《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第四章 数理逻辑——人类思维发展的新阶段

根据麦克斯韦方程组(我们只讨论了一维波动方程组) ，电磁波是在整个空间连续分布的，而牛顿的物质模型中，物质只是存在于空间内的一些点。牛顿的数学体系只与牛顿的物理体系相适应，无法描述电磁波那样的物质运动形式。用前面的复数空间的数学形式可以把麦克斯韦方程组分离为只带有常数 的对于空间的矢量波动方程组；然后我们还可以通过希尔伯特的函数空间下的现代分析数学方法，把矢量偏微分算子空间的问题分离为标量的偏微分算子问题；再从标量偏微分算子问题分离为单个自变量体系的微分算子问题；最后在能够得到上一节所讨论的以式 (14)表示的一维波动方程式。从这里我们可以看到，对于电磁波方程组的求解，是通过一系列的变换后才得到的，包括把时间和空间分离的复数空间上的变换，都可以看成是希尔伯特的 H空间上的现代分析的结果。然而对于这一系列的变换，实际上都没有真正解决其中的数理逻辑问题。所以希尔拜特也像爱因斯坦一样，主要的功绩只是打破了那种封闭的框架，模糊地指出了方向，而具体的路还要我们自己去寻找。

在所有那些变换中，最困难的问题就是对于时间和空间的分离的数理逻辑问题，这也是整个 20世纪的物理学和数学所留给我们的一个主要问题。当然还有更加困难的我们现在还说不大清楚的问题，那就是寻找关于物质结构的逻辑基元及与此相联系的数理逻辑问题。现在可以看到的关于物质结构的两个逻辑基元应该是与空间上的点相联系的、离散的、类似牛顿所给的粒子的“序列”和在时间 (或频率) 上的“点”相联系的离散的“序列”，这种“序列”不是以前数学上以正整数为标号的“序列”，即它没有在正整数的序列下能够求极限的那种性质。或者更确切地说是“离散数字的集合”，我们现在还说不清楚这种“离散数字集合”的逻辑性质。大概只能用统计的数学方法，建立对于这类离散数字集合的统计数学的逻辑界定，大概是一项更困难的更艰巨的工作。这个在概率和统计数学中建立自洽的逻辑体系的工作也许是对于人类思维发展的最具挑战性的工作。

现在的理论物理学家在相对论和量子理论框架下的种种努力，建立在“物理空间”或“ n维欧氏或函数空间”下的几何学，研究由纯数学发展起来的各种方程式的几何性质，它们的种种宇称对称性等，实在看不到会产生什么实际的结果。数理逻辑应该从一种纯数学的束缚下摆脱出来，成为自然科学基础理论研究的方向，也就是说应该有人来研究数学、物理学和逻辑学综合在一起的科学。也许有人会觉得现在科学发展的那么快，那么广阔，要再由像牛顿那样的数学、物理学和哲学全面的科学家已经不可能了。我不赞同那种观点。当然要一个人同时去研究“约定”基础上的数学，“假设”基础上的物理学和各种玄思式的名词概念上的“哲学”是不可能得到什么结果的；但是实际上只研究其中的任何一个，除了得到个人的物质和精神上的满足外，能够得到真正有用的东西吗？而研究逻辑基础上的数学与物理学不仅应该是可能的，而且是必须的。理论物理学的主要方向和任务应该就是把数理逻辑真正成为人类研究物质世界运动规律的把物理实在的“公理性”和数学演绎的“明确性”相统一的，量化 (数字化) 的思维规律。

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