宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com）　2007.11

《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.2.4 从幂运算和极限建立实数空间概念

上面谈到从19 世纪数学家关于“实数空间”的讨论中，目的是寻找一个逻辑自洽的“着落点”，但是用无理数把有理数所剩下的“空隙”“填满”的方法所得到的“实数空间”作为逻辑的“着落点”，看来不是一个确实的“着落点”。只有新的逻辑自洽的体系才会给数学、理论物理和应用物理一个真正的着落点。我写这部书也只是希望为寻找自然科学科学和社会发展的新的“着落点”而呐喊，这条路一定很长，不是一个年入古稀的退休老人所能够完成的，也不是任何一个应用物理学家、理论物理学家、数学家或者逻辑学家所能够完成的，需要一代一代的物理、数学和逻辑学家们的共同努力。关于实数空间的概念是数学家为了思维的发展所建立的一个“着落点”，但是这个着落点不可靠。我们不是也不可能推翻 19世纪数学家们建立起来的通向现代数学的分析体系，但是确实有必要与数学家一起寻找一个数学分析的更可靠的着落点。

前面已经说了数学的概念来自人类对数字和数字运算的能力，虽然这种能力的产生过程已茫茫然无所寻踪了。但是我们却还能够比较清楚地去了解自那以后的发展过程。有了数字和数字的加法以后，就产生了加法的逆运算，减法；而减法产生了 0、负数和整个的自然数空间。乘法的产生也源于加法，它以更方便的形式来表达同样的数相加的过程。除法是乘法的逆运算，乘法和除法运算的出现产生了数学上的一个极为重要的新概念，这就是关于无限的概念。虽然我们也可以说自然数本身也包含了无限的概念，只有无限的概念才有可能表现无限的自然界。但是这种关于无限的概念有些过于简单，如减法产生了 0，就只是一个僵化的概念；实际上加法产生的无限大也是一样，它只表示有多么多的东西，就有多么大的数字来表示它，这样一种简单的意思。有了乘法和除法才能够产生真正与运算联系在一起的无限的概念。但是乘法和除法所产生的无限的概念就像我们在实数空间的讨论中所看到的，仍然是一种不明确的概念。或者说这样的无限的概念还不能够明确地说清楚它们是以怎样的变化过程通向无限的。无限本身不是一个有明确性的概念，“要多小就可以有多小；要多大就有多大”，就是无限概念的最直观、形象的理解。这也是所有极限概念的基础。这种最直观的概念中就有了增大和减小作为一种过程进行比较的意思，当人类还没有建立这种对数量的变化过程，和对变化过程进行比较的能力的时候，无限的概念是不明确的，任何不明确的概念都不能成为“逻辑”意义上的理念，而只能产生逻辑悖论。在中华和希腊的古文明时代，几乎都出现很多同样内容的逻辑悖论，什么“飞矢不动”、“兔子永远不能超过乌龟”等等的逻辑悖论就是人类文明发展过程所遗留下来的“数学遗产”。也就是对离散数字的四则运算的思维能力时代的遗产。但是没有人去申请这样的遗产的专利，因为这样的遗产实际上是属于全人类的。

牛顿把微积分称为“流数术”，这是一个真正的人类思维能力的发展。它比“微积分”更加清楚地说明了数学发展的逻辑本质。只有逻辑地把握了思维的规则，才能够真正把握思维发展的本质。所以牛顿成了那个时代的代表。其实那个时代是群星璀璨的时代，每一位在那个时代留下了名字的科学家都对那个时代的人类思维的发展起到了巨大的作用，莱布尼茨与牛顿一起建立了定积分公式，在关于空间和惯性系统的概念上，他对牛顿的绝对空间和惯性系统的概念提出了批评，这点上莱布尼茨可能理解得比牛顿更加深刻。绝对空间和惯性系统实际上都是不必要的概念。也许牛顿觉得引入那些概念有助于人们理解他的运动的世界，但是以后的发展证明这样一些既不是自然界确实存在的，又不反映人类思维能力本质的东西，最后会成为寄生出逻辑悖论的一个富有营养的根源。但是这些不是牛顿时代所要解决的人类思维的本 质问题。在牛顿的时代，要解决的人类思维能力的核心就是要让一切都动起来，在运动中认识自然界的基本规律，这就要解决人类思维能力上的运动观念，也就是要使数字也流动起来。牛顿最好地把握了这个人类思维能力的“根”，把思维的发展紧紧地与这个逻辑的“根”联系在一起。

要解决思维能力的发展，就是要使人类思维的原初的逻辑基元(数字 )与“运动”的概念逻辑地联系起来。也就是说要把无限的概念，建立在明确性的基础上，给予无限以确定性的约束。有了约束以后的无限大和无限小概念就有了明确性，就可以作为对于有限论域下的物理世界的运动规律进行描述的理念。 人类思维中的无限大和无限小的理念是对应于无限复杂的物理世界的，它是不能进行明确性的描述的，而牛顿时代的科学家们所提出的与有约束的无限小相联系的极限概念，和建立在极限基础上的连续概念，就为有限论域下的物理世界提供了一个好的数学理念。我们不是说毕达哥拉斯的有理数的理念就不是从物理世界返回的理念，也不是说 19世纪数学家所建立的实数空间就不是物理世界所返回的理念，只是说它们都是在他们那个时代的人们对物理世界认识所产生的理念中抽象出来的数学理念。人类的认识发展了这样的理念也应该发展和完善。

但是作为数学的研究对象一定要与物理实在中分离出来，只有这种分离才能促使人类思维能力的发展。但是这种分离一定要是符合逻辑自洽的分离，也就是说要有明确性的分离。但是这种明确性不应该是物理上的明确性，而是数学本身的明确性。数学的概念，一离开逻辑的明确性，就会产生数学的逻辑悖论。但是数学上的逻辑悖论与物理学上的逻辑悖论有些不大一样，它是属于人类思维能力发展过程中所不可避免的。数学上会出现两类逻辑悖论：一类是数学本身的逻辑悖论，这就是说从数学自身的逻辑来说就是悖论，如关于有理数的逻辑悖论和关于无理数和实数空间的逻辑悖论就属于这一类；它是数学概念上的不明确性所造成的。另一类就是杨本洛教授所指出的与物理学范畴相联系而表现在数学上的逻辑悖论。这种逻辑悖论，单纯从数学上看，似乎并不直接导致数学逻辑的不自洽性，但是最终还是会产生其它形式的逻辑悖论。这些就是我们以后要讨论的例如关于非欧空间那样的逻辑悖论，这种非欧空间在数学形式上似乎并不形成逻辑悖论，但是对于进一步的运算方法，它也会产生逻辑悖论。所以物理学与数学从形式上看是相互分离相互独立的，但是物理学的发展为了反应新的更加复杂的物质运动规律会自然地产生新的运算方式。而这些新的运算方法必然成为数学研究的对象，这就会反过来不断丰富数学研究的内容。而新运算的引入就会使旧的数学体系产生新的逻辑悖论。所以数学与物理学的分离只是为了发展人类的认知能力，思维与实践能力的一种暂时的过程，从根本来说最后还是要统一起来的。但是这种统一不应是物理学强加于数学的或数学强加于物理学的，而是真正从逻辑上的统一，人类的思维能力和实践能力的统一。

我们前面讨论的从毕达哥拉斯的有理数到实数空间的数学悖论是数学本身的逻辑悖论。这一逻辑悖论对于数学发展的主要影响，就是 19世纪数学家们在数字空间的逻辑自循环中，以用无理数的点来填有理数的“空隙”作为打破逻辑循环的切入点，这在与物理学相联系的逻辑理念上同样是一个明显的逻辑悖论。在物理学上不存在绝对连通的、紧的、完备的物质存在形式，物质的线、面和体的稳定存在形式，都不是真正稠密、没有空隙的线、面和体的那种僵化的存在形式，而是充满空隙的，它的形式上的稳定是以并不占据空间的力的平衡来维持的。所以从数学上最后也必然是对“填满”那样概念的否定，代之以极限的概念。而极限的概念本身就是物质世界与人类思维能力的一种合理的联系，“填满”的概念则是人类在一定历史时期的一种对物理世界的一种幼稚的认识。我们用不着去批判那时候人们所具有的那种观念，那时候的人只能有那种观念。人类是在那种简单幼稚的观念引导下，发展了实践的能力，然后才产生对自然界运动规律的新认识，产生了新的运算法则。只有到这样的时候，我们才必须改变旧的观念。如果需要批判的话，则是对那些已经有了产生新观念条件的时候，仍顽固坚持旧观念，障碍人类逻辑、思维和实践能力发展的那种“力量”。

现在回到19 世纪数学家对无理数的讨论上。他们说，“不能从极限来定义无理数，因为极限中那个常数没有着落”，所以导致了先来定义无理数的“填充”法。但是实际上这样的无理数的“填充法”才是真正没有着落的。即使到现在数学家也无法告诉我们无理数到底是什么？只能说无理数就是所有把数轴上有理数所产生的“空隙”都填满的那种数，而有理数所产生的“空隙”对于去填充它的无理数来说，又是无限的，是根本不可能被填满的。所以一旦进入了逻辑悖论的圈子，就必然一直沿着逻辑悖论走下去。其实离开了极限的概念，来填充整个数轴上的数是毫无意义的。他们才是真正用一个没有着落的常数为依据的方法来假想出整个“实数空间”和实数空间的性质。我们又重复了前面讨论实数空间时已经说过的话了。但是有时候在有些关键的问题上不得不多次的重复。因为这些正是产生现代数学和现代物理学的所有问题的逻辑根源。我们整部书上就是要反复的说明一个问题：从逻辑悖论开始，就必然一直沿着逻辑悖论走下去，把本来可以简简单单说清楚的问题，搞得越来越复杂，一直到把一部分人跟着他们转晕了，成了他们的一伙；不愿意和没有兴趣跟着转的“公众”成了不配了解那种深奥学问的外行。这就是现代物理学和现代数学主流派在理论和逻辑领域中所处的现状。

实数空间是一个简简单单的问题，单纯的除法运算不可能界定出一个实数空间，这一点已经早已被那个为毕达哥拉斯的主流派弟子们所迫害的希伯斯所说清楚了。只要用新的运算，幂运算方法，就可以方便地建立起实数空间中的极限的概念。在无理数的定义过程中 19世纪的数学家认为对 取极限时，的极限本身还是个没有着落的常数，所以会出现自循环的逻辑错误。但是实际上我们完全可以用最有着落的 0作为取极限方法的依据，以幂运算建立起一个序列，就可以严格地建立这个无理数的极限。实际上对于 的极限的界定过程，对于所有由几何学上的线段比所产生的无理数都是适用的。对此，我们可以建立如下的一个对于误差函数，即“着落”于 0的序列：

(10)

其中 p_n 是一个与n有关的正整数，可以表示为：

(11)

这里对于 求极限。即任取一个小数 ，一定可以找到正整数M。当 时，。这就是为数学逻辑所已经接受的求序列极限的定义。这样就可以得到这个无理数的极限为 。这就是说，像那样的无理数在分数序列中不是严格意义上存在的，而只能是极限意义上存在。也就是说为无穷小，而不可能是0 ，我们计算出来的只能是极限意义上的值，它的确实的值是不能用分数来表示的。

就像我们必须承认数字是公理一样，我们逐步地获得了更多的公理，这就是数字的加法、减法、自然数、乘法、除法和无限小 (即极限意义上的0) 。这些之所以是公理，是因为它是人人可以感受到事实，也就是它是一个有明确性的概念。用这种方法可以求出任何一个数轴上的无理数的极限，如圆周与直径之比 以及任何一个实际存在的无理数。这也就是杨本洛所说的定义在理想化体系中的“实际存在”，也就是说，任何一个无理数如果它表示一种物理实在，它必定对应于一种运算，这种运算来自有限论域中的物理实在所给出的数学体系。任何运算的逻辑皈依都应该是对于物理实在的描述，而不是直接来自人的自身的理念。对于所有有明确性的运算的无理数，都可以建立类似式 (11)的正整数的序列，因而都可以求出它的极限。

这就是说，任何一个我们所要描述的理想化的有限论域内的物质运动规律的规律，先要有一个形式量 {x,y,z, ……}，这实际上就是逻辑基元体系，还要有一个建立在形式量{x,y,z, ……}上的数学体系，f {x,y,z, ……}。所有的物理量都可以有一个唯一求解的数学方程与形式量体系相联系。这个量一般说来都是无理数，通过计算数学的方法，这个无理数就是有理数体系中的一个极限。这样就不会出现前面的逻辑悖论。这样一来，数学上出现的那类逻辑悖论，就被运算方法与数字集合之间的极限的逻辑界定所代替了。

讲到运算方法的时候，问题就比较复杂了，从逻辑上说，数学运算也应该来自物理实在。就像上面说的任何一个正确反映物理实在的数学体系，都一定具有逻辑自洽性的。记得有一次我和吕保维先生讨论电磁场算子的正定性时，他说了一句极简单的话：“只要它是能够正确反映物理实在的，他就必定是正定的”。如果把这句话作为杨本洛的“物质第一性”的内涵，那就毫无疑问地是对的。这就是说如果数学的逻辑前提与物理学的逻辑前提一致了，逻辑悖论就不会存在了。因为物理实在的逻辑前提必须具有“人人能够感受的公理性”，只有确定性的，没有自相矛盾的结果，才能够会人人有同样的感受。但是单就“物质第一性”这样一个哲学名词有时候会产生不知道是什么样的莫名其妙的概念，我们这一代中国知识分子遇到的那种令人啼笑皆非的事实在太多了。所以在有可能的条件下用明确性的逻辑思维，进一步用定量化的数理逻辑思维的方式来代替玄思式的哲学思维对于我们国家和民族来说实在太重要了。但是这也只能是一种方向，在历史条件不允许是，我们还得保留各种不同类型的思维形式。量子力学就是很好的例子，量子力学产生的过程中，已经找到了像太阳系运动规律那样的稳定可靠的与物质结构相联系的物质运动规律，那就是氢原子光谱。但是在那个历史时期，或者说直到今天，人类还是没有找到反映那个物理世界规律的数学体系，所以用一大堆实际上还没有明确性的运算方法的“运算符号”来表示它。这当然不是一种合理的数理逻辑体系，但是能够用一种推理式的，甚至是玄思式的思维方法来表达它，来表达物质结构对于原子运动的影响也总是好的。它给出了合理的定性的思维方向，对于 20世纪的技术的发展起到了巨大的指导作用。但是如果把那种没有明确性数学演绎的那套“符号”体系，当成了真实的科学规律，而不再追求数理逻辑体系，那就会成为科学发展的障碍。这些问题我们将在第三卷中再详细讨论。所以我们总是反复地说明这样一种思想方法：逻辑自洽性的追求在任何情况下都是科学和思维发展的推动力，但是并不是说没有逻辑自洽性的或者说有逻辑悖论的那些理论也不能简单地笼统地“否定”和“批判”，哲学的否定和批判永远是在分析和继承基础上的否定和批判。实际上即使在需要批判那个逻辑悖论的时候，还是要先把产生逻辑悖论的原因和它在当时历史条件下所起的作用搞清楚，尽量把其中的合理内涵理解清楚，然后在新的有限论域下来加以否定。

实际上经典数学家用了无数符号、定义和公式所表达的实数空间的所有的性质，都包含在上面的求极限的过程中了。当然我们不能责怪 19世纪的数学家，实数空间的概念对于数学来说是不可缺少的。在有实数空间的概念以前，实际上只有自然数是有明确性的，所以我们只能对序列求极限，而不能对数轴上的函数求极限。经典数学通过从有理数这个逻辑悖论开始，经过了一系列的逻辑悖论为基础的演绎，所得到的最后的实数空间的性质，如稠密性、紧型、连通性和完备性等，实际上它的合理的部分都包含在通过用幂运算表示的分数的求极限的过程中了。在经典数学的极其复杂的关于“实数空间”的性质中，不可能超出上面所用的对于分数的求极限方法所得到的结果。如果有超过这个内容的性质，一定是逻辑悖论的内容。我总感觉到经典数学所表示的那么令人眼花缭乱的定义和性质中还会混有逻辑悖论的内容，逻辑界定就是用来剔除逻辑悖论的，而剔除了逻辑悖论以后所剩下内容，总是简单明了的，外行的公众也容易看得懂的，不难进入的。实际上现在一些只有越来越少的“本领域的专家”才能心灵相通，外行极难理解的学科领域，大多数都是由于存在以逻辑悖论作为演绎基础的原因。

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