《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第三章 物理学与逻辑学

3.2.3 关于复数和复数空间的讨论

要得到时间和空间相互联系的合理的逻辑关系是一件很复杂的事，只能一步一步的从物理实在所能返回的理念中来获得。而且它是不断发展的，不可能有一个简单而普遍适用的关系。因而爱因斯坦的时空关系我们不妨也可以看作人类认识时空关系中的一个环节，当然把它当作僵化的真理是不对的，但是完全否定它在人类思维发展中的积极作用，也是不符合人类思维的历史规律的。在上一节中实际上已经有了对于时间和空间相互关系的描述，它是比相对论合理得多的描述。这一关系的依据就是与电磁波运动形式相联系的数学体系。我们只能通过描述物质存在和运动规律的具体的数学体系中来研究时间和空间的关系，当然在某些历史条件下个人的直觉和顿悟对于人类的思维的发展也是有帮助的，说到底人类思维的发展就是有许许多多人的个人思维所合成的，是一代一代人的思维所积累的，完全否定个人思维的作用也是不科学的。但是无论如何都不能把个人的直觉和顿悟提到不恰当的位置，任何天才人物实际上也只是人类的普通的一分子，他的思维离不开人类思维发展的普遍规律，整个人类思维就是一代一代人之间的否定和再否定的过程中发展起来的，所以任何个人的思维都要在“否定意义”中，才谈得上其对于人类思维发展的历史过程中的作用。

关于时间和空间的相互联系性、关于对电磁波的数学体系和关于实数空间和复数空间的数学分析这三者是一个复杂的关系。杨本洛在“ 自然科学体系梳理”^[11]，所提出的正是这样的一个问题，只是用“物质第一性”和“逻辑自洽性”两个哲学名词来概括，往往容易引起各种的误解或产生歧义，这就是在说，当人们对观察对象的认识程度从玄思式的哲学认识，发展到推理式的逻辑认识，再发展到量化的数理逻辑认识，描述人类思维的方法也应该作相应的发展。自然科学发展到今天，单纯的玄思式的哲学思维如果不与量化的数理逻辑思维相结合，已经不可能把握住自然科学发展的正确方向。而对于数理逻辑的把握，则必须把描述人类思维的各个环节：物理学的逻辑前提、数字和运算的逻辑体系、反映物质运动规律的数学体系、数学分析与数字计算的方法以及理论结果与实验的合理关系等等都结合在一起进行考虑。可是现在对于数理逻辑还没有一个规范的理论体系，只是把它作为数学的一个范畴，是无法达到这一上面所说的发展人类思维的目标的。这就需要我们对自然科学体系进行梳理，当然这个梳理的过程是一个非常复杂的对于人类实践的理解与描述和纯粹理性的思维之间的否定和再否定的辩证的过程。这些我们还要在下一卷对于牛顿理论和电磁场理论体系之间的关系的讨论中再进一步说明。但是对于虚数、复数和复数空间的讨论和理解正是那些进一步讨论的数学基础。

所以，必须讨论关于i 这个数学符号的逻辑前提问题。希尔拜特在建立抽象空间的分析的数学分析时，确实来不及研究那里的逻辑前提问题。在这一点上，杨本洛指出得完全正确：桌子板凳不能组成分析的基础。希尔拜特的公理化的集合实际上只是对四则运算来定义的，所以从普遍意义上说，实数空间的形式体系与幂运算并不相自洽，所以他要建立一个“范数”。范数是一个正实数并对范数建立了四则运算的公理化体系，就可以证明对所有更复杂的运算，只要这种运算存在明确性 ( 这在数学上通常用运算结果的唯一性来表示 ) ，对于这个范数的极限一定存在。所以我们说牛顿经典数学是与牛顿的物理体系 ( 整个体系上只有时间一个自变量 ) 相适应的，而希尔拜特的现代分析则是于电磁场理论相适应的，它允许分层次地分析一个复杂的形式体系，也就是说可以对不同的自变量作分层次的分析。当然只有那种与物理实在有合理关系的分层次的方法才是数理逻辑的方法，即可以用来正确发展自然科学的方法。那些与物理实在还没有联系的分层次的方法只是一种纯粹理性，当人们发现它与物理实在有矛盾的时候总会要被否定的。但是被否的只是那些已经发现与物理实在相矛盾的那些“范数”的形式，而不是现代分析数学体系本身。

现在我们来看一看虚数、复数、复数空间、波动方程和现代数学的关系。这个问题已经到了今天人类认识的边界，讨论这样的问题总是冒着“被否定”的风险的。但是现代分析数学如果不去讨论“范数”的“逻辑自洽性”就可能会把现代数学引向死胡同。但是范数的逻辑自洽性看起来不像是数学本身的逻辑自洽性，而是物理世界的“外在或异化”强加给数学的纯粹理性的，所以数学家们用一种约定来代替它；但是我相信这种物理世界对于人类思维的“强加”最后应该会被证明并不是强加的，而是人类思维本身也应该具有的。当然这种信心，现在说来也许只是一种信仰。我们带着这样的信仰回到对于虚数有关的数学的讨论上来。

虚数这个概念实际上是在初数等数学中就产生了。随着幂运算的出现就产生了幂运算的逆运算，于是就出现了代数学和高次代数方程问题。在我们学习代数学的时候，当高次方程的根中出现 的时候，老师就告诉我们在那种情况下这个方程无解。从数学应该反映物理实在来说，这是对的，即使到现在还是对的！即与这个方程相应的应用问题，在出现虚数时，确实是没有答案的。当人们把正整数扩展到自然数的时候，也是一样。问一个幼儿，你有两块糖，吃了三块还有几块，他一定说我有两块糖，不能吃三块。这是人人能够感受的公理，是永远不会改变的。以后出现了减法的运算和负数的概念，这个概念是对于另外一些现象的，并不能否定一个幼儿所感受到的公理。虚数也是一样，只有当欧拉引入了复数空间上的欧拉公式，并用这样的数学工具去描述超越牛顿框架下的“波”这种新的物质运动形式的时候，虚数、复数和复数空间的数学工具所得到的运算结果，才有与被描述的物质世界的运动形式有了合理的关系。这并不是说，有了对复数空间的欧拉数学，以前没有实在意义的高次代数方程的复数解也有了实在的意义。对于严格逻辑自洽的牛顿运动的框架来说，虚数仍然是没有意义的。

所以应该说复数和复数空间的实在意义是与波的物理存在相联系的，波动方程就是反映理想化的波运动规律的数学体系。复数空间是用来分离时间和空间这个数学体系中所存在的时间和空间两个自变量的。当物质运动形式同时与时间和空间这两个逻辑基元有关时，即与物质运动相联系的数学体系中有时间和空间两类自变量时，必须把它们分离才能够得到逻辑自洽的解。 H 空间的范数的公理化体系是用来保证对于范数来说，任何有唯一性的数学运算都能够得到无限小的极限。所以复数空间中的“范数”的这一性质，可以用来保证在时间和空间的分离中满足逻辑的自洽性。

在复数空间和波动方程的求解中仍然还有一个数学逻辑问题没有解决，这就为什么可以用 对波动方程的函数进行分离，这样的分离的数学逻辑依据是什么？这就必须讨论无限大域内的函数的数学逻辑问题。

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