《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

§ 2.3 关于运算和无穷概念的讨论

数学运算的发展是以四则运算为基础的。我们可以认为数字的四则运算已经达到了“公理化”的程度，它的严格的明确性和合理性是人人都可以感受到的。但是牛顿物理世界的出现使得数字的四则运算已经不够用了：这里最主要的就是关于连续数轴上的实数空间和与此相联系的关于无限的概念。要描述这样的一些与物质运动相联系的概念，必须要求建立一些新的比四则运算复杂得多的数学运算方法以及与这些数学方法相联系的关于数字的新观念。人们期望这些新的数学的发展应该与人类思维的原初能力处于和谐的、逻辑自洽的关系，而不是矛盾的、逻辑自悖的关系。但是这一点正是最难做到的：人们总是要发展的，这种发展又要与人类思维的原初能力的“根”连接在一起——可以更加深刻地理解它、发展它，而没有理由来割断它。人们无法搞清楚形形色色的新的运算方法、数字空间和方程式，到底是人类思维的一种正常的发展，抑或是一种错误的方向。在这种时候在四则运算的基础上建立一个公理化的体系，成为数学发展的一个中间环节，对于数学的发展起到了极为重要的作用，是数学发展的一个历史性阶段的一个标志。当然应该发展它而不是否定它。否定它，否定整个现代数学的体系，对于物理学的发展是不可设想的。但是我们也应该看到它仅仅只是在四则运算范围内的一个公理化的体系，而建立公理化的过程中也常常包含许多混乱的逻辑自悖的内容。我们应该做的是像实数空间的理念那样，剔除掉其中逻辑悖论的内容，使它成为逻辑自洽的体系，而不是简单的否定它。我们知道要否定一个东西很容易，而否定了以后用什么新的体系去代替它就难了。在社会科学上某些时候强调“不破不立”、“先破后立”，这样的观点在自然科学中是不存在的。在自然科学中婴儿总是先在母腹中孕育和成长，到了成熟的时候才能够分娩和逐步成长。我们反对的只是对于已经成长起来的新生逻辑体系采取扼杀，以维护僵化的旧体系的那种力量。

现代数学体系不是没有问题，不是没有逻辑悖论，但是它是有用的东西，在大量的工程和应用物理中常常要用到它。所以，我相信我们永远抹煞不了它在数学，在人类思维发展中的功绩。要说清楚这个问题以前，我们必须进一步把扩大数学逻辑中关于运算和无限的逻辑理念，首先是把“无限”这样一个不明确的概念中界定出具有明确性的关于极限的逻辑理念，并把对于数字的四则运算扩展到“极限”中去，即在“极限”上也建立四则运算的逻辑理念；然后由于极限有比数字更丰富的内涵，我们可以在极限上建立更丰富的运算方法，但是这些运算还是要能够返回到四则运算的原初理念，也就是说，那些看起来越来越复杂的运算仍然是与四则运算的原初逻辑理念相自洽的，与人类思维的“根”联系在一起的。这样做的目的就是指数学体系能够既保持自身的逻辑自洽性又能够描述越来越复杂的物理世界的运动形式，越来越扩展人类思维的有限论域。