是关于数字的概念，它是人们逻辑思维的最基本的元素。在第一卷中所引的 库珀的书中，大量的讨论了数字对于人类认识物质运动的作用，还讲述了历史上许多不同民族的人对于数字的许多有趣的故事，各个民族在走向文明的道路上都有一个共同的结论，“那就是 所有的自然现象从根本上可以通过一些简单到惊人地步的规则相互关联着，并且这些规则可以用数字之间的关系加以描述。 就这点来说，他们是绝对正确的。” ^[6]

中国古人在有文字之前，先有了以阴“--”、阳“—”两个符号的二进制数字的概念；希腊人在公元前 6世纪以前还是用石子和砂粒来表示数字，但已有了明确的数字概念，得到了现在中学生们还都必学的毕达哥拉斯定理；阿拉伯人把 0到9这十个符号推广到全世界，这十个符号并不是他们自己发明的，是从古印度人的发明中拿过来的；而古印度人的文化却中断在历史的废墟上了。为什么分布在全世界的古人，在还没有文字或语言联系的时候，都先具有了共同的关于数字的逻辑思维能力，包括不久前还与世隔绝的非洲热带丛林中的原始部落，他们也有关于数字的概念，只是他们的数字概念有些像人类的远古的先人那样比较简单，有的只认很少的几个数，他们认为知道这些数就足够用了，而识别过多的数就没有必要了，因为这只要用“多”来表示就可以了。这一点正是所有动物所没有的，不论多么聪敏的动物，人类怎样去训练它们，都不能使它们真正具有关于识别数字和数量概念的能力。我总觉得不论一个人具有怎样的哲学或意识形态的观点，都应该敬重那些“原初”的理念和能力，因为人类的文明正是在这种原初的理念和能力的基础上一步一步发展起来的。

一个人的获取知识的过程与人类获取知识的过程也应该有某种相似性。这些年，退休以后帮着两个女儿在美国带她们的女儿。她们家里到处是从 0到9的数字玩具：有的数字可以吸在冰箱门上，有的可以把每个数字放入对应的木制的阴模上；有的画在各种书上，每个数字用相应数目的动物，或水果来表示；还有嵌镶在软塑料的方块地板上，每一数字对应着一定数量的圆圈、正方形等不同颜色的图形。让她们时时、处处都能够看到这几个奇怪的符号，他们终于认得了这些数字：但是我总是不能了解她们心中是怎样来看这几个奇怪而又特别的符号的，它们是水果，是动物，是颜色，是图形？而且当她们长大的时候，她们也说不出来她们在认识数字过程中是怎样逐步理解这些符号的意义的。但是绝对肯定的一点是她们这一辈子时时刻刻也离不开这些符号。对这些符号的理解程度的不同，也决定了她们这一辈子的知识和能力，决定了她们对于外部世界的理解和对社会的贡献。皮尔·盖茨曾成了世界的首富，是因为他首先认识到并且在首先进行了用“数字”来描述和控制物质世界和人类社会的各种变化和活动，他理所应该地获得他的成功和人们的尊敬。但是我所最尊敬的人却是匹兹堡华人教会的程德鹏牧师，他毕业于世界著名的康耐基 -梅隆大学的计算机系，在信息膨胀的时代，已经成功地开办了计算机公司，进入了用处理“数字”来使自己获得财富能力的顶端人群之中。但是他看到了比用处理数字来获取财富更有意义的事。我想这就是不让人类的这种能力走上危害人类自己的道路，而要用造物赋予我们的能力来接近造物的本意，来唤起人类信仰的力量。他才是我真正意义上的老师。他使我对二十世纪以来的物质主义膨胀造成的对于自然科学和社会科学的影响进行了从新的思考。

如果数字是一个基本的逻辑基元，它就是组成人们思维方式中的最基本的元素。它应该有极大的包容性，它不仅是组成自然哲学的逻辑基元的元素，同样也可以是组成人文哲学的思维基础，这里我们不愿意用前人常用的精神哲学或社会哲学等名词，而用人文哲学的名词，以避免历史上对于社会科学的意识形态争论中造成的种种麻烦。人类思维实际上有两类，一是逻辑思维，它是自然科学的基础，逻辑思维是以数字为基本工具的，一是形象思维，它是人文科学的基础，形象思维的基本工具却是文字和语言。虽然在人类的历史发展过程中，数字和文字是联系在一起的，文字发展得比数字快，似乎数字只是文字的一部分。但是随着自然科学的发展，到信息时代，这种关系颠倒过来了：数字成了可以成为包括文字在内的所有人类思维的基础，而文字不可能具有数字所有的功能，所有国家的不同的文字、所有离不开文字和语言的文化艺术、都可以用共同的数字技术来表示。这是因为作为人文科学思维形式工具，文字是有限的，它所表示的内容没有完全的确定性；它的意义会随着时间，也是随着不同的利益的人群而改变的。而作为逻辑思维的工具，数字是无限的，它的基本的逻辑内涵是完全确定的，永远不变的。

数字就是从0 、1、2 、3……，人们只有掌握了足够多的数字以后，才能够形成真正形成正整数的概念。这就是中华古文化中所说“无生有、有生一、一生二、二生三，三生万物”的意思，大概中华文化中先产生的是以阴符和阳符表示的二进制数，必须掌握了“三”这个数字以后，才能了解进位的意思，懂得了进位的方法后就能够真正掌握很多很多数字的确实的意思。在这里我们还要引一段库珀书上的话：

古埃及的《解决渡河的咒语》流传了下来，它摘自《死者的书》。而后者是《金字塔经文》的组成部分。诺格鲍爱尔教授写道：

“生病的国王企图说服艄公把他渡过‘下层世界’的运河，以达到东方。但是艄公反对道：‘那个伟大的上帝 (在彼岸的) 将问我：你是不是给我渡来了一个连自己的指头都数不过来的人？’但是，看来生病的国王是一个大‘魔术师’，他引用一段诗，诗中包括了他的十个指头的清单，因而满足了艄公的所有要求。”

“我认为很明显，当时的文明水平太低了，连会数自己的手指头都被看作是神秘莫测的巨大成就，就如同能写出神的名字一样伟大。在数字 (和它们的名称) 与魔法之间的这种联系持续了许多世纪，而且它已包含在毕达哥拉斯与柏拉图的哲学当中。”

在东方神秘主义影响下产生出来的毕达哥拉斯哲学中，大概可以发现，他们首次提出的，后来成为整个物理学主题的那个思想，即现实世界的规律性以某种方式与数字的规律性及其相互关系紧密相连。

这段话不仅说出了数字对于人类文明的巨大作用，也说出了在公元前六世纪以前已经存在于东西方之间的文明联系，而这种文明主要是通过数字联系起来的。也说明在那时的西方人看来，数请自己的手指是获取人类知识的基础。看起来神秘的二进制的数字概念是从东方传到西方的，而十进制的数字概念也是从古印度、阿拉伯传到西方，但是整个数字进制的完整的逻辑概念，又是反过来从西方传到东方的。二进制和十进制是产生数字扩展的主要手段。现代非洲有些原始部落的人，只能数到一和二，就产生不了准确的扩展数字的方法。我相信只要开始与外部世界交流，现在他们很快就能掌握数字的概念，从而很快进入现代文明的行列。数字只有通过数字的进位制，才能进入更加扩大的、也更加抽象的“数”的概念。正整数就是可以一直达到无限的所有数字的总和，在数学上，以后数学家们把“数”表示成数字的“集合”，在现代数学出现以后，又用“空间”的名字代替集合。由所有正整数组成的集合就可以称为“正整数空间”。

所以“正整数空间”就是可以扩大到任意大的所有数字(正整数) 的总和，此外，没有任何限制了，只有次序是不可颠倒的，也是不可漏掉的。这就是两、三岁孩子所得到的对于数字的概念。这首先就是数字的分离性，由分离性才可以得到明确性，此外还有无限性，到两三岁以后就知道数字是永远数不完的。人类的原初对于数字的概念大概和不久前还存在于一些原始部落的人的对数字的概念和二、三岁的孩子对数字的概念那样，只能接受这样最简洁的概念，那种连任何均匀性和运算性都没有的概念。但也正是这种最简洁的概念，才有可能具有所有的物质存在及其运动形式的共性。我始终不赞成强调不同人种之间的“智商”的差异，这种差异就像不同年龄段和受不同教育的人之间对于数字的认识的差别一样。主要决定于社会环境和受教育的条件。特别不赞成对于某些个人的“头脑”的崇拜，现在有一些“科学家”研究了爱因斯坦的大脑与常人的不同的结构。我很尊重爱因斯坦，但是很不屑于那些对任何个人的“崇拜”。在我们看来爱因斯坦是一个在打破对于牛顿的理论的僵化中做出了很大贡献的人，而对爱因斯坦的“崇拜”又造成人类的思维在错误的道路上徘徊。

人类的思维能力总是在不断的发展中，对于数字的认识也是在不断的发展中。最早的数字概念是简单的，简单到连“明确性”都不完全的，但是这种连明确性都不完全的数字概念同样是一种可以不断发展的有用的概念。人们都可以看到，在现在用数字来表示的很多概念中，是不存在任何均匀性和运算性的，甚至连明确性都是不完全的。如现在每一个“汉字”都有一组数字的代码，每一个人的“身份”也都由一组数字来表示，这些数字只是数字，对它的大小进行比较实际上是没有意义的。在那里，也没有加或减的运算的概念。但是这样的数字功能在信息社会的人类生活中同样是多么的重要啊。但是，当数字用在这个地方时，必须有一个严格的“中间公理”，即编码或编号的规则，这一规则必须有完全的明确性。否则“汉字”或“人的身份”也无法确定了，就会引起社会的混乱。但是当文字用于组成一个词的时候，往往连明确定性也不完全了，如“小姐”这个词在我们年青的时候，是一个贬义词，表示一个出身不好且还没有改造好的女孩子；以后，成了一个一定年龄段的女性所喜爱的词，现在又似乎成了某种特定意义的词。这就是人文科学与自然科学之间的一个区别。人文科学一般说来缺少自然科学那样的明确性和稳定性。但是在信息社会里，不论自然科学和社会科学，它们的一些基本元素都同样都可以用数字来表示，都同样存在一个我们需要研究、制定和了解的规则体系。