《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.3.3 关于无限问题的数学逻辑

我们前面说过关于数学的逻辑实际上就是人类思维的能力中的推理的明确性和合理性的体现。所以逻辑数学的主要任务就是寻找具有明确性的概念把它作为数学的逻辑前提。数学的明确性的概念都来源于关于数字的原初概念，但是人类不断地在这一原初概念的基础上加上一些新的具有明确性的约束，来丰富数学的理念。数学在完成了分离的数字的逻辑体系之后，就必然要进入把分离的数字联系在一起的“数字流”的性质的研究。数字流是牛顿所提出的语言，从字面上比“数字空间”要确切得多，但是只要我们把“数字空间”赋予牛顿的“数字流”同样的意思，就不必去改动名词了。人类思维的发展都是靠理解而不是靠改名来实现的。 数字流也好实数空间也好，其目的就是建立无限的概念，通过无限的概念把离散的数字的概念扩充到数字间相互有明确联系的数字空间的概念。 所以如何把关于无限的概念明确化，或者说把无限的概念公理化，不是靠数学演绎来解决而是必须从逻辑界定来获得的。

关于无限的概念实际上应该有两部分：一是向无限小方向的发展，它基本上已经由牛顿所解决了，二是关于无限大的概念，这是现在还没有明确解决的数学中的逻辑理念。它比无限小的概念要复杂的多。

无限小的概念实际上只是承认作为思维基础的数字是可以无限均匀分割的，而且给这样的无限分割一种明确化的界定。在这一点上 19世纪的数学家已经做了很多工作，形成了一个完整的数学体系。我们现在的工作只是把它完善：用逻辑界定来代替数学演绎，即实数空间是一种数学的理念，或者说是一种逻辑前提，它是通过对于无限小的极限理念的逻辑界定的基础上得到的一个比离散的数字内容更加丰富的新的理念，而不是由无理数、有理数、数字集合的分划等逻辑悖论的演绎出来的定理。 实数空间的理念比离散的有理数空间的理念更加丰富的内容在于，在实数空间中两个相邻的实数之间的关系是明确的关系，即它一定比任意给定的 还要小。而有理数只告诉我们两个数之间可以任意地均匀地进行分割，而对于这种分割没有给出一个明确的规定：我们既不可能无限制的分割下去，又没有一个有明确性的规定分割到什么时候才能把它确定下来。 我们称为逻辑悖论的经典数学中的实数空间，是因为用了“填满”这样不合理的概念。但是用实际的数学发展中，实数空间理念依然是是有用的，把四则运算的公理从离散的数扩展到连续的实数空间依然是数学发展的基础。极限理念下的实数空间可以适用四则运算，这就是经典数学的公理化中真正有用的东西。可以证明凡是 19世纪数学家所得到的有用的东西，我们现在实际上都可以得到。有些19世纪数学家的数学体系中必须以逻辑悖论的形式出现的问题，用逻辑界定的理念同样可以解决，这些将在以后讨论现代数学的逻辑悖论时再加以讨论。

关于无限大的逻辑界定是现代科学上的一个主要问题，因为电磁波在空间是连续分布的，要准确描述这种空间连续的物质存在形式，必须解决与无限大域内的函数 (或函数的积分)相联系的逻辑问题，即必须给它以一个明确性的逻辑界定。但是关于无限大问题的逻辑界定现在数学上还没有形成一个系统的理论体系。这个问题之所以重要，因为它是发展现代物理道路上的一个主要障碍。而无限大的数学理念，在物理实在上又与时间的逻辑界定以及电磁场理论的数学体系有关。只是现在还缺乏讨论这一问题的基础，所以我们只能在以后再逐步展开讨论。我们重视无限大的数学理念，因为它是与物质世界中现在还没有充分被人们认识的物质世界的存在和运动形式联系在一起的。现代物理学中那些像“蝴蝶效应”、“宇宙膨胀”等等“理论”都与缺少对于无限大的严格的数学逻辑有关。所以关于数学上无限大的逻辑界定，也许将改变现代物理学的整个逻辑体系和数学方法 ^[15]。