《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.3.4 数学逻辑与数理逻辑

关于无穷大的极限概念不仅在数学上，而且在工程和应用物理上已经获得了广泛的应用，也已经初步建立起一整套数学运算的方法，但是这些数学运算尽管有些也与现代数学体系有联系，但是总的说来，还没有形成一个合理的逻辑理念，它在逻辑上存在的问题比与无穷小的逻辑理念相联系的现代数学分析理论体系要多得多。也许要真正实现对无穷大的逻辑界定，建立逻辑前提和逻辑体系，还需要在对于数学逻辑、数理逻辑与一般的逻辑学的关系上有一个比较明确的认识，对于这些领域的基本问题有一个合理的认识。这样才有利于建立无穷大的理念，并使它与数学逻辑体系和数理逻辑体系建立起合理的关系。所以我们把无限大的逻辑问题放在以后再具体讨论，

这里再讨论一下有关数理逻辑的问题，特别是数学与自然科学的关系问题。近来，关于数学不属于自然科学的观点似乎已经成了主流科学家们的认同了的观点。但是不管怎么权威的认定都改变不了这样的一个事实：数学与自然科学是不可分割地联系在一起的，它主要是研究世界观的，也就是说是用来研究怎样来正确地描述自然界的。当然它也可以应用于人文科学，正像所有的自然科学都可以应用于人文和社会科学一样。但是反过来是不成立的，即人文科学是不会促使数学发展的，正像它也不会促使自然科学的发展一样。我们这里说人文科学不会促使数学和自然科学发展是指在逻辑思维的理念上人文科学不会产生自然科学发展的理念，数学的理念只能从自然科学中获取，而不可能从人文科学中获取。人文或社会科学不会产生逻辑思维上的公理。“公理”，那种既有明确性又有稳定的可靠性，而且是人人都能够感受到的理念，只能来自自然界。当然这不是说人文科学与自然科学的发展没有关系，在这个关系上不是人文科学可以指导或促使自然科学的发展，而是人文科学对于自然科学的介入，不论哪种人文的理念要去指导人类思维的发展，最后总是起着阻碍和影响自然科学的发展的作用。一种最好的人文科学就是“效法天理”的人文科学，但是效法天理实际上是做不到的，因为只有人类的自然科学的整个历史发展过程才是不断地接近“天理”的过程。所以每当人文科学以指导者的姿态介入自然科学的时候，总是一种僵化的思维逻辑体系障碍人类思维和自然科学发展的时候。

把数学与自然科学分离的倾向同样会对数学和自然科学的发展产生坏的作用。从本质上说，数学是属于人类理性的范畴，在数理逻辑中主要起逻辑演绎的作用，也就是欧几里得几何学中的关于演绎的公理体系。而数理逻辑中的逻辑前提以及数学体系都来自物理实在。但是数学的发展又使这个逻辑演绎的公理体系，本身就变成了一个越来越丰富的复杂的体系，这当然是好事。这是数学与物理学分离所促使的数学的发展。另一方面数学与物理学的分离，对物理学的要求也越来越苛刻了。首先，它要求物理学的逻辑前提必须是一个数学体系中的数字，除了数字意外，不允许再带进去任意的物理学的内容，这些数实际上就是那个数学体系的所有的自变量，或逻辑上称的形式体系。这些数的性质都要从物理学提供的物学体系中自动的体现出来。这个数学体系也有严格的要求，那就是应该是数学逻辑体系中自洽的体系，即能够得到数学自洽解的体系。这实际上就是数学对物理学的一次否定，很多从物理实验中综合、分析得到的数学体系如果不满足数学的逻辑自洽条件，实际上是不能成为自洽的数理逻辑体系的。但是我们必须辩证地看待这个否定，这是逻辑意义上的否定是为了促进发展的否定，否定的结果不是把那个物理问题的数学体系简单地废弃掉；而是可以反过来通过对数学体系的否定，来使物理学体系达到能够求解的目的，实际上每一次否定和再否定，就是对物理和数学发展的促进，是使数学与物理学越来越接近，逐步走向自洽的过程。

在数理逻辑中，没有数字那样明确性的可以定量分析的玄思式的哲学概念或只具有推理性的逻辑概念，都是无法进入数理逻辑体系的。量子力学就是一个例子，量子力学提出了不少带有推理性的逻辑理念，这些理念对于当时自然科学的发展起过很大的作用，但是随着科学的发展，当应用物理学家试图用这样的理念去建立真正描述物质世界的数学体系的时候，就发生了不可逾越的困难。 20世纪的应用物理或高技术领域的发展，量子力学的理念起到了很大的作用，但是没有一个技术科学领域能够真正用量子力学的理念建立起一个逻辑自洽的数学体系。当有些科学家试图摆脱自洽的数理逻辑体系，用玄思式的或推理式的理念去解释物理世界的图景并用此创立一种新的技术科学的时候，它们注定会以失败而告终的，这就是某些现代物理学家所提出的量子关联理论和正在进行的所谓量子信息理论和通信的工作。大量的应用物理学家在量子力学理念的指导下，取得了很大的成功，就是在对于数学和物理学的否定和再否定的过程中，使得物理理念和数学方法在某些有限论域内取得自洽的过程中所得到的。但是这种自洽性是通过两次相互补偿的近似来实现的，这两次补偿之间没有逻辑的联系，所以不会成为能够指导物理学发展的普遍理论。那些没有逻辑自洽性，歪曲物理世界图景的现代物理学理论，总有一天会从整个自然科学发展的历史体系中剔除出去，像盖天说和地心说一样。

数学自身有逻辑前提，这就是数字和运算以及这种数字和运算的公理化体系。随着数学的发展内容变得越来越丰富和复杂，其中会出现不少逻辑悖论，严格说来数学的逻辑悖论不仅包括数学体系自身的逻辑前提与演绎结果间的逻辑悖论，同样应该包含数学演绎结果与物理学的逻辑前提间的逻辑悖论。但是数学自身的发展一般说来并不僵化地考虑物理学的逻辑前提所产生的逻辑悖论，但是必须保持数学自身的逻辑自洽。因为数学与物理学的矛盾不是数学单方面的事，也可能是物理学的逻辑前提或数学体系不当的原因。这样就为数学和物理学的发展各自提供了较大的空间。但是已经应用到物理体系的数学必须保持与物理学的逻辑体系之间的自洽性，这也许应该主要是理论物理学家的职责范围，现在理论物理学家过分依赖没有逻辑自洽性的“物理数学”，实在不是一个好的倾向。而总是找不到与物理实在相联系的数学同样也无论如何不能称为好的重要的数学，还是应该从逻辑体系中去寻找问题以获得数学的真正的发展。

物理学与数学的分离在形式上是数学家可以先不去管物理学的逻辑前提，而物理学家可以先不去管数学演绎的逻辑自洽性，各自获得较大的发展空间。但是最终物理学的逻辑前提与数学的逻辑前提还是应该而且能够相互自洽的。我们对于 19世纪实数空间和相应的数学分析的讨论就说明了这一点。现在对于波，以及与此相联系的物理上的时间的逻辑理念和数学上的无限大的逻辑理念都还在探索中。但是复数和复数空间；波动方程的数学理论和与此相联系的广义函数理论都获得了很好的发展，在这些数学理论中还没有形成完整的逻辑体系，当然可以找出各种逻辑悖论，但是那些数学正是建立新的物理世界的数理逻辑的基础。

从我现在的认识，看不到现代分析中的几何学有物理实在性。也就是说数学中的数与形，我看不到“形”有严格的逻辑基础。或者说我们认为物理实在中的“形”都是在三维空间的，而三维空间中的“形”都是可以用数字和数字的逻辑来表示的。现代分析中的公理体系，即对于数学推理的明确性的逻辑体系 (公理化体系) ，和n维空间中的代数学，都已经成为信息时代的不可缺少的数学基础。这里我只强调这样的认识是我们所处的信息时代的认识论的特点，也只是一个有限论域。我仅仅是把它作为我们时代的一个认识特点。信息时代就是数字的时代，数字和数字逻辑可以描述一切！独立的“形”的理念找不到物理实在的依据。但是，许多认知科学家都提出人类的认知特点是对于“形”的直观的识别能力，我也相信人不一定是通过对于数字和数字逻辑的处理来识别“形”的。所以，我认为任何我现在还不理解的，数学上能够保持自洽性的数学体系，包括抽象的“形”的数学理念，都会依照数学自身的规律，发展，保持存在的状态，抑或萎缩到消亡。人类永远不会到达，也不会接近到达，像霍金所说的认识大自然规律的终点！