《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.3.1 幂运算与实数空间理论

我们还是从幂运算谈起，幂运算好像是从初等的四则运算通向分析数学的运算方法的一座桥梁。四则运算以加法和乘法为正运算，在那里三个参与运算的数中，有两个性质是完全一致的：加数和被加数、乘数和被乘数之间没有任何数字性质上的差别，交换他们之间的位置不产生新的运算概念。减法和除法只是它们的逆运算，因而改变它们的位置也不产生新的算法。正是因为四则运算的这一性质，使得数学家可以用简单的数学语言的来建立起这些运算的“公理化”形式。我们说它简单丝毫也不是说它的性质不重要，人类的思维正是从那些简单的明确的概念逐步组织起来的。把握住这些基本的概念对于把握科学发展的方向是何等的重要。公理化体系的建立的目的，就是想把对于简朴事物的那些明确而完善的理念，抽象成有普遍意义的纯数学的形式，从而把它移植到一个复杂得多的体系中去，既要扩大它的应用范围又要保持逻辑自洽性，这里所谓逻辑的自洽性就是要保持这一扩展过程的明确性，使它与已经得到确认的那些原初理念的保持逻辑自洽的关系。这种把数学的发展也像物理学那样分解成逻辑前提的扩展和演绎方法的扩展，也许只是一种尝试，我们希望通过这一尝试来探索数学、物理学与逻辑学的共同发展的道路。

用简单的除法运算和分数的形式是无法表达极限概念的，而分母用幂运算表示的分数却可以得到对于无理数的极限。这是因为在分母用幂函数表示的序列中，分子也有一个简单的用同一正整数数列表示的序列形式；而单纯的用两个自然数除法的分数形式中，分子和分母的两个自然数 q和p 之间没有相互联系，无法找到相互间的约束关系，所以得不到明确的表达式的。其实除法就产生了无限小的概念，但是仅有无限小的概念而没有趋向无限小的过程，这个概念还是不明确的。或者说只有一种数字流的形式，分子和分母都以同样的方式趋于无限，就无法对各种复杂的问题进行有效的比较，或者说比较的结果只能是一个常数。而常数在数学中只表示一种比例尺度的改变，不会给出一种各种不同的而又明确的约束性质。所以就得不到关于极限的确定性的概念。引入一个新的运算，来比较两个“数字流”趋向无限小的速率，并得到了确定的结果，我们才能认为我们对无限的概念有了一个明确的了解。这也就是使 19世纪数学家们认为求极限时所没有着落的常数有了着落，这就是幂运算在这里的作用。

数学与物理学的关系确实是很复杂的。在物理上牛顿认为时间就是永不停息的均匀流逝的，它自然具有实数空间的所有性质，所以在求瞬时速度时，无须任何假定， 总是可以取无限小的数。他的函数的极限和微分的概念就这样建立起来了。到19世纪建立实数空间之间两百多年前，从未因为没有实数空间理论而使微积分的应用产生过任何困难。但是这并不是说从数学上实数空间的理论是没有必要的，在以后更复杂的物理问题的描述中，实数空间的概念确实不仅是数学理论发展的基础，也是物理学理论发展的基础。我们指出 19世纪数学家们的问题并不是他们建立了实数空间的逻辑概念，只是，我们认为不必从“填充”的方式去建立实数空间理论。但是话又说回来在当时的历史条件下，人们没有更好的方法，用把无理数填充到有理数的方法建立了实数空间，总也是对数学的发展有好处的。虽然他们所用方法从现在我们所具有的思维能力应该能够看到，那是逻辑悖论的方法。我们只是用逻辑前提界定的方法代替逻辑悖论下的数学演绎的方法，把问题搞得简单明了。其实并没有改变建立实数空间这一目标，只是用了简明的方法，这一简明方法能够得到 19世纪科学家所得到的所有在以后发展数学中有用的方法，而可以避免新的逻辑悖论的产生。

公理化体系是建立在四则运算上的公理化，由于四则运算是一切运算的基础，所以经典数学的公理化体系是数学的一个逻辑的发展阶段。就像牛顿物理体系是物理学的一个逻辑的发展阶段，我们不应该否定它，而应该发展它。四则运算是运算的基础就如同数字和加法运算是整个人类思维的基础一样，离开了它是不行的，但是光懂得它，最多只能算是达到小学生的程度，现在先进的国家都普及高中的教育了。但是没有小学的基础，或者把小学学过的东西完全给否定了，以后的知识在哪里立足呢？但是到了高中，甚至达到现代数学家的水平，其实对于数字和加法实际上也说不出比小学生更多的道理来。这就是人人能够感受到的公理的特点。所以，公理化集合的基础就是要把整个数学体系建立在四则运算的公理的基础上。但是数学体系是复杂的，那里必然有各种极其复杂的运算方法，不是数学体系中的每一个函数形式都能够通过四则运算的方法可以直接得到的，希尔伯特的工作就是建立一种抽象的数学体系，在这个体系中设法寻找某个特殊的元素，对它的运算时可以通过四则运算来表达。这就是说在希尔伯特空间中必须定义一个“范数”的原因，那个称为“范数”的数字集合是满足四则运算的规则的，当然这个四则运算的形式要比正整数的四则运算要“抽象”一些——实际上是从几何学上以线来表示的数的运算中抽象出来的。只有能够找到“范数”的“元素集合”才能称为 H空间。希尔伯特的空间分析或空间的映射，都是对H空间的， H空间以外的集合，也就是他一开始所说的桌子、板凳、啤酒瓶的集合，在定义了赋范空间以后就被排除了。所以并没有对他的数学逻辑自洽体系的建立产生影响。当然现代数学家还在扩大“范数”的概念的范围，但是也都需要以一种数学逻辑把它们维系在一起，并没有直接把具体的物质世界的东西进入到数学空间的例子。但是不管怎么说，把桌子、板凳、啤酒瓶作为数学元素的说法不是一种好的说法，因为在数学中连时间、空间那样的抽象的物理概念都要分离出去，剩下的只是与数字相联系的概念，当然不可能容纳桌子、板凳、啤酒瓶，那样的元素。但只要这并不涉及分析的实质，也就不会影响希尔拜特的现代分析数学的价值。当然我们也不是说， H空间中的运算就有了完全的逻辑自洽性，那也不一定，但是H空间内的运算一般都有演绎的明确性。当然逻辑的自洽性还要看逻辑前提的公理性，这就是为什么现在一个博士生都可以计算出一大堆图标来，只需通过假定使它的数学体系有 H空间内映射的性质，现成的计算机软件就会帮他得到他需要的形式。而这些图标是不是真的物理结果，就要看他的假设是否具有公理性，这就要麻烦得多了，一般在字面上，它是不会让你看出来的。

幂运算对于四则运算来说，是一个数学发展上的新阶段，从幂函数为分母的分数，得到了数轴上任何一个有明确数学表达的函数的极限，这样就产生了连续的数的空间。但是这种连续始终是极限意义上的连续。那种把数字把数轴“填满”，填得完全没有了空隙，像毕达哥拉斯所想象那样的僵化的挤满了点的线，在物理学上，同样也在人类的思维上是不能接受的。但是我们还是接受了“连续”这个词，虽然从形象上“连续”这个词更像毕达哥拉斯和 19世纪数学家所描述的那种填满的关系，但是我们可以接受这个词而给它以极限概念上的连续。必竟接受了一个连续数集的概念，对于数学的发展提供了极大的便利。它给数学研究提供了一个越来越广阔的领域。

有了幂函数以后，在一个运算中既可以有连续的数，又可以有离散的自然数；由于被运算的数，参与运算的数和运算结果的数，三者在运算过程中的性质都不相同，所以从运算不仅可以产生逆运算，通过变换三个数在运算中的地位，就可以产生出新的运算，这些运算又有逆运算，似乎可以产生出无数的运算形式出来：开方运算、指数运算、对数运算，以及那些运算的各种组合运算。每一种运算就可能产生一种具有不同性质的“数字空间”，所以数学作为一门独立的学科，形成自己的广阔的发展空间是自然的。在这样的发展中，我们不可能要求说得出每一种数学运算和数字空间都与自然界的物质运动规律有确定的联系。因为我们对自然界的规律所知道的同样也是很少的。但是我们总有一种感觉，那就是数学的逻辑自洽性，虽然从形式上只是这些运算与数字空间产生过程中的严格的明确性。 在逻辑体系的自洽性中，数学主要承担者演绎过程的明确性，而逻辑的基本要素，必须包括逻辑前提的公理性和逻辑演绎的明确性。在自然科学中，逻辑前提的公理性主要来自物理学，即必须从对外部世界的观察中获得。所以数学的逻辑与物理学的逻辑之间的关系始终是一个非常重要的值得关心的问题。 虽然我们反对以我们所能够把握的极为有限的物理学的逻辑概念去制约数学的发展；但是我们也搞不清楚，那些始终没有物理实在依据的、特别是不能物理实在中表达的数学，我们这里特别是指关于那些在现实世界中实在找不到对应关系的那些高维空间上的“形”，到底是不是人类思维能力的一种实在的反应。