《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第一章 关于逻辑学和哲学的一般讨论

§ 1.4 逻辑的自洽性和自闭性

现在我们对于逻辑做一个小结。逻辑前提是整个逻辑体系的基础，决定了这个逻辑体系的适用范围，也就是逻辑体系的有限论域。人们不可能去获得大自然的所有的知识，只能在一定历史条件所允许的范围内去获取确实的知识。所以对于我们所获得的知识，总是只能在一定的逻辑系统内来说明 (或证明) 这些知识的可靠性。一般说来应用、技术科学的知识，只能在这一技术应用的领域内有一定程度的可靠性，离开了这一范围就很难说得清楚是对还是错。这也就是亚里斯多德的原始的逻辑学所说的，用一个学科领域中已被大量实践所证明的原理去证明其他领域的定理是不可能的，也就是我们的俗语中所说的隔行如隔山的道理。从笛卡尔开始，人们去寻求一种可以说明整个物理世界运动规则的逻辑体系，这种追求无疑是人类的一种最可贵的精神。也就是在这种精神的指引下，自然科学的基础理论与数学和逻辑学一起发展起来了，它的最伟大的成就就是牛顿所建立起来的物理体系。牛顿把它称为自然哲学的数学原理。当时的很多人把牛顿的物理体系看成了就是笛卡尔所说的可以用来描述整个自然界物质运动的逻辑体系。并为此进行了不懈的努力，但是牛顿却坚持把他的数学体系的确实的应用范围之确定在太阳系的运动规律这样一个有限的范围内。而且即使在这个有限的范围内，直到他的晚年，他还是没有搞清楚怎样来描述初始条件在这一体系中所起的作用的问题。最后他只能把它，太阳系运动的初始条件，归结为超过人类能力的一种现象。牛顿理论把笛卡儿的愿望变成了人类一条追寻自然界运动规律的一条道路，这就是追寻自然哲学中的逻辑的道路，也就是以后发展起来的关于寻求自然科学中的普遍规律的理论物理所走过的道路。

所以，理论物理学的发展实际上是与数学和逻辑学的发展分不开的。在这一发展过程中，数理逻辑的发展是起着极重要的作用的，只有把亚里斯多德或笛卡尔的形式逻辑体系发展为数理逻辑才有可能为我们提供了一条尽管是极其艰难曲折的但是可以进行分析的具有明确性的道路。在亚里斯多德或笛卡尔或任何一个精神哲学体系下，都无法明确分辨出逻辑自洽与逻辑悖论来。而且实际上在所有哲学的逻辑体系中也都没有明确的逻辑前提或可以通过分析来说明的“公理”，所有的那些都以信仰为基础。所以把逻辑与自然科学联系起来，这一过程的本身就是数学发展的结果，也就是人类思维能力发展的结果。在亚里斯多德时代的逻辑形式是抽象的，人们常常把欧几里德几何学中的推理方式看作逻辑的基础，但是正像我们在第一卷中所提到的欧几里德的几何学只是逻辑的原始的雏形，从现代的数理逻辑概念来说，空间概念的本身只是一个逻辑前提，而不能形成物质世界运动的逻辑体系，而且在欧几里德的几何学中，对于公理、公设或演绎规则等等的概念也是十分含糊的。实际上能够进行分析的逻辑数学也只是在二十世纪初才建立起来的。我们可以说，这主要是希尔拜特的工作，把欧几里德几何学发展成逻辑学基础上的几何学，是以他为主的同时代的一批数学家，用欧几里德的几何学的一些原始的概念和反复探讨了逻辑学的数学分析方法，才开始有了基于数学分析基础上的逻辑悖论的概念。而逻辑自洽性的概念则更为含糊，我们只能说凡是出现逻辑悖论的情况就是逻辑不自洽，其实也没有更精确的逻辑自洽的定义了，之所以逻辑自洽性的界定是那样的困难，就是因为逻辑自洽性必须和逻辑体系的有限论域联系在一起，而明确界定一个体系的有限论域也许是人类思维中最困难的一个问题，因为每一个人总是要把自己所论证的概念适用于尽可能宽的范围。而寻找逻辑悖论总是可以在最狭窄的范围内去寻找，一旦在一个点上发现了逻辑悖论也就否定了整个论域上的那个概念。所以，对于逻辑自洽性的要求也不能僵化理解，它在逻辑上是重要的，但是由于联系逻辑体系的有限论域的极其复杂性，常常是因为有限论域被定得宽了，而出现了逻辑悖论，所以我们不能过于简单地通过找到一个逻辑悖论，就否定了“逻辑自洽性”，进而就去完全否定一种理论或概念，而是允许继续讨论和发展。攻其一点不及其余，在斗争哲学中是常用而往往也很有效的手段，在自然科学和人类思维上，看来还是对于有限论域的分析和探讨才是最基本的。被称为历史上第一个逻辑悖论的就是关于两千六百年前的哥达毕拉斯关于有理数的逻辑悖论，也是纯数学的。数学本身的或纯数学的逻辑悖论实际上又与物理学的逻辑悖论有不同的含义。数学是纯粹的关于概念的科学，很难说对每一个数学的概念都能够找到一个确定的对应的物理实在。所以我们总是无法同意对爱因斯坦和希尔拜特等人工作中，因为能够找到其中有逻辑悖论，就作出逻辑上的全盘否定。其实对逻辑悖论也是一样，你总是在某个范围内才发现逻辑悖论，减少它的有限论域难道就不允许消除其中的逻辑悖论吗？所以，在学术上讨论的办法，相互间取长补短的办法，才是最好的办法。但是任何讨论中，常常需要允许暂时地搁置矛盾，而去寻找更加合适的有限论域和在有限论域下的更加明确的逻辑前提，然后再来解决逻辑悖论的问题。这样一来我们常常能够从产生过逻辑悖论的理论或概念中获得有益的启示。当然，我这里丝毫也没有放任逻辑矛盾的意思，而是说逻辑矛盾常常也是一个需要人们认识发展的历史过程中来解决的问题。不能简单地否定，当然更不能把逻辑悖论作为“公理”来坚持，但是在寻找逻辑自洽性的过程中，又在不断地扩大科学研究的有限论域，因而又在产生逻辑悖论。但是在任何情况下，寻找逻辑自洽的道路，寻找每个时期的“公理”永远是人类思维发展的是一个不可逆转的方向。

爱因斯坦和希尔伯特等20 世纪的科学巨匠是物理学、数学与逻辑学之间的联系的最早的探索者。我们实际上只是随着他们进行更深入的探讨。其实历史上的每一个伟大的科学家都是一样，托勒玫、亚里斯多德、笛卡儿、牛顿都是一样。他们都是在对于未知领域的探索中给人类开辟了思维发展的道路，同时又给后人留下了各种逻辑悖论。托勒玫的地心说，亚里斯多德的运动观、笛卡儿的形而上学都是这样。现在有些人还把牛顿看成是最完美的科学家，在批判相对论的时候总想回到牛顿的物理框架。其实现在我们遇到的物理上的主要困难，就是牛顿给我们留下的，他的物质的没有结构的粒子说，特别是把光看成是弹性球的对于整个宇宙物质的基本粒子说，是现代物理学发展的主要障碍。但是我们从另一方面去想，把那些伟大科学家的正确的一面，贯穿在一起就是我们人类科学发展的道路。当然这里应该还有我们的先人所作的关于“光阴”的测量和理论的贡献，但是我总搞不明白这应该归于谁，伏羲？夸父？周公？所以还是不说了，因为对于中华古文明，一不小心就会从效法天理的自然哲学掉入“仰之弥高，传之弥久的，治理万民的不朽的圣典”中去。

我们所说的人类历史上建立过里程碑式的科学家们的工作都包含有两部分内容，一是否定了前面的“真理”，二是建立了当时的“真理”；托勒玫否定了盖天说，建立了地心说，笛卡儿否定了不可知论，建立了形而上学的发展观，牛顿也是一样否定了从时间和空间来建立运动的概念，建立了关于物质、力和运动的学说。他们对“旧真理”的否定都是对的、被历史所肯定的，但是他们所建立的“新真理”在当时的历史条件下是人类的对于自然界的最合理的认识，但是随着历史的发展在新的有限理论中，就必定会找出必须“否定”的逻辑悖论，最后都是要被“否定”或修正的。而且他们对人类的主要贡献，主要又并不在于否定那些“旧真理”的工作上，而恰恰是在建立那些以后要被否定的和修正的“新真理”上。这就是人类思维发展的特点。这就是康德所告诉我们的，人类思维的发展不是理性自身的不断的发展，而是在否定意义上的发展。对旧“真理”的否定，其实就是为了保留人类思维发展与原初理念的“根”的更加坚实的联系，在人类思维发展的历史过程中只有不断把那些从个人的直觉和顿悟中所不可避免的引入的不真实的理念清除，才能够不断的、更加明确地把大自然向人类展示的“公理”不断扩展起来。用黑格尔的话来说，这种否定正是对曾经被他所否定过的旧“真理”中的那些理念，在新的基础上的重新肯定——否定之否定。我们觉得“否定之否定”的过程，就是应该理解为，人类发展着的思维与人类的原初理念在新的基础上建立更加坚实的联系的过程，就是不断加深和扩展热泪原初理念的过程。一旦人类的思维失去了历史发展的联系，断了根，看起来可以凭着天才们的直觉和顿悟随意的飞翔，但是这样发展起来的理念最终是要枯萎的。

我们之所以要对于物理学、数学和逻辑学的关系进行更加深入的探讨，是因为二十世纪的技术发展给了我们关于物理世界的更丰富的感性材料和对于人类思维的能力更丰富更深刻的理解。而这一切都是与信息科学的发展相联系，电磁波的广泛应用，使人类对于电磁波有了比二十世纪初丰富得无可比拟的感性材料，而计算机的广泛应用则极大地发展了逻辑演绎或称为推理的能力。以前人们总是把人类语言作为逻辑演绎的一种最形象的说明，现在才明白其实计算机语言是比人类语言更明确的逻辑语言。它有更加严格的逻辑演绎的自洽的要求，但同时也有更大的逻辑封闭性。人类的思维能力和表达思维过程和结果的语言，都有一定的模糊性，正是这种模糊性，人类才具有创新的能力，而计算机语言尽管有严格的明确性，计算机本身没有创新的能力。正是这些新的感性材料和思维能力是我们进行深入探讨物理学、数学与数理逻辑关系的基础。在这些问题的探讨中我们总是避免以某一特定的哲学观点，特别是那些哲学名词作为认识和讨论的基础。而是以自然科学发展的整个的历史进程作为探讨哲学和逻辑的基础，说到底哲学需要研究的就是人类的知识是从哪里来的和怎样得来的问题，只有自然科学的发展进程才能到给以确实的回答。

最后我们给哲学和逻辑的讨论给以一个小结，这个小结不是对于哲学和逻辑本身的小结，而是对于我们自己写的书中涉及到逻辑和哲学的概念时，在语言给以一定的规范，当然这些语言规范不是我们自己创造的，都来自前人。但是前人在哲学讨论上从来没有公认的结论，连语言的含义也从来没有统一过。当然我们也不是要给哲学或逻辑一个统一的语言，仅仅只是为了使本书的语言有一贯性，而不致造成过分的混乱。

哲学是对于人类思维的讨论，这一讨论似乎是没有边际的，但是从我们的目标来说是为了发展自然科学和人类思维，也就是说是为了获得越来越多的知识来认识自然界和人类自己。所以我们总是把哲学的讨论与认识论看成是一回事，用一句通俗的话来说就是：“人的正确思想是从哪里来的”？但哲学只是对怎样获得这些知识的讨论，而并不实在地去规范那些知识。所以我们把哲学的思维方式称为 玄思式思维方式。

逻辑既是哲学的一部分，但是又与哲学有区别，它是哲学发展到一定历史阶段的产物，它具有自己明确而特有的内涵。但是它和哲学一样只是对怎样获得这些知识的讨论，也并不实在地去规范那些知识。但是它的讨论的思维方式不是玄思式的，即而是 定向式的，或推理式 的。但是我们永远不要把哲学的玄思式的思维和逻辑的推理式的思维截然分开。实际上只是发展阶段的不同。而这种发展阶段又是不能明确划分的。

有限论域。有限论域，我 是从杨本洛的书中第一次看到的，它成了我的世界观中的第一原则。科学也好，逻辑也好，哲学也好，我只能从有限论域的角度去认识它，说明它。科学就是对于哲学和逻辑所讨论中的认知过程的规范，就是有限论域中的认知。在有限论域中我们把它称为科学知识，超出这个有限论域就不再是科学知识。同样逻辑也是一样，在有限论域中我们可以有定向性的明确性的思维方法，可以获得逻辑自洽的体系，超出这个有限论域，也无法作定向的逻辑思维或严格的逻辑推理，我们的思维就地回到玄思式的哲学思维。其实哲学也是一样，为什么会有哲学，就是人类要追求真知，所以哲学的真谛就在于追求，而不忙于结论，部分人感受到的东西，往往并不是人人都能够感受到的。在人间往往总是只能得到部分人感受到的东西，所以人类的原初思维总是和对于自然或神的崇拜联系在一起。这种原初的思维能力，我们称为 原初理念。但哲学只是对怎样获得这些原初理念和怎样在原初理念的基础上发展人类早期的新的理念进行讨论，而不能匆忙地做出结论。实际上确实有很多人做过很多结论，但是所有的结论并没有作为哲学或原初理念的内容流传下来，它们都自然地泯灭了。

逻辑是哲学发展到一定历史阶段的产物。所以逻辑来自哲学，逻辑的公理和推理都来自原初理念。但对于我们现代人来说，那些人类的原初理念似乎变得越来越模糊了。但是科学思维的发展方向和目标，绝不是丢弃那些原初理念，更不是去泯灭这些原初的思维 理念，而是在人类思维能力的历史发展过程中不断地明确和充实这些原初理念。在人类思维已经进入逻辑思维的那些有限论域，人类就有了明确的人人都能感受到的公理，它自然地取代了玄思式的哲学理念。这种替代有两方面的意思，一方面是把那些人为的哲学观念的清理和否定，另一方面也正是在否定和清理基础上使原初理念变得更加明确和合理，并与新的逻辑公理融合在一起。这就是 批判基础上继承或人类思维的 历史继承性。

最后我们还说明一下以后常常遇到的几个含义非常接近的几个词：公理，就是指人人能够感受到的内涵的逻辑名词，通常表示与真知或真理是一个意思，但是常作为逻辑用语，在逻辑用语中也不能回避有限论域，即公理也有有限论域性。 概念，表示外部世界在我们思维上产生的一种反映，用作最普遍的日常用语的中性词。 理念，常作为概念的哲学用语，既有公理的含义，但又偏重于指属于人类思维而不属于物质世界的范畴。