《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

现在一般的百科全书中都把数学定义为“关于数与形的科学”，但是实际上“数”是一个非常复杂的、到现在还有很多搞不清楚的问题；而“形”则更复杂了，它不仅是一个纯数学的概念，在某种意义它又是与物理实在相联系的概念。本来数学就是从物理实在中分离出来的抽象理念，所以它们既是相互分离的而又是彼此难以完全割断的。数学与物理学在牛顿时代和以前是不分离的，我们实在说不清楚欧几里德的几何学到底是数学还是物理学，是“实数空间”的数学理论把数学和物理学分离了。物理上，空间就是三维的，物质只能在三维空间内存在和运动，而数学把一个数字的集合赋予了空间的内容，并把它发展到任意维度的空间中去，这种数学性质在我们看来好像就不再与物理实在有任何关系了。我们的意思决不是去反对和否定这些数学的发展，而是努力去发现两者可能存在的联系。数学没有义务一定要服从物理实在，它的任务与其说是去建立那些与物理实在结合在一起的概念，还不如说是要建立那些与物理实在还没有直接联系的抽象的概念。当然我们并不支持去发展与物理实在没有正确联系的数学，但是谁又分得清哪些是与物理实在还没有的联系的和那些是与物理实在不会有正确联系的呢？数学就是人类的思维所具有的能够把那些抽象的概念从物理实在中分离出来的，并能够对那些分离出来的数学元素和体系进行严格的逻辑演绎的能力。

当然我们这里说数学应该从物理学中分离出来或者说从自然科学中分离出来，成为独立的科学部门，并不是要割断数学与物理学的联系，而是因为我们对于物理实在的了解同样是非常有限的。我们所谓的与数学保持实在联系的那个物理领域实际上只是一个很窄的有限论域，而且它们之间的联系我们也常常并不能说得很明确。把数学从那个物理学的有限论域中分离出来，并不意味着数学就不需要与客观实在有确实的联系。就像实数空间或其它的数学的逻辑基元与三维的物理空间中分离出来以后，就可能存在两种情况：当它仍然要回到三维的物理空间时，就应该可以并必须给这样的数学概念加上一些附加的规则，使它与物理空间保持实在的联系。但是在另外一些情况下，这些数学的逻辑基元可以与其它的物理实在相联系，例如时间。我们说时间实际上是一个比空间更为复杂的物理学的逻辑基元，对于它现在还没有搞清楚的地方就更多了。爱因斯坦把空间与时间简单地用一个常数 c联系在一起组成了四维空间，这只是人类在那个时代下的一种尝试。尽管这样的四维时空与物理实在之间是没有合理关系的，但是它对于开拓人类的思维也是有积极意义的。闽可夫斯基的四维时空就是一个没有固定的常数 c把时间和空间凝固地结合在一起一种时间与空间的联系。虽然我们现在也不能找到它与物理时空的合理关系，但是也不能绝对地否定人们一定不可能从那样的时空概念中获得启发，去认识时间和空间的更加深刻的相互联系。把每一个人类所面对的“实在”，都用一个确定的数学体系与之对应起来，这不是一个切实可行的合理的思维方法。所以我们力求把思维的基元分离得越简单越好，然后再由那些简单的逻辑基元去组成与客观实在对应的较复杂的逻辑概念，最后组织起对于越来越符合复杂的物理实在的逻辑体系，这样的发展道路总会比较可行一些。

现在，一种没有数学逻辑的物理学与一种没有物理实在的数学，正在折磨着物理学家同样也折磨着数学家的头脑，阻碍着物理学，也阻碍着数学发展的正确方向。所以我们在讨论作为数学的逻辑基元的时候，我们必须暂时地先放弃关于“数”和“形”的概念，而把必须以“数字”作为最基本的逻辑基元，而把“形”仅仅作为数字在一定附加规则下一种性质，而不作为一个独立的“基元”。并在这一基础上建立关于数学的逻辑规则和体系，同样也在这一概念的基础上来建立物理学的逻辑规则和体系。而且我们相信在这样的基础上我们就有可能建立既是数学的又是物理学的，它们之间既是分离的又是联系的，既是对立的又是统一的辩证的数理逻辑体系。