《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.2.3 关于现代数学的逻辑悖论和逻辑体系的探讨

数学的逻辑体系从本质上应该与物理学没有大的差别，它的逻辑前提也应该来自人人都能够感受到的公理，逻辑演绎则发展成了各种数学运算方法， 逻辑的自洽性同样应该体现在数学的逻辑前提与运算方法的自洽性。 数学的公理与物理学的公理有一定的差别，那就是它不是直接来自对于物质世界的观察，而是来自人类的对于数字和数字运算的原初理念。这个原初理念就是亚里斯多德的人人能够感受到的公理，我想没有人能够说得清楚它的来源，但是却能够不断的加深对于它的理解，这种理解实际上就是对于公理的感受能力，并在此基础上发展新的人人能够感受的公理。新的公理只是原初公理的扩展，新的感受能力来自原初的 (已有的) 感受能力，不是来自某些人的直觉和顿悟。但是在人类思维能力的扩展过程中，获取对于新的又是来源于原初公理的感受能力实在是不容易的，它只能来自一个历史发展过程的总结，而不能来自开始阶段。这也像一个人的学习过程一样，一个幼儿，只有在非常熟练地数出了几十到上百个数以后，才能够慢慢体会到进位的意义，把一个一个的数发展成可以无限扩展的正整数；有了分离的数的四则运算的概念，不知经过了多少千年或万年，到牛顿时代才有了把数看作一种流动着的数，因而产生了数字在流动过程中的性质——连续的概念。在每一个能够成为逻辑前提的理念获得公众的承认而成为公理的过程中，不知道要经过多多少少逻辑悖论的探索阶段。所以不要以发现逻辑悖论就做过分反应，而同样需要对有逻辑悖论的体系进行认真的学习和思考，寻找出其中合理的成分。实际上人类思维的发展过程是无数人在未知世界的探索中，产生无数的逻辑悖论，在带有逻辑悖论的不严格的推理中寻找着新的路。在这条路上，绝大部分都走不通而被荆棘所掩没了。只有极少数从各种不同的路，走到了一个相同新的境地。只有在这样的时候，才有可能看清楚前面走过的路，大部分是冤枉路，这时候就有可能寻找出一条新的立足点与前面的出发点之间的最平直的路，这就是逻辑之路。寻找逻辑之路，主要目的也只是使以后的探索有了一个新的立足点。

相对于物理学来说，数学的逻辑要单纯得多。数学的原初的公理主要就是关于数字和数字运算的公理，它虽然也要与客观实在有合理的联系，但是它毕竟只是属于人的思维理念的，与无限复杂的物质世界的直接描述相比要单纯得多了。这也就是为什么要把数学和物理学分离的原因。如果不是数学与物理学的分离，我们就更说不清楚物理学的自洽的逻辑体系到底是什么样的情况了。牛顿在讲时间与空间的逻辑关系时，只认为时间可以像一条直线，而把怎样画一条直线的问题，留给数学去解决，这是一个非常聪明的办法。人类认识客观世界总是要进行分割，然后再联系和综合；在物理学中强调有限论域也是这个意思。

但是这并不是说数学的逻辑悖论的存在就不是问题，不应该重视。恰恰相反我们要非常重视数学中出现的逻辑悖论，因为逻辑悖论下的演绎虽能够往前走一段路，但是逻辑悖论会产生新的逻辑悖论，会把人的思维搞得越来越混乱。数学与物理的分离也正是有利于寻找以后的逻辑悖论和以后的逻辑之路。数学从直接对数字的运算，发展到的对于函数的分析，再发展到泛函和映射以及算子理论，都是人类思维能力发展的结果。但是从进入实数空间的时候起，没有找到正确的逻辑发展的道路，没有把“数的集合”或“数字空间”概念与运算紧密结合在一起。而是从有理数这个数学上的第一个逻辑悖论作为认识的出发点，在实数空间的发展过程引入太多与运算相分离的因而没有明确性的“数字集合”的概念，特别是用无理数把有理数填满成为实数那样的逻辑悖论的概念，不仅造成了数学认识上的困难，也为数学发展中的进一步的逻辑悖论和逻辑混乱的滋生创造了条件。让我们还是引用杨本洛的书 ^[11]

众所周知，19 世纪末到20世纪初叶，出现了至今尚无力解答的基础数学三大逻辑悖论问题。并且，最终导致了一种“搁置矛盾”的公理化方法，本质上将数学引入了歧途。

事实上，如果说当代科学主流社会对一系列的逻辑不相容问题长时间无所作为，以至于公开放弃数学严谨性的时候，这样一种思潮同样深刻地影响着数学自身。因此，对于无视数学基础一系列众所周知逻辑悖论的存在，却在一个没有可信性基础上进行无穷推理的方法，正是目前科学世界公然放弃逻辑，推崇无理性可言的“第一性原理”这样一种普遍态度的反映。当然，以逻辑悖论为思考前提的推理，同样没有任何可信性而言，而且，在不当立论前提之上，进行推理本身就是对数学精神的背叛。

……

数学基础的三大逻辑悖论通常指“理发师悖论”、“Cantor悖论”和“Russell 悖论”。考虑到“理发师悖论”本质上只属于一般意义上的“病态”语句，此处仅列出于逻辑更为直接关联的后两个悖论及其相关辨析，并且提出对于所有形表述具有一般意义，并且与理论物理中“物质第一性”原则保持一致的“存在性”基本原则。

下面他用了一个简表给出了逻辑悖论的内容和他对于这些逻辑悖论产生的根源和如何解决那些逻辑悖论的分析，最后对现代数学中的普遍性的问题，作了一般分析。我们这里仍用他原来的语言，把书写的形式改动一下。

两个逻辑悖论的经典陈述或结论。Cantor 悖论：

对于元S_i 所构造的集合M，以及相应构造的幂集合P ，即

不难推得：

故而出现逻辑悖论。

Russell悖论：

对于任何两个给定集合x， y

由集合论概括原则

再次出现逻辑悖论

修正结果或解析：

提出形式系统必须普遍遵循的“存在性原则”

&

可以做出证明：出现于数学基础上所有的所有逻辑悖论，都同样违背了这两个基本原则。与上述原则保持一致，“拥有”和“从属”属于两种完全不同逻辑体系，必须加以严格区分，即

一般分析：

1.形式表述的“性质”和拥有性质的“存在主体”在逻辑上并不等价。事实上，不仅仅性质 f，而且定义性质的所有形式量x ，y，z 都仅仅逻辑地从属于它的逻辑主体——某一个特定的理想化物质对象集合；

2.与希尔拜特所说“桌子、椅子、啤酒瓶”一种纯粹主观随意的公理化理念完全相反，在定义形式量以及借助于形式量所表述的某一特定关系以前，首先需要对“理想化存在”本身做出前提性否定。没有形式系统逻辑主体的前提存在，就没有整个形式系统；

3.集合论“概括原则”未能区分“拥有”和“从属”两种不同逻辑关联，将它们与全同逻辑混淆了；

4.无论域限制的性质以及无论域限制的无论域限制的集合都不存在。尽管 Cantor试图提出“相容性”条件加以约束，但是仍不能根本改变构造无论域限制集合论的错误导向。

我想趁这个机会谈一下我对这段话的学习和理解过程中的一段小插曲。我与杨本洛教授的认识时间并不长，大概就在世纪之交的时候，我收到杨教授寄来的他 1996年出版的《流体运动的经典分析》一书，那时我们之间并不认识。他的书中引用了我1993年出版的《并矢格林函数和电磁场的算子理论》中的一些观点。而我正在进行关于从电磁场理论到现代物理学方向的探索的基金课题的研究。那时我并没有任何数理逻辑方面的基础知识，而他在写那本书的时候大概也没有形成现在的数理逻辑上的观点，在那本书上所用的方法就是他后来所批评的没有自洽逻辑的那套方法。但是那本书的概念清楚、条理清晰，对于我一个力学的外行，而又要想从电磁波与力学波的对比中寻找探索现代物理体系的切入点来说，那本书正是我所需要的。我们两个人正从两个不同的方向进行对现代物理体系的探索：他主要是从逻辑的角度而我则是从应用物理学的方向，从对电磁波理论和信息科学与相对论、量子力学和现代物理之间所产生矛盾的角度进入了同一个领域的探索。以后一起参加了 2003年的香山会议，在会议前我们有了较多的接触，互相交换了看法和材料。就在那时他给我发来了现在我所引用的这本书《自然科学体系梳理》，那时的书名还是《自然科学的体系的历史性、全局性的梳理》。我看得很有兴趣，但都是似懂非懂。有兴趣的地方在于，我们从完全不同的角度得到很多对于现代物理学基本问题的共同看法：如相对论不是真实的物理体系；波粒二象性不是描述物理世界的真实图景；“光子”作为现代物理中所描述的那种“粒子”是不存在的，它只是一段特殊的波脉冲；干涉现象不是波所特有的，它只是表示物质图景中在特殊条件下所显示的特殊的空间关系，量子相关性是虚假的现象；而最重要的一点就是物质不是“单一”的，物质世界是复杂的：有“有质有形”的、也有“无质无形”的，它们都是物质的存在形式。但是我们两人对于这些观念的获得确实从两条完全不同的途径：我主要从物理学的途径，戴振铎教授的几本书是我进入这一问题的大门，我看了他的关于电磁场的并矢格林函数的几本书，从 70年代末一直看了二十年。我深信所有的物理学家都还没有搞清楚什么是“电磁波”。上面的这些结论都是我从对电磁波的认识和我在国家基金为近十年工作中接触到大量的各个领域的研究项目中所得到的。而他却从对于逻辑的研究中得到完全相同的结论。当然也有很多不相同的，甚至完全对立的见解。其中最突出的就是现在引用在上面的那一段话。

我完全不能理解那些内容，就找了我的老朋友数学所的老研究员胥鸣伟。因为我当时对于哲学和逻辑接触极少，除了在 60年代初当研究生期间听过的当时国内权威所讲授的辩证唯物主义哲学外，对于西方哲学家除了听到过对他们的批判以外，对他们的原作一本也没有看过，对于逻辑、数学与物理学之间的关系，特别是这种关系的发展过程，基本上一无所知。上面所引的那段话是我第一次见到对于希尔拜特的现代数学作这样的否定，而我则一直把现代数学作为发展物理学的最基本的工具。我以我那时的见解向胥鸣伟谈到了，在即将召开的关于现代物理学的香山科学讨论会上，还有人批判了希尔伯特的数学，询问他的意见。他说希尔拜特的数学体系在数学界已经公认是一套有严格逻辑的数学体系，如果一个非专业的人凭直观的概念就想否定整个理论基础，这样的意见我们一般都是不予理睬的。他是研究几何的，我又谈了现代物理学上的一些问题，我问他从物理学来说，基本的数学问题是在时间和空间上进行的数学分析，这两个量与其它的数学变量有完全不同的物理学的内涵，因而在数学分析上是不是也应该有不同的性质？他就说，我们数学上对所有的变量只研究数学上的共性，不研究时间、空间这样物理上有特殊性质的问题。他还说，现在我们搞的几何，实际上也只能搞幂函数，还只能搞到二次幂函数，再搞下去很难，他感慨地说，这也是我们一个最大的困难，就是所研究的内容越来越缺乏直观的表现能力。他还说，希尔拜特的公理化也只是对四则运算来定义的，现在有人在研究的主要是关于无限大和无限小的数学性质问题。

对于不论是杨本洛所写的上面那段话，还是胥鸣伟对现代数学所说的那些话，我现在还在探索。我们三人都有不同的专业背景，因而看问题都有不同的角度。这些话都不大好懂，要真正理解也许更加困难。现在除了把那些问题和个人的看法客观地提供给大家外，也很难再用简单地语言加以分析或说明。但是这些讨论给了我一个最大的启发，就是数学、物理和逻辑既有差别，又有相通的地方：那就是数学和应用物理学都需要有一个“着落”，没有找到那个合适的着落的地方，总是不踏实的，而这个“着落”点，就应该是逻辑的归宿。逻辑梳理一定要应用物理学家、数学家和理论物理学家一起来参与，共同寻找牛顿理论框架以后的新的逻辑的“着落点”。