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 宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com） 2007.11
《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》
第三章 物理学与逻辑学
3.1.1
作为数学原初逻辑前提的点和线的概念
19世纪数学分析把实数空间作为整个数学的基础，而实数空间的概念来自两千六百多年前的毕达哥拉斯的有理数的概念，而这个有理数的概念则来自几何学。这种几何学正是人们对于物理空间的观察的直接的感性材料。空间的理念来自物理实在，数字和数字运算的概念来自更抽象的关于数学的“纯粹理性”。数理逻辑的任务就是把这样的两种理念结合在一起，当然是在某种有限论域下结合在一起。当然这种结合也是“暂时”的，即是有限论域的。超出了有限论域，又会分离；而分离以后还要在新的有限论域下结合在一起。这就是自然科学，也是人类思维发展的基本过程——有限论域的不断扩大过程。
空间和数字的结合过程，也就是把物理实在中的感性材料抽象成与任何具体的物质存在无关的“数字”的意思。这里也要从最简单的原初理念开始：即先讨论数字和线的关系。注意，讨论这种关系实际上就是讨论逻辑界定的过程，而不是逻辑推理或数学运算的过程。所谓逻辑界定大概就是把那种理念说清楚到人人都能够感受到的那种程度。这里我们像牛顿所假定的那样，先不讨论空间中如何画直线的问题，而是认为画直线是几何学中已经解决了的问题。实际上我们认为在给出实数空间的概念中，如何画直线和画的是不是直线并不重要，重要的是欧几里德给出的下面两点：
(1)直线是用均匀的点排列成的线，(2)可以用一条直线把两个任意的点连接起来。这也就是说，在把线和点这样的几何概念与数字这个纯粹理性的数学概念联系起来的时候，先不去考虑“线”的形状，因为考虑了线的形状，就不是原初的了，而是已经引入了一个比数字复杂得多理念了，我们只承认“数字”是一个原初理念，也就是说对于数字，人们不能再说出比数字更明白的内容了，人不能解释数字，只能“感受”数字。现在把点界定为数字，把一种从物理实在中获得的，即在土地测量中获得的物理概念与数字这个理念连线在一起了：点就代表数字。数字就是客观世界的“点”在我们思维中的“映像”。
“线”就是“按规则排列”的“点”，这样可以把直线的概念先去掉，代之以“按规则排列”的“点”那种抽象的概念。这就是逻辑界定的特点，不要和我们已经熟悉的但是又不是从“纯粹理念”中来的感性的观念纠缠在一起。就想象我们都是还没有任何感性观念的婴儿，先教会他数数字，然后让他们建立起数字与实在的事物的联系那样，一步一步的来增加知识的过程。所以下面就是讨论“按规律排列”的意思。这种“按规律排列”，我们在从数字到运算的过程中已经讨论过了。实际上前面实数空间的讨论过程，也就是几何与数学的逻辑前提相结合的过程。这些过程就不必重复了。也就是说，前面是数字空间中所有说不明白的问题，只有在与几何空间相联系的过程中才能说清楚。这就是“纯粹理性”的理念还是要从它的“外在”
(或异化)中获得的观念返回以后，才能够向前发展。数字是纯粹理念，一块小石子是它的“异化”，毕达哥拉斯用小石子当作数字，不仅得到了四则运算的规律外，还建立了有理数的概念，得到了毕达哥拉斯定律。这些从异化中得到的感性知识，还要回到“纯粹理性”，回到数学体系中，接受检验，经受一次否定：他的有理数的理念和他的毕达哥拉斯定理是逻辑相悖的。而以后
19世纪的数学家在有理数和无理数互相填满的概念基础上建立了实数空间，实际上这又是在逻辑悖论的运算下获得的理念。所以，又要否定它，并用逻辑界定的理念来代替逻辑悖论下的演算所得到的理念。
现在我们可以把几何中所反映的物理实在与上一章中数字和数字运算联系在一起，更加清楚关于数字和数字的四则运算的理念都是物理实在中返回到思维的“公理”，我们不能对它说出比线段的分隔、均匀分割，线段的移动和比较等等，哪些人人可以感受到的公理更多的东西。而把这样一些可以感受到那些性质的线称为由“按规则排列的点所组成的线”。而先不去考虑直线或是圆上的弧线。因为在实数空间的理念上，只要所有弧段与半径相比是非常小的——像一张纸和地球半径相比那样，在数字和四则运算的性质上，直线和弧线是没有区别的。如：
(1)在这样的线中取一段，称为线段。同一条线中的两条线段，放在一起只要有两点是重合的那么线段中其它所有的点也都重合在一起。这是关于两个线段相等、大于和小于的概念的基础，从这里也就可以建立数字运算的基础；
(2)任意两点之间可以用一条线连接起来，这就是说任意两点之间还可以再按照同样的均匀性的规则，划分出均匀的点。数学的逻辑中把数字的概念从物理内容中给分离出来了，所以它不需要考虑空间的三维性，不需要考虑“面”和“体”，只要有更抽象的线的概念就可以了。
关于实数空间的概念，从逻辑上说，那是不可能从点和线的逻辑前提上建立起来的。因为在点和线的概念上是建立不起来两个相邻点的确定关系的。而实数空间主要是要确定两个相邻点的确定关系。所以必须作逻辑前提的扩展，这个新的逻辑前提就是极限的概念。实数空间的概念实际上就是线的概念，它是由点和相邻的点与点之间的确定的联系构筑起来的理念体系。这种点与点之间的确定的联系必须建立在极限的概念上，而不能建立在经典数学的填满的概念上。当然经典数学中从填满获得了实数空间的概念后，又回到了极限的概念。在实数空间的极限理念上，我们实际上是先产生并接受数学上的理念，而不容易得到物理上的相应的理念。因为很容易对于两个点之间的那种分割给出一个明确性的条件。所以无限小的极限概念来自逻辑界定，而不能来自数学运算，如果要从数学运算来产生整条线上都有明确性理念的实数空间，那就必然需要暂时地借用逻辑悖论作为前提性的公设。从逻辑悖论开始的数学运算，虽也能得到某种有限论域下的数学体系，甚至我们也可以把它称为逻辑体系。因为人类对于物质结构的物理知识的获得实际上比数学上的关于点和线的逻辑关系更困难。当人们相信物理是由相同的原子组成的，这些相同的原子因此可以没有空隙地拍成一条线，这正是毕达哥拉斯时代人类对于物质的认识。所以从这个意义上毕达哥拉斯的有理数理念就是那个时代的物理上的公理，但是人们却从数学上否定了这样的理念。数学和物理的逻辑前提就是这样相互“否定”，并一起向前发展。
但是出现逻辑悖论的地方，总是这一体系中最薄弱的环节，只要分析稍稍往前推进以下，就又会出现新的逻辑悖论。为什么关于有理数的逻辑悖论会持续那么长的时间，在数学界也没有人发现它的逻辑悖论的性质，并把他改进。究其主要原因，还是自然科学实践的发展还没有进入对于线的合理的逻辑模型的阶段。也就是说直到现在我们在物理上对于线的模型还是比纯粹理性的模型更糊涂。现在从数学上匡正实数空间的逻辑理念，也是为发展物理学中物质模型的理念做准备的。
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