《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第三章 物理学与逻辑学

3.3.3 电磁波的数学体系和数理逻辑

现在我们再回过头来讨论由式(14)所表示的一维波动方程的数学逻辑问题：

(14)虽然这个方程并不能表示物理学上的真正的波，但是这个方程式是表示波的最基本特性 (即时间和空间关系) 的方程式，以后的复杂的三维空间上的波的更精确的形式也要在这一方程的基础上来求解。但是经典数学实际上是不能求解这一方程式的。凡是在逻辑上没有自洽解的方程式，在数值计算上也不可能得到精确的数值解，而只能在某种人为假定的条件下来进行近似的数值解。那就是在假设的边界条件下来求解，而这些假设的边界条件，除了对于某些特殊的边界形状和理想化的条件下，一般说来都是不符合物理实在的。这就是经典数学的一个基本缺陷，它像其所产生的物理背景——牛顿的逻辑空间一样，受到有限论域的限制。这个问题在现代数学中得到了某种程度的解决，但是并没有得到根本上的解决。为了说明这个方程在经典数学上是不可解的，我们首先要看一下，为什么牛顿理论在经典数学上是可解的。牛顿方程之所以可解是因为那里逻辑量只剩下了时间 t，空间已经从逻辑量转换成了物理量。空间已经从可以在三维实数空间上任意取值的自变量，变换为限定在某一个确定的空间点上的函数值，而这个变换中又正好用上了欧式空间的逻辑界定中的距离的表达式，它正好是符合公理化运算法则，所以整个牛顿的数学体系有逻辑自洽解，或符合希尔拜特的公理化条件的自洽解。但是希尔拜特的现代分析体系中的“公理化”本身仅仅只是数学演绎的公理化，即使在“约定”条件下的公理化。只有当约定条件下的公理化与来自外部的物理世界的逻辑前提的公理相一致时，才能够成为逻辑自洽的数理逻辑体系。也就是说牛顿理论体系的“公理性”首先是由于它在物理上的公理性，它就是人类对于太阳系运动规律的历史探索的终结。而希尔拜特的数学演绎的公理化的规则正好与它结合在一起，形成了一整套完整的数理逻辑的自洽的公理体系。

但是现代数学本身的公理化体系只是数学演绎的体系，只有当的数学逻辑前提和体系都与来自物理世界的逻辑前提和数学体系一致时，才能够成为自洽的数理逻辑体系。单凭公理化的约定只能获得逻辑演绎的能力，而不能获得物理实在的结果。所以，不要看数学家们作了很多很多的工作，他们的工作令专业外的人眼花缭乱，但是真正符合物理世界的逻辑“公理性”的数学演绎体系还是极为有限的。例如从希尔伯特 H空间理论，对于三维的非欧空间也可以找到过关于范数的公理化的约定，但是这个范数没有物理实在内容，与物理实在中的逻辑基元——距离不一致。这样的非欧空间下的分析数学不会得到物理上有用的东西。如何把数学家的“公理化”与物理实在的逻辑前提的公理化结合起来是一件极为重要极为复杂的工作，这将是形成逻辑自洽的数理逻辑体系中的核心问题。

当把不同性质的自变量，时间和空间放在一起时，经典数学是无法解决自变量之间的关系的。因为这种关系是逻辑关系，或物理关系，而不是数学演绎的关系。所以一般说来必需先把时间和空间分离，这种分离也是物理意义上的分离，或逻辑分离，而不是数学演绎规则所能够分离的。工程或应用物理中，常常用科学家自己所作的假设下的分离来代替逻辑分离，所以这些科学是应用科学，不是有普遍意义的基础理论科学，它们能够提供的是仅仅作为发展科学的感性材料，而不能直接作为逻辑自洽的理论体系。 但是工程或应用科学家所提供的感性材料往往比理论物理学家提供的没有物理实在的理论，能够更加符合逻辑发展所应该走的方向。因为它总是在经受实践的检验。

电磁场理论中，经典电磁场的工程科学家也是这样做的：他们像牛顿一样，先从时间和空间自变量体系中把其中一个自变量分离出去。但是牛顿是把空间分离出去，转换为物理量，这就是用空间量来表示的物质的位置，这时物质也就成了由一个空间点表示“粒子”，而把整个数学体系变换为时间的函数。在经典的电磁场理论中首先被分离出去的是时间，即把时间变换成物理量，这个物理量就是频率。而物质运动形式是在空间中得到的。由于空间是复杂的三维的矢量，所以电磁波作为空间函数的数学体系比牛顿粒子作为时间函数的数学体系要复杂得多。这个问题的细节无法在这里说清楚，但是有一点是清楚的：这就是我们同样可以得到频域上的特征量，这个特征量一般说来就是能量或能流密度。它也可以用一个数字来表示，对应于每一个频率点的数字。这样就和牛顿物理框架中的对应于每一个空间点的数字一样。在牛顿框架下这个数字是粒子的位置，也可以表示为速度或能量。在电磁波的物理框架中，这个数字是对应于频率 (实际上也是时间) 表示的能量或能流密度。如果一定要把电磁波也说成是粒子，那么它不是空间的“粒子”，而是从时间域中表示的“粒子”。但是这种“粒子”只有在极高的频率下具有类似“粒子”的性质，它的逻辑界定和物理性质现在我们也没有搞清楚。这是因为对于电磁波来说，频率很高的情况，和频率低的情况表现出完全不同的数学性质。而且电磁波本身是由正、负电性所产生的复杂的力和运动现象，特别是当电磁力与牛顿引力耦合在一起的时候的力学波和涡动力出现的情况，更是复杂得很。我们只能说这是人类应该去解决的最重要的、最困难的理论物理问题。

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