《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第三章 物理学与逻辑学

3.2.4 关于无限大域下的函数和函数空间

关于无限大域下的函数和函数空间的性质问题，是电磁波的物质运动形式所返回到数学体系的一个理念。这就是在波动方程的解 (15)和(16) 式中所出现的无限大积分的形式问题。不解决无限大积分的逻辑问题前面时空分离逻辑问题也是不可能真正解决的。

关于无限大域上的函数集合的性质在盖尔方特和希洛夫的书中 ^[13]已经有了详细的讨论。但是那些讨论还没有与逻辑联系起来。因为与无限大域联系在一起的函数，到底有没有明确性我们是不清楚的。牛顿所建立的分析只是给出了对于无限小极限的逻辑界定问题。无限小的逻辑界定问题实际上是与这样的“实数空间”的理念联系在一起的：在域 [a,b]内存在一个均匀的数字集合，每相邻两个数之间的间隔都为ε。但是这个ε 的大小是可以根据所研究的数学体系的需要而任意给定的。这样的数字集合的明确性与通常的正整数序列的明确性的限制条件不同，正整数序列用一个大的正整数 M作为对于序列的明确性的限定，而实数空间是以一个足够小的间隔ε作为对于那个“数字集合”的限定。由于限定条件的不同，由于没有一个大的自然数的限制条件被一个非常小的间隔所代替，所以把那种形式的数的集合给以一个“连续”的名称。不论序列还是连续空间都有一个共同的性质，就是不确定性，可以依据数学体系的要求来变动数字集合的形式，牛顿把它称为“数字流”的性质。但是这里的出现的数学元素的性质比牛顿数学中又复杂得多了。它是以无限大域中函数的积分的形式出现的。怎样来给这样的数学元素一个明确性的性质，就是逻辑研究的任务。没有明确性的逻辑界定，分析就没有意义。这就是无限大下的数学逻辑问题。这个逻辑界定的核心问题依然是如何给那个数学元素以明确性的形式。所以这要比直接建立在数字集合基础上的极限概念复杂得多了。这样就进入了函数空间和算子理论为研究对象的现代数学的范畴。也就是说人们必须首先建立关于泛函的观念，然后才能够建立关于无限大域内的函数的逻辑理念。这种泛函的概念，看起来首先不是从外部世界的异化中返回来的，而是直接从数学理念的发展中所建立的。所以现在的工作实际上就是要把亚里斯多德和笛卡尔所建立的逻辑的理念和由希尔拜特所发展的函数空间的数学概念结合在一起，并扩展到无限大域下的函数空间。在上一节中我们已经指出所谓建立逻辑数学的理念，就是要把必须通过逻辑界定来获得的理念与数学演绎所得到的理念的扩展分离开来。也就是说对于无限大域内函数积分的明确性表达方法是不可能通过数学演绎给出的，而必须用逻辑界定的方法，使他成为人人可以感受的“公理”。因为有一些理念实际上只能来自人们的直接感受，而不能来自数学演算，对那些只能来自人们直接感受的理念当作数学演算来得到的理念的扩展，就必然要引入逻辑悖论作为前提，而逻辑悖论的引入必然为引起一连串的逻辑悖论。

无限大域上函数的逻辑界定与所有的逻辑界定一样，要求这种通过逻辑界定得到的逻辑前提具有完全的明确性。为了简便起见，以后我们把那类无限大域上的函数积分问题，称为广义积分问题。在经典数学也已经讨论过，这就是由傅立叶级数向经典的傅立叶积分的过渡。只要函数 f(x)满足：

(17)对于函数 f(x)就可以用傅立叶积分来代替周期函数的傅立叶级数。这一证明是容易的只要把A看成是一个对于自然数的单调的序列，随着周期的无限扩大级数就自然地变为积分。这样的函数f(x) 尽管定义在无限大域上，我们可以在序列极限的意义上得到它的完全的明确性的表述。以后我们将会看到，当我们把牛顿理论中的引力通过“场”形式来表示时， f(x)的这个性质就是引力场或“保守场”的性质。它属于经典数学，它也与牛顿的物理框架相适应。但是在讨论电磁波时，电磁波的场不满足这一性质。所以我们必须把无限大域下的函数性质加以扩大，这种扩大的无限大域下的函数集合，我们把它称为“广义函数”。相应的积分称为广义傅立叶积分。对于广义函数，我们把无限大积分形式变换为：

(18)这是电磁场理论中常用的一种形式。把电磁波在无限大域中分成若干个段，是电磁波实际问题中所必要的，因为实际物理问题中不可能在整个无限大的域上有一个完全相同的波形，所以上面的第一个积分形式只是一种纯数学形式，第二个形式是理想化的波的形式，表示在 a上，有一个激励的源，从这个源点，电磁波分别向两边传播；第三种形式是更加实际的波的形式， a与b 之间是一个源区。

因为在波动方程中电磁波的解，不是在无限大域下绝对可积的函数，无法通过经典数学的方法来得到对这一函数的确定性的描述。所以，这里要讨论的关于无限大域下的函数 f(x)的性质问题。而要解决这个问题必须从波动方程的性质入手，为了把波动方程中的自变量 x和t 进行分离，先要求有一个特殊的函数 f(x)=f’(x) ，这个函数就是e^x，然后引入复指数函数 ，并应用复指数函数的欧拉公式就得到了复数空间的数学体系与电磁波之间的某种合理关系。这就是用复指数函数 来分离自变量时间和空间的逻辑依据。并给分离以后的方程式(14)一个边界条件：

(19)

这样f (x)就有了明确性，不论多大的x都有明确的函数形式。在数学上我们还可以令： ， 和都是正实数。这样可以解得三类函数：(1) . 这是理想条件下的一维的等幅波；(2) ，为以 形式率减的衰减波；这类广义函数在数学上属于 S类函数空间；(3) ，为以形式增长的增幅波。这类函数属于Z 类函数空间。我们把第一类函数称为 E类函数空间。它只是S 或Z类函数空间的极限形式。我们遇到的无限大域的广义函数大概就有这几类，加上经典的绝对可积函数共有四类。

从物理上说，这些无限大域上的广义函数都是与各种不同性质的场相联系。当然实际场都是三维的要比这复杂得多。但是在某种意义上有对应关系。这种对应关系将在以后讨论。这里简单说明如下：绝对可积的函数相应于牛顿物理框架下的引力场或保守场； E空间函数相当于理想的电磁波场；S 空间的函数相当实际的衰减波；而Z空间相当于增幅波，这只是数学上的，物理实在上，Z 空间的函数只能存在于有限域内不可能存在于无限大域内。在无限大域内的 Z空间函数，只有某些理论物理学家感兴趣，它就是产生“蝴蝶效应”的数学根据。

时间和空间是大自然的物质存在和运动形式反映到人类思维的原初理念。时间和空间的理念是随着人们对于大自然观察和实践范围的扩大和深入而不断的发展和丰富。建立在初等数学基础上的时间和空间理念是比较简单的，相互分离的；要真正理解时间和空间就必须不断接纳大自然返回的新的理念，牛顿的物质运动的理念首先就是在对时空观念发展的基础上产生的。这种发展就是时间和空间的相互联系的理念。但是这种联系是简单的，作为形式体系时间与空间还是分离的，但是空间可以在时间上连续的变化，就产生了瞬时速度和加速度的概念。所以，时间和空间的理念，特别是它们之间的相互关联系的理念，必然要随着人类从外部世界获得越来越多的新理念而发展，但是反过来没有时间和空间的合理的相互关系的新理念也不可能得到物质世界运动规律的合理的感性材料。它们之间只能在否定和再否定的辩证逻辑的规律中不断的发展。

关于时间和空间相互联系的理念，我自己也觉得这里并没有讲清楚，这不是用哲学玄思式的语言所能够完全讲清楚的问题。这里只要搞清楚一个基本概念就很不容易了，这个基本概念就是：电磁波不是牛顿数学体系所能够表示的，为了解决电磁波的运动形式问题，必须处理时间和空间联系在一起的数学体系问题，而要解决这样的数学体系的分析问题不可能用牛顿的经典分析的数学方法，而必须用希尔伯特的分层次地分析不同形式体系下的数学逻辑问题：这里最重要的就是时间和空间的分离问题，而随着时间和空间的分离问题，又出现了无限大域下的广义积分问题和对于无限大域上函数的逻辑界定问题。这些问题是以后解决物质模型中既有空间的局域性又有空间连续性的物质模型的基础。只有在那些数学理念的基础上我们才能够实实在在地“否定”相对论和量子理论——即在否定相对论和量子理论的数学形式而又继承其合理的物理理念的基础上，真正建立起一种数学逻辑和物理实在相统一的数理逻辑体系。

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