《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第三章 物理学与逻辑学

3.1.3 希尔拜特的逻辑化的几何学

上面我们讨论了关于空间的理念，先从点到线，再从线到面。目的只是从物理实在中，来理解数字和数字运算的纯粹数学理念。单从数字本身是发展不了数字序列和数字运算的理念的，只有把它与物理实在结合在一起才能够发展这些概念。但是单从物理实在也建立不了数学理念的体系。一般来说，物理实在是一个一个的孤立的事实，人们可以从生活中感受它，只有进入思维的理性体系，把那些孤立的感性的体验与纯粹理性体系结合起来，才能够建立起一个可以通过推理联系在一起的统一的体系。但是这一过程是极其复杂的，不仅是感性材料不断丰富的过程，也不仅是逻辑推理能力的发展过程，更有人类对于这些从感性材料获得的逻辑前提和推理方法及结果之间关系的感受能力，甚至还有接受这些关系所反映结果的心理状况。所以这是一个很长的历史过程。空间实际上不是一个孤立的概念，而是一个复杂的体系，我们必须一步一步的在物理实在和思维理念间的否定和再否定的过程中，不断发现和纠正逻辑悖论的过程中来发展这个关于空间的逻辑体系。

首先是抽象的点与线的概念的建立，把它返回到数学体系就是数字和数字的扩展。我们把这种空间称为一维空间，相联系的数学理念是实数空间。然后又讨论了关于平面的概念：平面的概念一开始似乎非常清楚，那就是水平面，古人就是在这样的概念上不仅进行了时间的测量，还建立了关于重量、力和以杠杆原理为基础的静力学，用于各种农业、手工业和建筑，创造了辉煌的古代文明。以后虽然有了地心说，但是地球对于那时候的人类活动来说实在太大了，人们并不认为这样的空间结构是有缺点的。所以在那个时代欧氏空间已经有了被人人感受的公里的性质。这样的三维空间的性质用什么来表示呢，实际上这又是一个很复杂的问题^[6]：

例如，欧几里德说（定义1）：“点是指没有结构的东西”，或（定义 2）“线是指没有宽度的长度”。他的第4定义的含义至今也没有弄清楚。他说“直线是用点均匀地排列成的线”。就这样一直定义到 23，“两条平行线是位于同一平面中的两条直线，把他们延长而永不相交。”……定义以后欧几里德要我们同意他的五个公设。他说：“假定（ 1）用一条直线可以把任意两点连起来等等。然后，还有五个公理 …… 这些公理与公设之间的区别在于，公理乃是关于如何理解所使用的语言 (如“相等”、“相加”和“相减”等)的协议。与仅仅属于欧氏几何的公设不同，公理显然适用于任何体系 (这一点是被亚里斯多德发现的)。既然欧几里德要求人们同意他的公设，显然人们也可以拒绝他的公设而同一其他的公设。

在上一小节中，我们讨论了只有欧氏空间才是符合数学逻辑的空间，因为只有用欧氏空间的理念才能够合理地描述物质世界的存在和运动形式。但是这并不是对于欧氏空间的逻辑界定的准确的语言，从亚里斯多德的形式逻辑到欧几里德的几何中所应用的逻辑推理方法，都不是现在我们所需要的定量化的数理逻辑的语言。正如库帕所指出的，欧几里得有 23个公设，和5 个公理，作为它的几何体系的前提，这个体系对于人类来说是那么的有用，以致现代一般国家的青年人都要学几何学。我的大女儿在国内奥林匹数学竞赛中获得的一个奖品，是一个日本人写的几何学辞典，里面竟有 4000多道题，每一道题实际上就可以看成是一个定理。这样我们有了一个多么庞大的几何学体系啊！但是实际上组成这个庞大体系的真正的逻辑基础，我们却总是搞不大清楚。 23个公设其中很多是重复的，有一些是很难理解的，特别是其中的平行线公理，是一直有争论的。确实如此，如果我们所画的平面实际上都是球面，那么怎样来画两条永不相交的直线呢？ 而其中的五个公理实际上就是演绎体系，它的公理性是如何得到的，最后所有的这些关于公理和公设的体系，如何用量化的数理逻辑的思维方式来表达，即用数学的语言来表达，这些都是问题。特别是其中的平行线公理实际上是对于逻辑前提，或康德所说的纯粹理念的理解问题，这只能从人类自然科学整个发展过程中来把握的问题，更不是用一些简单概念的论证或逻辑演绎能够解决的问题 ^[6]。

牛顿的引力理论与爱因斯坦的引力理论(广义相对论之间 )的主要差别在于对时间和空间的几何性质的看法不同。牛顿理论认为空间是欧氏的，而仅仅在外力的作用下粒子才沿曲线运动。广义相对论则假定，空间 -时间是非欧几里德性的，在给定的空间曲率条件下，粒子永远沿着与任意两点间的最短距离线一致的行程运动。虽然这两种观点完全不同，在大多数情况下两种理论的结果是一致的——这再次表明，观点的选择是完全相对的。这种选择完全决定于这种或那种约定的结果有成效至何等程度。每一种约定都是人类思维的成果，它与实际世界的符合与否要根据用它来掌握自然现象的有效程度来检验。

庞加莱深信，最方便的约定是把空间看作是欧几里德空间的约定。但是仅仅过了15年爱因斯坦便提出了他的广义相对论。在这一理论中他假定空间是非欧的。尽管如此，很难说这一理论是“更方便的”理论。虽然广义相对论以其美妙和雅致令人惊叹，但从来也不是“方便的”理论。用非欧几何进行的大量计算，只对牛顿理论的结果有很小的修正。毫无疑问，牛顿理论是更方便的理论。因为欧氏几何比别的几何都简单得多。

作为20 世纪中晚期的著名应用物理学家能够以客观的态度来评述相对论已经很不容易了。但是主流数学家只研究欧氏空间而不在非欧空间上发展数学，绝不是 因为欧氏几何比别的几何都简单得多，数学家是最不怕复杂的。根本的原因就是只有在欧式空间的逻辑体系内才可能得到数学上的逻辑自洽的体系。广义相对论的最大问题之一就是它不是一个数学自洽的逻辑体系，所以它没有确定性的解。库帕所说的，用非欧几何进行的大量计算，只对牛顿理论的结果有很小的修正。这里实际上应该加一句，在能使它与牛顿理论尽量接近的附加的近似条件下，能够得到很接近牛顿理论的结果。

为了打破牛顿的僵化的数理逻辑体系，希尔伯特曾经和爱因斯坦的四维时空体系有过一些讨论，但是他们最后还是个人走自己的路。作为数学家， 希尔拜特坚持把数学作为研究纯粹理念的科学，在那里不允许直接把与具体的物质运动相联系的概念引进来，否则数学就不再是一个有普遍性的描述人类思维理念的科学了，而成了物理学的一部分了。但是数学又毕竟是要为描述物质世界服务的，而描述的物理世界又必然要和具体的物资运动相联系，这确实是摆在数学面前的一个主要矛盾。在他的不懈努力下，终于初步建立了这样的数学体系——现代分析的数学逻辑体系。它的主要功绩就是把数学从单一层次的描述物理世界的数学体系，发展为多层次的描述不同层次下的物理问题的复合的数学体系。这个体系的最表面的一层是元素与映射，元素形式上是可以有非常广泛含义的抽象的概念，而真正与已有的数学运算的逻辑体系相衔接的是“范数”，并严格规定了“范数”必须满足四则运算的公理化体系。实际上在希尔伯特空间 (H空间) 中的公理化还稍稍复杂一些，除了把实数空间上的四则运算的公理表示为严格的数学形式以外，还包括了对于三维欧氏空间中的演绎公理 (三角形公理) 。

所以欧氏空间的逻辑体系是通过希尔伯特的工作而得到发展的。他是整个逻辑化数学奠基人。他的工作是从对于欧几里德几何学的逻辑体系的研究入手的，当然在他之前，从欧几里德时代起一直有人对于几何学，这个对于人类的思维、生产和生活都有如此密切的，而又是那么神秘的科学进行着研究。希尔伯特就是在人类两千多年的思维发展积累的基础上，成功地把空间这个来自物理实在的理念发展成一个纯思维的数学理念。希尔伯特对于三维欧式空间的数学体系是对欧几里德几何学的发展，把它发展成数理逻辑的形式，一定意义上说，或者说在一定的有限论域内，希尔伯特的 H空间中的三维欧式空间理论就是对于空间的自洽的数理逻辑体系。在那里不仅所有的公设发展成了数学与物理自洽的公理体系，它与所有的原有的逻辑演绎的公理体系一起都用严格而简单的定量的数学形式表示出来了。

当然数学本身就是一种逻辑体系，它只有在与物理实在结合以后才能成为描述物理世界的自洽的数理逻辑体系，而它自身也要发展，这种发展很自然地会得到物理世界的否定。实际上自然科学的发展和人类思维的发展就是在对纯数学的否定过程中发展起来的。而那些与物理实在找不到联系的纯数学的发展，在一定意义上也是有必要的，它的必要性就是可能在应用物理学发展的某一天，会应用某些从来还没有与物理实在相联系过的纯数学，但是在应用这些纯数学的过程中还会发生对纯数学进行“否定”和在“否定和再否定”中获得数学和物理学在新的逻辑体系的有限论域内相互结合的过程。那些没有经过物理学否定的纯数学不管怎样发展，没有在物理实在中返回的理念之间的“否定和再否定”的过程，自己是不会结果的。

现代数学体系在物理学中的应用是极为广泛的，或者说它就是人类思维发展到现在的逻辑思维形式的基础。在 2.2.3 节“关于现代数学的逻辑悖论和逻辑体系的探讨”中，我们曾讨论了现代数学体系中存在的逻辑悖论。确实如此，在现代数学逻辑体系中存在逻辑悖论，这就像经典数学和初等数学中同样存在过很多逻辑悖论一样。这些逻辑悖论的出现与解决总是与某个有限论域有关，初等数学中出现的一些逻辑悖论，到经典数学就解决了，经典数学中出现的一些逻辑悖论到现代数学中就解决了。所以，现代数学中会让人感觉很多逻辑悖论，那是因为这些逻辑悖论现在还没有到能够解决的时候。可以肯定的一点，就是现代物理和现代数学中所出现的逻辑悖论必须依靠自然科学本身和自然哲学的数理逻辑的发展来解决，任何倒退都不可能解决问题，就像中国的问题只能通过自然和社会科学的发展去解决，想通过提倡并弘扬国粹文化是不可能解决的。

所以，现代数学中出现一些逻辑悖论是很自然的事，逻辑悖论的发现就是找到了发展的切入点，而解决逻辑悖论的过程也就是否定与再否定的过程，数学和物理学都要在这样的过程中才能够获得发展。对于这些问题，在讨论了更多的数学和物理学的实际问题以后，也许就可以更加看得清楚了

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