宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com）　2007.11

《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第一章 关于逻辑学和哲学的一般讨论

§ 1.3 数理逻辑体系

数理逻辑体系就是亚里斯多德的三段论式逻辑体系的自然发展，就是柏拉图所提出的数学体系——它的漂亮的身影就是我们的世界。把亚里斯多德的形式逻辑体系发展成数理逻辑体系是人类思维能力的一个巨大的跃进，有了数理逻辑体系，人类的思维就有了一条比以前明确得多的道路。看一看西方世界与古老中国的发展就可以非常清楚地看到那一点。我们在以易经和易理那样一些没有任何明确性的概念，在什么金、木、水、火、土，以及它们之间循环地相生相克概念的基础上，发展了三千年的种种所谓的哲学、理学、和中医学，到底给我们带来了什么？在那些没有明确性概念的指引下，是不会使人和社会前进的。亚里斯多德的逻辑形式的最大功绩就是给人类思维的发展指出了一条有明确性的发展道路，但是那种明确性虽然还是比较模糊的。而数理逻辑则又前进了一大步，这是因为数字是人类思维中最基本的元素，只有它才能够提供具有确定性的概念。而寻求数字的逻辑规则是人类思维能力发展的一条最根本的途径。数理逻辑与亚里斯多德的形式逻辑没有任何矛盾，而只是给了它的发展提供了明确的道路。

在数理逻辑出现以后，古老逻辑的演绎规则已经被数学运算规则所取代了。亚里斯多德的逻辑前提中的公理依然保持着它的基本的尊严，但是内容更明确了：这就是这种人人都能感受到的公理必须能够表达为数学形式的逻辑量。在亚里斯多德时代，那些过于纯朴的公理，由于无法被界定为适合于数学体系的“逻辑量”的形式，虽然从理解某些具体问题的时候还有作用，但是已不能成为数理逻辑的组成部分。也就是说数理逻辑中，我们必须把人人都能够感受到的公理界定为一个能够量化的形式。像“人都是要死的”，这也可以看作是一个人人都能感受到的公理，但是这样的公理不能用一个逻辑量来表示，就不能进入数理逻辑的体系。实际上公理应该是一种对人类来说永恒的存在形式，这种永恒的存在形式是极难在人类生活中感受到的，我们能够感受到的只能是，在人类活动中极难有永恒的存在。像“人总是要死的”，死不是一种永恒的存在，而是对“人的存在”的一种否定。这样的否定性的公理就太多了，因而从这样的否定性的公理是推导不出任何有出乎意料的东西的。

但是这并不是说，对于人类来说公理是没有的。我们强调那种公理是对于人类的，例如中国古贤所测量的太阳回归年的时间，欧几里德的几何，赫布里测量的并由坎普勒计算出来的太阳系的行星运动规律，对于人来说可以说是永恒的。因为从有人类的很久以前，到现在，直到很远的将来，这些运动规律在一定的精度范围内都是不会改变的。当然从宇宙本身的角度，这也不是永恒的。也就是说人类的思维能力大概只能够在这样的范围内得到确实的知识。现在有些科学家总是想一下得到关于宇宙的知识，宇宙的创生、宇宙的年龄等等。我们不能说他们这样的想象和探索就不可以，但是这样想象的东西是不确实的，把它称作物理学，就会完全搞乱物理学发展的正确方向。这些都是我们以后讨论物理学发展方向的立足点。

宁愿让人们相信那些不确实的知识，而否认牛顿理论框架在一定范围内的真理性，不去探索那些技术科学中已经出现的大量感性材料所需要的真正的基础理论知识，而是沉溺于某个人从直觉和顿悟所建立的公式，硬把这些东西称为公理让公众接受。这一切已经造成了物理学的严重混乱。并使理论物理学和数学那样一些自然哲学的基础理论丧失了它们曾经在人们心目中的崇高威望。所以，现在我们再来讨论自然哲学逻辑体系和它的逻辑基元就显得更为必要了。因为现在的自然科学的基础理论界，不论是爱因斯坦 ^[8]还是反对相对论和现代物理主流派的人^[5]，对于自然科学的哲学体系和逻辑，都有一个并不合理的理解，这就是不重视自然科学的历史发展过程，因而也忽略逻辑的历史发展过程。把自然科学和逻辑不是看成是整个人类的历史发展过程中产生和发展起来的，总是说，现代科学和现代科学的逻辑发展道路的开端是从亚里斯多德、伽利略或牛顿开始的，他们隔裂了自然科学和逻辑的发展历史。因而总是无法说清楚自然科学发展的逻辑体系中存在亚里斯多德所说的公理，自然科学的逻辑前提应该是人人、时时、处处都可感受到的公理。爱因斯坦错误的根源就是认为科学发展从特殊到一般的过程是直觉的，实际上就是说科学上那些普遍的科学规律的发现是靠某些人的直觉和顿悟。这实际上就是隔裂自然科学发展的历史的结果。那些反对相对论的人，也不清楚科学和逻辑的道路是从我们现代的人已经搞不清楚的人类的原初的思维能力为起点，非常艰难地一步一步走过来的。作为自然科学基础的逻辑基元到现在为止，总共只有三个，这就是时间、距离和质量。那些都是在人们对于宇宙运动测量中得来的，都是人人、时时、处处可以感受到的公理。这就是我们在第一卷中所讨论的问题。这也是本卷中要从逻辑学的角度来讨论的主要问题。当然这不是简单的几句话可以说清楚的问题，而是全卷所要讨论的问题，而且也不会讨论得很清楚的问题。

牛顿对于自然科学的最大的贡献也许就是对于质量的逻辑界定，有了这个逻辑基元，才有了构筑物质运动的数理逻辑体系的基础。但是他不是凭直觉和顿悟得到这一切的，他从来也没有认为他能够凭直觉和顿悟发现了整个宇宙运动的普遍规律，他只坚持，他在坎普勒、伽利略等人的基础上得到的关于太阳系的运动规律的数学体系是与实际情况相符合的。在自然哲学上他只是重申了那时已经确立的关于时间和空间的逻辑理念，把它们作为建立他的数学体系的基础。在他的数学体系的背后，正像柏拉图所说的，有一个大自然的漂亮的身影。而他自己则说，在宇宙的浩瀚海洋面前，他只是检到了几个美丽的贝壳把玩的孩子。牛顿把数学比较完整地引入到自然哲学中，他没有改变在他以前人类所获得的自然科学的基本的概念，只是用发展了的数学方法，把时间、空间的概念表达得更加清楚了。

从牛顿以后，亚里斯多德的大前提、小前提和结论的粗糙的逻辑形式有了一个严格而细致的表达形式，这就是数学的语言。当然从现在的观点，他的数学语言还有些粗糙，那是与那个时代所能够描述的自然界所适应的，牛顿的时代是人类获得第一个对于物质的逻辑基元的时代，描写物质的只有一个被抽象出来的数字——质量。当然这个质量的概念中，既不可能包括物质的复杂性也不可能描述物质的结构。牛顿用一个数字把物质从无限复杂的大自然中分离出来，我们就把这个数字称为“逻辑量”，它本身只是不可定义的客体，只有通过牛顿物理体系中的运动定律和万有引力定律，才是它有了确定的意义。这个意义实际上仍是数学上的意义，而不是物理学上的意义，因为它与实际的物理世界相差还太远。所以他所定义的只是一个理想化物理世界，也就是说是属于有限论域的，所以牛顿理论所讨论的并不是真实的物理世界，而是有限论域下的对于物理世界的近似。这种近似就是太阳系的运动状况，或理想气体和理想刚体的运动情况。而理想气体和刚体实际上是不存在的，它只是在某些及其狭窄条件下的某些物理状态的近似。数理逻辑把人类的思维的逻辑体系发展为：首先要有一个具有公理性质的逻辑量，通过数学体系把逻辑量变成数学量，如果这个体系是合理的或者说是自洽的，这一数学体系的背后就是我们世界的身影，所谓世界的身影，就是指它只是在有限论域内反映了现实世界中的某些特殊的部分。还是不可能把无限复杂的物理世界完全地表达出来。要表达更复杂的物理世界需要有新的描述更复杂的物理世界的数学体系，和相应的感性材料；而且只有对这样的感性材料和数学体系的认识，达到一定深刻程度的时候，才有可能。由于数理逻辑中逻辑前提一般说来已经简化为经过严格界定逻辑基元，所以数学方程组承担了更广阔的任务，形成一些中间性的数学形式，既可以看作数学演绎规则，同时也具有逻辑前提的性质。这些将在下一章数学中详细讨论。

总之，数理逻辑体系可以看作理论物理学中的数学体系。这一数学体系是建立在逻辑基元之上的。牛顿物理学的数学体系就是建立在三个逻辑基元的基础上，这三个逻辑基元也就是物理学的量纲：时间、距离和质量，它们实际上都只是没有直接物理内容的逻辑量。有时候某些物理量形式上也具有逻辑量的形式，但是逻辑量与物理量是有区别的：逻辑量不是物理量，但是通过某种逻辑的演绎或数学的推理，逻辑量可以变换为有限论域下的物理量。以后我们将为讨论这个问题，这一点在正确理解物理方程组中是非常重要的。所有的逻辑量都是自变量，即与运动过程无关。空间位置 r是一个很特殊的量，在牛顿物理学的数学形式上，它有时候也作为物质运动中的应变量，即在运动过程中某一物质量的空间位置的改变。它是随着运动过程而变的。不分清逻辑量和物理量就会造成数学逻辑中的逻辑悖论。这也将在以后专门讨论。

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