《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第三章 物理学与逻辑学

3.1.4. 三维空间中的矢量和矢量函数空间

矢量和矢量函数是物理学中所遇到的而数学上没有很好方法的一个大问题。牛顿理论一般也被称为力学，但是实际上力是牛顿理论上最薄弱的一个环节。在牛顿理论中，真正具有矢量性质的物理量只有一个，那就是位置矢量 R ，力矢量 F 是位置矢量的初等函数，所以不会存在运算中的困难，而加速度矢量 a 是与 F 同方向的。所以，牛顿物理的数学体系从分析意义上说，只是一个对于时间的微分方程问题，对于空间的数学关系只是初等数学的运算问题。由于经典数学的发展主要是从牛顿理论相关联的，所以在矢量问题上一直没有建立完善的理论体系，这是数学发展的一个大问题。而数学的问题又是造成物理学发展的一个重要障碍。

这个问题的最明显的反映在电磁场理论中，电磁场中存在着两类独立的矢量， F 是一个 完全独立的矢量，因为系统中不仅有引力，还有电磁波的力。当我们要对着两类矢量函数之间建立映射关系时，就出现了所谓的张量，这种张量实际上是一个并矢算子，而数学上没有解决这个问题的严格的数理逻辑体系。就像戴振铎所指出的，实际上旋度运算是数学上没有严格解决的问题，它的运算形式是凑出来的 ^[21，24]。所以在张量的问题上所应用的只是物理学家的数学，一般说来，物理学家的数学总是不大讲究数学逻辑的严密性的。而这个问题实际上又是于三维矢量的旋转性能联系在一起的。

在现代数学的发展过程中，欧氏空间的分析没有认真的研究，从一维的数学分析立即扩展到 n 维空间，以为 n 维空间的问题解决了自然也包括了 3维空间中的问题。而实际上现代数学大量研究的n维空间的微分流型在物理上是没有意义的，因为它的旋转性质的是描述不出来的， n 维空间上的外积是根据约定而来的，没有物理实在的内容。因而凡是与旋转有关的数学性质都是只有约定上的意义。而没有物理实在的意义。而三维空间中旋转的性质是极为重要的。矢量的旋转性是电磁力的一个主要特征，也是介质力学中所有非保守力的主要特征。现在物理学上对于力学的研究无法获得突破性的进展，实际上与现代数学的研究从三维欧氏空间转向了 n 维空间的微分流型的研究而没有去深入研究三维空间的场矢量的数学性质有很大的关系。

最后我们对空间的逻辑前提作一个小结。空间是物理学中的一个逻辑前提，它主要是用来描述物质存在本身的形式的。空间的逻辑前提实际上是一个系统，以后我们还将看到空间的逻辑前提实际上与时间是联系的而不能截然分离的，随着物理学的发展我们对它的了解会越来越细致和越来越准确。但是以后越来越细致和准确的逻辑界定不应与前面的逻辑界定造成矛盾。从现在我们已经了解的那些来说，我们可以对空间这个理念作如下的小结：一是空间提供了可以把和数学理念相联系的关于点、线、面的逻辑前提，把根据空间中抽象出来的那些理念返回到数学理念中去，可以发展数字和数字运算的理念，并把数学和理念和物理是在联系在一起；二是空间具有三维性，这个三维性使得它具有欧氏空间所特有的性质，给我们提供了一个逻辑基元——距离，并成为一个物理学中的基本量纲；三是这个体系具有一个从实数空间中抽象出的特征数——范数，数学特征数 ( 范数 ) 与物理的逻辑基元的同一性反映了思维理念与物理实在的一致性，这就是牛顿的理论的数理体系的逻辑自洽性的保证；四是这个在这个物理空间中不仅有数字表示的量——标量，还存在带有方向的量——矢量，关于矢量函数空间的逻辑性质还没有完整的理论；五是除了矢量函数空间的性质外，它还有很多我们现在还不清楚的性质，如空间与时间的关系等，它还需要我们去探索，

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