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 宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com） 2007.11
《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》
第四章 数理逻辑——人类思维发展的新阶段
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现代数学发展中的数理逻辑问题
在第二章中我们讨论了从数字、运算到牛顿数学的发展过程，实际上这就是从纯粹数学的理念发展到逻辑数学的过程，但是那里主要讨论的是经典数学和经典数学以前的问题。从人类思维发展的历史过程可以看出，在数学、物理学和逻辑学的发展过程中，起主导作用的是物理学，或者说是自然科学，从自然科学获得的理念，返回到人的思维中，才是使数学和逻辑学发展的原动力。在数学上我们已经经历了初等数学、经典数学和现代数学三个发展阶段，数学自身的发展也是纯数学与逻辑数学辩证的发展过程。在一定意义上说，没有“约定”就没有数学，这就像没有假设就没有物理学，没有玄思式的哲学思维就没有逻辑学一样。数字和数字的规则本身就是一种约定，中华文明中的“阴符”和“阳符”也许是现存的人类对于数字的最早的约定，
0-9则是从古印度人经过阿拉伯人到全人类对于数字的约定，这大概是人类最伟大的约定。但是单有人类的思维理念，它的本身是不会自己发展的，需要从大自然中返回的理念才能够发展。数学就是纯粹理念，她也需要从物理学中返回的理念，在相互间“否定”和“再否定”的过程中发展，否定的是“约定”和“假设”，发展的是纯粹理念和物质运动规律本身。当“假设”和“约定”在辩证的发展过程中合二而一的时候，这个“一”就是“公理”，而数学体系的背后就是物质世界的漂亮的身影。
数理逻辑就是不仅要用玄思式的逻辑语言来讨论人类的认知过程，而是要对上面的数学体系
f{x,y,z,
…}进行深入的分析。为了是它与20
世纪的物理世界的相一致，牛顿的古典分析已是无法胜任这一任务了，这就是希尔伯特所发展的
H空间的现代数学的意义。18
世纪以后物理学，主要是电磁场理论的发展，人类实践面对的是比牛顿时代的物理世界复杂的物质存在及其运动形式，所以必须更加深入研究形式量体系，而且迫切需要增加新的逻辑基元。它不再是牛顿数学的，单一层次上的数字运算或分析所能够解决的，而希尔伯特的现代数学为我们提供了分析这样多层次的逻辑前提下的数学体系的可能性。但是希尔伯特数学形式体系是在约定论的基础上产生的，所以我们并不是说不能对它进行“否定和批判”，把桌子、板凳、啤酒瓶“约定”作为“空间”的元素是没有意义的，我更讨嫌数学上“空间”这个名词，它把数学理念和物理实在混淆了，把整个数理逻辑搞得混乱不堪。但是这是历史遗留下来的痕迹，是从非欧空间开始形成的逻辑混乱，经过爱因斯坦的相对论，直到现代数学和现代物理学所凝固起来的历史遗产。就好像现在很多在政体上早已进入先进的民主政体的国家，仍然保留着封建时代的帝国和王室的名称那样。我们的任务不是去讨论和否定那些形式上的东西，而是如何在“否定”和“批判”的辩证的思维发展过程中，逐步把它改造成逻辑数学，就像希尔伯特在欧氏几何上所做的那样。这是一项非常复杂而繁重的工作，我想没有数学家的参与大概也是很难做好的工作。这里只能从物理上和逻辑上提出一些基本的想法。
尽管我们说必须保留数学上的“空间”这个名词，但是我们觉得还是应该把“空间”这个名字归还给与物理实在的存在形式相联系的原初理念，我们应该尊重原初理念。而把希尔伯特的纯数学元素的集合称为“
H空间”。免得以后两种完全不同理念用一个相同的名字造成麻烦。数学既要反映物质世界，又要保持数学本身在数字和运算体系上的保持逻辑完整性和自洽性的特点。这大概是现代数学遇到的根本问题。但是现代数学提供了有层次地分析数学体系的可能性，这就是现代数学作为数学发展方向的基本点。根据“
H空间”的概念，我们可以把物理学的数学体系f{x,y,z,
…}改写为：
(22)
算子方程的形式。F
i表示我们待求的物理量，通常把它称为场空间。它是建立在复杂的形式体系上，这个形式体系也就是自变量体系。这个自变量体系又分两个层次，时间和空间是实数空间
,它们之间既相互分离，又有相互联系。这种联系不应该是人为假设的，而是取决于算子 。它的空间是一个三维的矢量，三维矢量空间与实数空间之间的关系同样取决于算子的运算形式。它还有一个表示与具体的物质模型相联系的逻辑基元，这个逻辑基元是以
i的序列的形式出现的。J
j为类似的源空间，Ri
为场空间，R’j为源空间，t
为时间。这里还仍然是在牛顿的物理框架下，即仍然只有牛顿框架下的三个逻辑基元。但是
是麦克斯韦方程组的算子，方程组中时间和空间之间的有了麦克斯韦方程组中的那种相互联系的形式，它们都是逻辑量，空间是矢量，下标
i和j
表示还存在物质量。这里所指的牛顿的框架是指物质的模型仍是牛顿的粒子模型，所以不论待求的场还是激励的源，都是物质的逻辑基元的
i或j
序列。
实际上表示麦克斯韦电磁场理论的算子，正是我们要研究的问题，在经典场论下一般都把算子写成对于矢量函数的四维拉普拉斯算子的形式或对于空间和时间的矢量偏微分方程：
□2 =▽2+ =
(23)
这里的物质量i和j
的含义很模糊，在实际的物理体系中还有运动方程，上面只是场方程。场方程在物理上类似于牛顿理论的力方程。在运动方程中，可以清楚看到作为序列形式的物质量的物理含义。而实际上麦克斯韦场方程组中，对于物质的逻辑基元的定义是不明确的，我们需要引入新的逻辑基元来表达场的物质运动形式。这些要在电磁场理论中更加详细的讨论。
我们这里只是在讨论现代数学怎样与物理实在联系起来成为逻辑数学的问题，也就是说希尔伯特的现代数学是怎样来分层次地处理逻辑基元问题的。
在这里可以通过把“H空间”可以分离为“子空间”的现代数学的特殊的数理逻辑演绎方式，对于不同的逻辑基元一层一层地分离成独立的“子空间”，对于每一种逻辑基元根据它的物理性质可以在各自的在
H空间中一层一层地分离为相应的子空间。这样既保持了数学只处理数字关系的功能，又可以赋予不同的数字以不同的逻辑关系，来表示不同的物理性质。
这里包括：
1.时间和空间的分离 这在第二章中初步讨论过，主要通过复数空间的理论进行时间和空间的分离，但是这种分离的逻辑问题还需做大量的工作。实际上对于相干波于与非相干波、对于低频的与极高频率的情况，它们的数理逻辑形式都是完全不同的，即有限论域并不一致。现在的信息科学上所用的经典电磁场理论是建立在简谐振荡的有限论域下的，已经有了大量的感性材料。但是这一理论的有限论域的限制，使得大量的信息科学实践已经接近达到了极限。也就是说，在很多实际问题上，时域和频域之间所建立的那种逻辑关系已经超越了那个有限论域，而成了一种充满逻辑悖论的近似的数学关系，而不再是严格的自洽的数理逻辑体系。对于光的非相干波的研究，现在还处在不合理物理框架
(即类似牛顿的空间的粒子模型)
的束缚下，向着错误的方向发展着。
计算电磁学的发展是对经典电磁场理论的极大的推动，它不仅大大提高了电磁波计算的范围和精度，而且也发现了经典电磁场理论在数理逻辑上的大量问题。这些逻辑上的问题不解决不仅会影响信息科学的发展，同样也会影响现代物理学的发展。
只有建立在麦克斯韦方程组基础上的时空之间的既分离又联系的逻辑关系，才能够建立起与物理实在有合理联系的时间和空间的逻辑联系。
而逻辑关系需要在对无限大域上广义函数的逻辑型制作更加深入的研究，而数值计算既能发现理论的问题，更会掩盖理论上的问题，从这点上来说，计算科学的发展也会成为理论发展的障碍，因为计算方法中的似是而非的近似关系的获得，会使人能够从逻辑混乱的理论中获得有一定精度的确定性的结果，从而障碍了寻找自洽逻辑的理论发展的正确道路。
2.欧氏空间中矢量算子的处理
这是电磁场理论，也是力学理论中的一个主要问题。矢量空间的映射，自然要用一个并矢的算子，空间连续的矢量函数只有分离为标量算子和函数才能够进一步进行分析。这里主要涉及广义函数和矢量运算的理论。这个问题也是力学中张量分析的主要问题，但是力学比电磁场理论更加复杂，电磁场理论中可以建立一个仅仅考虑电磁力的有限论域，而力学中电磁力和牛顿引力不可分离地耦合在一起。我们在上面提到过的书中讨论了那些问题。我们得到最重要的一点就是场与波的分离，这一观点实际上首先是从计算电磁学中发现的。现在又可以从广义函数的逻辑界定中获得这样的理念。式
(23)是经典理论和相对论中喜欢用的形式，但是这是不对的，不论从电磁场本征问题的数值计算还是从广义函数的逻辑界定都可以得出，电磁场的方程组应该是：
(24)
电磁场是一个三维的矢量场，而边界条件有两类，一类是经典边界条件，即广义积分绝对收敛，这时传播常数
k必须等于零，这类场是保守场，它
等价于一个标量函数的场；因而上面的矢量波方程不是对完整的三维的矢量空间，而是三维矢量函数空间中的一个子空间，本身只是一个具有二维性的子空间。这个子空间就是对于电磁波的旋量场函数空间。从广义函数的逻辑性质来说，这个逻辑上的明确性是从边界条件获得的，它的无限大边界是建立在二维空间上的，所以整个空间内的矢量函数也只有二维的性质。要说清楚这个问题，即从数学的逻辑来说，三维矢量函数要满足无限大边界的逻辑明确性，不能从“群论”的观点分成九个“独立的群”而要考虑物理上表达的明确性，只能有三个独立的“子空间”。并且这三个的矢量函数空间不能从欧式空间上进行分离为三个标量函数空间，即不能在笛卡儿坐标上进行分离标量函数，因为这样分离的结果数学上是可以的，但物理上不符合场的特性。只能从矢量算子的角度分离成无旋的
(保守的或经典的)
和旋量的(非保守的或波动的)
两类子空间。旋量函数空间是“二维”的，即每一个旋量函数空间还可以分离为两个标量函数空间，每个子空间都属于
E类标量函数空间。这样电磁场理论就与粒子物理中的两类粒子——玻色子和费米子的概念相对应，但是现在关于两类场的理念不再是没有数学形式的量子的假定，而是有了明确的数学形式。这个明确的数学形式是指矢量波函数算子和矢量波函数空间的分离，可以建立严格的逻辑自洽性，即分离的不相交性和完备性。这些都是希尔伯特
H空间理论所提供的逻辑方法和无限大域内的逻辑方法的结果。
3.在H空间中的“范数”和“公理化”体系
实际上不论从时间和空间分离中，还是从矢量偏微分算子和矢量函数空间分离成标量函数空间的过程中都离不开希尔伯特空间理论中的“赋范空间”和对于范数的四则运算的公理化规则。但是在那些过程中希尔伯特的现代数学的规则主要体现在子空间分离的过程的唯一性、不相交性和完备性的证明上了。在分离为标量函数空间以后，再进一步的工作就直接应用对于范数的四则运算的公理化规则了。标量的偏微分或微分方程的分析中，这些运算最后都可以转换为四则运算。有限元方法对齐次域上的本证问题的数值计算的一致收敛性的严格证明给希尔伯特的现代数学作出了最完满的结论。它对于
20世纪的工程和技术的发展所发挥的作用实在是没有任何理论可以相比的。那些再高深的没有成为“公理”的约定论基础上的数学，实在无法与之相比。不论多少个被媒体吹捧的多么荣耀的奖项都无法与公理的追求相比。但是现在那些逻辑关系并没有为大多数人所认可，逻辑正处于最混乱的状况，正是最需要寻求“公理”的时候。但是从表面现象看来，好像大多数人来说，对于逻辑的追求总是比不上金钱和名利的追求那样有热情。我们相信这种情况的产生有一个历史的原因，长期以来打破牛顿逻辑框架的封闭性是发展科学的主要任务，人们似乎习惯了逻辑混乱的现实，尤其是信息科技的成就，更造成了人为虚拟的规则可以代替公理的假象。思维是人类的最基本的天性，追求思维的理性总有一天为重新获得它的应有的位置。
4.物质模型和统计问题 这个问题是与上面讨论的那些问题不同性质的问题。物质模型是与时空逻辑前提不同的一种逻辑前提，时空都具有实数空间的性质，即都具有逻辑上的连续性。是一对实数空间上描述物质世界运动规律的逻辑基元，而与物质模型相联系的逻辑基元，看起来总是以离散数集的形式出现的。而且现在还不完整，只有一个“质量”的基元，总是一种僵化的根源。但是科学总是要在并不合理的状况或前提下向前发展的。所以与这种物质模型相联系的数学方法也就成了发展自然科学和人类思维的一种极为重要的方法。这一方法就是统计的方法。
当然这里所说的统计是一种比较广义的数学方法，我们只把它看成是对于大数量的离散的物质基元的一种普遍的抽象的数学方法。
实际上现在世界上，特别像美国，统计已经成为比纯理论的分析“热”得多的学科。由于本人至今没有深入过任何一种统计的实际问题的研究。而统计的作用又是那么大，一方面推理性的逻辑发展为量化的数理逻辑，也许主要是靠统计的方法，人文科学上不要说了，政治学和经济学的基础大概就是统计。技术物理的发展主要也依靠统计，热力学、材料科学等都是以统计为主要手段发展出来的理论。我们只想说，应该给统计一个更好的逻辑理念，应该把统计同样界定为是有限论域下的一种逻辑方法。这大概是
21世纪应该发展的一门主要的基础科学，因为21世纪的数理逻辑的发展，主要是与物质结构相联系的物理和数学问题的研究：首先是对于现在的没有数学基础的“粒子论”的否定，“玻色子”和“费米子”的两种粒子概念的确立是爱因斯坦的又一个科学功绩，但是它仍是没有数学明确性的。从逻辑上来说玻色子就是牛顿粒子的微观形式，而费米子则是波的微观形式。所以对于牛顿粒子的统计就是经典统计，对于费米子
(实际上是原子波包)
的统计就成了量子统计。当然这些统计都是有限论域的，经典统计只对理想气体和理想的绝热系统才是逻辑自洽的，在那种情况下没有非保守力和波的出现，而一把它用到实际的物理世界就得到宇宙热寂说的荒谬结论。同样对于费米子的统计得到了另一种的温度的定义，这种温度的定义实际上与经典统计下的温度只是在可以重合的区域的比对下，就从一种温度扩展到另一种温度了这种温度的扩展，既不是逻辑的，也不是精确的。当然在没有更合理描述方法的情况下，没有人反对这样的温度定义在物理实验中的应用，但是它并没有逻辑的内涵，在没有
(当然不是绝对没有而是被忽略了)
实体物质存在条件下的极低温和同样牛顿粒子运动被忽略的极高温下，温度的含义显然被扭曲了。
统计提供了一种量化的普遍的方法，为人类思维的发展提供了条件，这一点是应该充分肯定的，没有统计就没有民主政治，也没有很多很多的应用物理学的产生。但是统计的公理性是有条件的。条件的最大好处就是在我们对上一个层次的逻辑关系尚没有完全搞清楚的情况下，就可以获得对于下一个层次的确定的结果。所以对于统计要特别强调两点：
a) 统计的有限论域性。
这里主要是指，统计可以把对于粒子的离散集合的数学方法和产生粒子的离散集合和上面一些层次的逻辑体系分离开来。就如上面所说我们通过
1.到3.
步的逻辑分析才得到对于粒子的物理性质的离散集合。我们可以通过严格的逻辑自洽的方法得到粒子性质的离散集合，也可以通过“假设”的，“约定”的方法得到对于物质性质的离散集合。在物质的逻辑基元还不完善的情况下，即使从量子力学的观念，粒子有“费米子”和“玻色子”，粒子间相互有力作用，或者没有力作用的；存在一种还是同时存在两种粒子等等，都没有搞清楚，并不影响我们向下一步，向着多粒子物理性质的统计特性的方向前进。但是这就使统计结果带有明显的有限论域性，它的合理性取决于前面的逻辑分析的合理性。
b) 统计的大数量性。统计是对大数量粒子的，对于有限的几个粒子不存在统计的合理性，例如牛顿的太阳系的星体运动，一共只有八个星体，统计有什么意义呢？对于大数量的粒子，统计同样是一种必不可少的，有明确性的数学逻辑方法。数量越大，统计的结果越可靠，越少，就有较大的误差。这点上与极限的逻辑又相似之处，但是也会有它自己的特性，研究关于统计的逻辑问题，是数理逻辑今后发展的主要课题。
c) 统计与量子力学的几率波。
统计是逻辑的一部分，量子力学的几率波是对单个粒子的，完全不合逻辑的概念。所以，爱因斯坦对量子力学的批评还是完全对的。量子力学一旦离开物理实在，只在它的“波粒二象性”理念上的发展，是造成现代物理学和现代哲学的错误的主要原因。
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