《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第四章 数理逻辑——人类思维发展的新阶段

§4 .1 数理逻辑框架的探讨

数理逻辑就是一般语言的推理式的逻辑思维向着定量化的数学思维方式发展的过程，也就是真正用一整套明确性的数学语言来表达的物质运动规律的逻辑体系。杨本洛对于自然科学逻辑梳理的讨论就是从讨论数学的逻辑自洽性问题开始的，提出了自然科学应该满足“物质第一性”和“逻辑自洽性”两个原则，并把它用下面的两个公式表示出来：

并指出，出现于数学基础上所有的所有逻辑悖论，都同样违背了这两个基本原则。与上述原则保持一致，“拥有”和“从属”属于两种完全不同逻辑体系，必须加以严格区分，即

要正确理解这一段话并不容易。“物质第一性”和“逻辑自洽性”这样不具有完全明确性的哲学语言，同样会引起各种不同的解释。他对于希尔伯特的“桌子、板凳、啤酒瓶”都可以作为数学体系中的元素的批评，也容易被理解为对于整个数学发展过程的批评，似乎现代数学应该永远保持着与物理学的统一性。但是他的上面的两个公式和关于有限论域的观点，在我看来又是非常重要的。此外我还觉得逻辑梳理，“梳理”这个词也不大明确， 所以我把数理逻辑定义成了人类思维发展的一个新阶段，把梳理改成了构筑一个新的数理逻辑的体系，而把杨本洛的那两个公式也就作为构筑数理逻辑体系框架的基础。 科学思维方法的发展中是要从不完全明确的推理的逻辑向着数学的定量化的方式发展，所以我把这一工作看作是逻辑梳理的发展，希望得到更多的有志科学的年轻的人参与和得到更多的各界人士的理解和支持。

为了把逻辑梳理发展为数理逻辑体系框架的构筑，我们需要对上面两个公式和符号做些解释。首先，我们认为构筑数理逻辑体系，就是首先要把数学逻辑体系和数理逻辑体系相分离，让数学建立自己的独立的逻辑体系。建立这样的体系是科学发展的需要，哪怕一些以约定论为基础的数学体系为造成一些逻辑悖论，引起逻辑思维的混乱，这些可以在数理逻辑的发展过程中来解决。没有独立的数学逻辑体系更容易造成物理学逻辑的僵化。所以，上面的两个关系式就成了数理逻辑关系，而不是纯数学逻辑关系。数学也有自己的逻辑前提和逻辑关系公式，那就是纯数学体系中或计算机语言上常用的逻辑公式。这两个公式是有完全不同的含义的。

首先这里的{A,B,C, …}是理想化的物理对象体系，这是一句非常重要的，但又是非常不明确的语言。实际上这个问题就是有限论域的问题，而对于有限论域的界定是人类正确认识自然界的基础。第一个公式： ，我们把它称为逻辑基元的界定问题，{x,y,z, …}是对应于有限论域下物理体系的逻辑基元。而f {x,y,z, …}则是有限论域下对应的数学体系，这样就有了第二个公式 ，数学体系是建立在逻辑基元的基础上，也就是说数学体系是建立在基本物理量纲之上的，所以也是建立在有限论域下的，但是它又与一个我们需要研究的特定的物质运动规律相联系。这样就有了最后的数理逻辑体系：数学体系与物理对象之间的逻辑自洽关系。

在第二章中我们实际上就是在讨论如何在有限论域上建立数学体系的问题， f{x,y,z, …}。但那里是普遍意义上的讨论，或者说是抽象意义上的讨论。它不仅不是一个函数，也不是一个方程式，而是整个数学语言系统：既有逻辑基元的界定，又有逻辑基元的基础上的数学体系，这个数学体系的背后就是柏拉图所说的物理世界的漂亮的身影。为此对于这个逻辑基元，我们只是限制它的有限论域，这是讨论任何逻辑问题所不可缺少的，但不能在其它方面过于约束那个语言系统。它既是量化 (数学化) 了的亚里斯多德形式逻辑中的演绎公理系统，而且，这个系统已经成了一个独立的体系，有自己的逻辑前提。那里的逻辑前提也是纯粹理性，是来自人类的思维自身，所以也包括那些约定的前提，而且首先就是约定性的，然后才通过与物理实在返回的理念的比较中，不断地接近来自物理世界的“公理”。但是，这些约定性的数学的逻辑前提必须能够保证运算结果的明确性。它的运算的明确性是十分重要的，在数理逻辑中，它是用来“否定”物理学家们“假设”下的“物理数学”的主要手段。

第三节中实际上讨论的就是来自物理世界的逻辑前提的界定。这些物理的逻辑前提必须是“人人都可以感受到的”。在数理逻辑中，这一点还不够，逻辑前提都要用数字形式的逻辑基元来表示，这就是数理逻辑与一般的推理式的逻辑和玄思式的哲学逻辑不同的地方。而有限论域下数学体系的获得，实际上就是自然科学家们，主要是物理学家们所做的工作。一开始他们的逻辑前提也同样是假定的，从他们建立的方程式往往得不到明确性的解，所以要用数学家们的有“明确解”的数学体系作些“修正”，使它能够得到明确结果。这样就造成了数学与物理学的分离，出现了数学家们的纯数学与物理学家们的“物理数学”。数理逻辑应该就是要使数学家的纯数学与物理学家的“物理数学”达到逻辑自洽的一门科学。但是这是在亚里斯多德的三段式的形式逻辑中分属于不同思维“段”中所产生的问题，是无法用一种简单的方法把它们统一起来的，所以使纯粹的思维理念，与从物理实在中返回的理念自洽的过程必须是一个相互之间“否定和再否定”的辩证的历史发展的过程。

如果把“物质第一性”仅仅看作纯粹的思维逻辑必须受到物理世界规律的检验，而把“逻辑自洽性”看作从物理实验所获得的数学体系必须受到逻辑自洽性的检验，那是很合理的。但是这种检验是相互的，实际上是“否定和再否定”的辩证的发展过程，在那里实际上没有把那个必须放在第一位的问题，也不存在相互间的不可调和的争斗。而那里起主导作用的是有限论域，随着有限论域的扩展就不可避免的有一个相互矛盾的发展过程，而在整个发展过程中，始终贯穿着向着逻辑自洽的方向发展的历史过程。

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