宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com）　2007.11

《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.3.2 从幂运算到复数与复数运算和复数空间

实数空间仅仅只是对于四则运算建立公理化的体系，对于幂运算两者是不自洽的，这一点是显而易见的，所以 19世纪末逻辑学家提出一些逻辑悖论是很自然的事。就像当年希伯斯提出的毕达哥拉斯的逻辑悖论一样，每一个逻辑悖论的出现到解决都是人类对于数字认识的一次大发展，就是关于数字与运算关系的认识的一种大发展。希伯斯当年发现的仅仅是除法运算所形成的数字形式 (分数)是无法表达开方运算的。毕达哥拉斯的有理数的概念就成了一个逻辑悖论。我们说它是逻辑悖论，最基本的意思就是它没有给予人们一种明确性的概念：用分数来表示越来越稠密的小数缺乏明确性：他到底怎样变得越来越小，这种越来越小到底有没有确定的性质等等。 19世纪的经典数学家，从不明确的概念出发，用了很多同样不明确方法去补充它，在逻辑悖论的大循环中“完成了”实数空间的理论。我们说的那些同样不明确的方法，就是指所谓的确界存在定理、套区间定理等。有理数不管怎么分割都不存在确界，而用填充一个 的办法来产生确界，同样是一个不明确的方法。一方面你不能找出所有的有理数的“空隙”来，另一方面更不能确定这个“空隙”的特性，如空隙的大小。这样一些问题实际上不是用另一种称为“无理数”的数，来填充毕达哥拉斯的有理数的“空隙”，来完成的。把三个没有明确性的东西合在一起怎么能够产生明确性的概念呢？后面的一大堆“稠密性”、“套区间”、“紧性”、“连通性”都是这样的为了弥补关于“空隙”这个不确定性的逻辑悖论所作的同样是逻辑相悖 (或是没有明确性)的方法，这种没有明确性就是指所有与有理数空间联系在一起的“数集”本身都没有明确性。有理数的稠密性没有明确性，因为没有给出怎样在两个有理数之间加入另一个有理数的规则， 对于有理数的集合来说也是没有明确性的；我们不能在一个有理数和 之间插入一个新的有理数，所以把有理数分划后，成了两个数集就更失去了插入新的有理数的明确性的规则。所以怎样加密有理数：是先分划了再加密，还是先加密了再分划，这是永远说不清楚的问题。先分划了，成了两个数集就失去了加密的依据；先加密了再分划，加密到那步算是个到了底，实际上加密是没有底的。当然我们应该理解先人的工作：“失败是成功之母”，人类总是在曲折中前进。人类思维的每一步前进，都包含着这样的逻辑悖论；所以，有时候我们也不得不把逻辑悖论的产生看作人类思维发展的一个自然的过程。我们要吸取那些从逻辑悖论中走出来的路中所可能蕴藏的合理的结果，这种“合理”的结果实际上是数学发展所希望有的那种东西：那就是希望有一个“连续数集”的概念，但是他们的工作又不可能达到那样的结果。他们用他们的复杂到令一般人难以搞得明白的杂乱无章的方法建立起了一个“数学迷宫”。但是从这个迷宫也确实出来了一个“连续数集”那样的可用的概念，这一点还是好的；不好的是在这个迷宫的转悠中你会整个的迷乱了关于逻辑的心；而且这个迷宫的出口是多的，转向了背离逻辑的门，你就会在那里转一辈子了。转一辈子能够使自己成了权威、名家，对自己也许是划得来的，但是对人类和社会来说却划不来。即使对自己，也常常总会有陈省身先生切身所说的那种感觉，“讲一大半自己也搞不明白的东西的那种感觉是非常奇特的”。我相信陈先生的心是真诚的。现在是打破这个迷宫的时候了，我始终相信逻辑的路是容易明白的，它是人人都可以感受到的。数学，特别是对于必须应用它而又没有能力去研究它的人来说，既是一座宝库，又像是一推垃圾。逻辑的力量能够把它开垦成一片良田和沃土。我们希望能够得到数学工作者的理解和响应，数学发展依靠的是逻辑的根系、需要的是人类实践的支撑。一旦离开了这些，数学就会成为少数人游戏和寻宝的场所。这样的数学不仅不会成为世界观的科学，反而会成为巫术滋生的土壤。

与幂运算相联系的一个更为复杂的运算和由此产生的数学上的更为复杂的问题就是负自然数的开方运算的问题。当 i仅仅用来表示 这样一种符号的时候，我们实在说不出它有什么实在的内容和意义。以后又与解高次代数方程联系在一起，在高次代数方程的根中出现了带有 i的复数的形式。人们长时间里说不清楚复数有什么“实在”的内容。所以把i称为虚数的一种符号，并不能说明它与物理实在有什么样的逻辑联系。但是它既然是从数学运算中产生的，这种数学运算一定意义上说是数学逻辑本身的产物。而数学这种特殊的逻辑体系中除了数字和运算看起来似乎再也没有其它内容了，但是它又确实是一个严格的逻辑体系。除了数字 (正整数)的性质以及由数字的性质所产生的原始的运算概念外，其他的运算和数字性质的发展都是按严格的明确性的要求所进行的。在一定的条件下，数学脱离物理实在的束缚以自身的规律先前发展是有必要的，关于复数、复数运算和复数空间的概念就是很好的说明。在很长的历史时期里，甚至直到现在我们还是无法完全搞清楚关于复数的数学逻辑体系与物理实在之间的确实的逻辑关系。但是关于复数空间的理论还是在数学逻辑的体系下发展起来了。首先是把实数空间的四则运算的公理化的规则用于复数，建立了关于复数的简单的四则运算。这是复数运算与戴德金的分划和爱因斯坦的“相对论运算”所不同的地方，在复数及复数运算体系中数学逻辑是严谨的，没有逻辑悖论；而戴德金的分划中存在大量的逻辑悖论，而爱因斯坦的“相对论运算”只是靠“直觉”和“顿悟”的假设，没有任何数学的逻辑可言。这就是物理学家，不管他曾经被神化到何等的程度，他们的“物理数学”永远不可能进入数学的领域。非欧空间是一种数学，尽管从物理学来说没有用处，相对论和量子力学尽管对物理学的发展有很大的贡献，他们的“物理数学”永远进步了数学的大门。这就是数学与物理学之间的微妙的关系。

复数空间开始就是纯粹的数学，因为它可以建立类似实数的完全自洽的四则运算，但是要对复数进行更加复杂些的运算就产生了困难。在实数空间下，已经可以把一些比幂运算更复杂的各种运算，通过对运算的某些约束基本上都可以纳入四则运算的公理化的体系，但是对于复数空间这个困难就更大了。最根本的问题还是人们没有 i这个符号与物理实在的联系。是欧拉方程给予了i 和复数以一种全新的数学逻辑内涵，当然这种数学内容之所以能够以极大的生命力向前发展，是由于这种数学逻辑与物理实在之间找到了密切的联系。实际上在欧拉的数学体系里，人们已经对于 i与 之间的关系，没有什么兴趣了，它只是复数出现的一个历史原因而已。当然正是这个历史原因，使得整个复数的理论与数学的基本 (或原初)的逻辑体系保持自洽的关系。而除了四则运算以外，复数与实数空间在更广泛的逻辑体系的理念上，就不可能再保持共同的逻辑体系了，复数空间成了一个独立于实数空间的数理逻辑体系。

当杨本洛过分强调数学逻辑的物理实在性的时候，我就想到数学中的两个大的领域：复数空间和 n维矢量函数空间。它们同样是以纯数学理念独立于物理实在而发展起来的。复数空间在数学上没有很多人研究，是一个数学理论上的空缺，但是在发展物理世界的逻辑体系中已经变得越来越重要了，已经成了建立自然科学新逻辑体系的数学上的一个薄弱环节；而高维空间 (实际上是所有非三维的矢量函数空间)的数学发展得那么兴旺，却离开物理实在越来越远。在 n维空间的分析中，三维矢量空间的数学理论是那么薄弱，而它正是发展物理学的新的数理逻辑体系中所不可缺少的。而高维空间上的微分流型发展得那么兴旺，现在却找不到与物理实在的联系。这些都使我非常迷惑，到底应该如何评价现代数学的发展：复数理论的发展，说明不应过分强调数学与物理学的联系，而应保持数学的独立发展，一种原先没有物理实在内容的数学形式，现在竟成了数理逻辑中的最重要的问题。而高维空间上几何学的发展正好相反，由于高维空间的旋转性质没有实在性，必须靠人为约定来保持它的明确性，而空间矢量的旋转性质正是物理学中最重要的一个内容。所以研究高维空间的矢量的人为约定的旋转性和由此产生的为分流型等等，搞得越来越复杂，却除了妨碍得三维矢量函数空间的深入研究外，并没有得到任何实际应用的东西。保持与物理实在的联系是数学发展的灵魂，在这个问题上我还是坚持康德和黑格尔的哲学观：既要坚持逻辑理念的自身发展，但是又要强调逻辑理念自身的发展是走不远的，没有自然科学理论返回的理念，凭着数学自身理念的扩展不会产生多少新东西。数学自然会保持独立的发展，这一点我们既不必为此担心，物理学家不可能改变数学发展的方向，但是那些没有物理实在的数学发展的太远了，没有物理实在中返回的理念的加入，会自然的萎缩的。

要正确理解复数和复数空间的问题，归根结底还是要理解数学的逻辑问题。当然要讨论复数空间的数学逻辑问题比前面讨论实数空间中的问题要困难得多。首先实数空间问题上，数学家已经用逻辑悖论编织起了一个看起来很周密的网，而这个网的起头是悬空的，只要从有理数这个逻辑悖论的头一拉，整个网也就散了。而留下来的东西原来是一个无限小的逻辑界定问题。这个问题从物理实在是比较容易理解的，在物理实在上所谓零与无限小是相通的，没有什么绝对的零：古时候的房子，雨漏得透，虫爬得进，我们说它是不密封的；也就是说到处都有“空隙”；到现代的楼房，风吹不进，雨淋不进，我们就可以说它没有“空隙”了，但是汽车的声音，酷暑和严寒都能够把热量带进和带出，还是有“空隙”；再好的封闭实验室，连电磁波也进不来了，但是重力场还是可以透墙而入。所以从一条完全没有间断的线，一堵完全没有空隙的面等入手来建立空间的思维规则，从 20世纪以前的人看起来很自然，很容易明白，但是从现代科学发展的观点，实际上并不合理，而从极限概念基础上的连续性才是真正合理的思维逻辑。数学逻辑是这样，自然界的“公理”也是那样，在无限小的逻辑上现在已经比较容易理解了。

在复数问题上，数学家们做了很多工作，当然最基础性的工作是由欧拉所完成的，更多的与现代数学和物理学相联系的工作是由盖尔方特等所完成的 ^[13]，但是这些工作还没有像19世纪建立的实数空间那样的形成一套完整的体系，在物理上却非常实用。这正是数学逻辑上所应该讨论的最重要的问题，也是与自然哲学的逻辑紧密联系的问题。由于它没有形成一套像希尔伯特开始，由几代数学家努力所做出来的那样系统。物理学中要用它还非常困难，只有闽可夫斯基作了一些不系统的工作，以后就向相对论时空发展了，加进来了一个既不是物理的也不是数学理念的常数 c，越搞越混乱了。

这里我又要强调数学独立的系统的发展是多么的重要，希尔伯特的现代数学尽管里面有很多没有逻辑的东西，或没有用处的东西，但是它的用处真是大呀，有了它物理学就有了一个数学推理上可以放心应用的工具，而在复数空间中则还没有，要解决与电磁波相联系数学罗问题，真是举步维艰。它的问题的根源仍是逻辑的问题。从数学上来说是关于无限大的逻辑问题，而无限大的逻辑的物理实在就是时间的逻辑理念问题。这也就是我在前面所说，建立代替牛顿物理逻辑体系的数理逻辑体系，不是一代、两代人所能够完成的，更不是我那样一个退休老人所能够承担得了的，但是国家要振兴，我们必须开始做起来。只有这样才有可能真正在思维的自由王国中，发展自然科学基础理论的研究，这也是带动逻辑学、哲学和我们整个民族的整体思维能力发展的道路。

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