宋文淼 （wenmiaosong@gmail.com）　2007.11

《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.2.2 牛顿时代的是怎样解决这些问题的

在十九世纪以前，牛顿时代的数学家们已经建立了完整的关于极限、连续和微积分的概念和运算方法，那时候并没有实数空间的概念。按现在的主流派数学家的说法：“微积分是建立在极限理论的基础上，而极限理论又是建立在实数空间的基础上……实数空间的基本性质可以用一句话来概括，即实数空间是连通的全序域，或实数空间是完备的全序域。我们采用连通的全序域作为实数空间的定义，……最后 (给出了) 实数空间公理化讲法，实数的公理系统” ^[12]。

从我们在工程技术中大量应用数学分析的实际经验，说明关于实数空间的这个公理体系是非常有用的，但是我们也确实可以看到公理体系的建立有逻辑悖论存在，而且下面还要看到从这一公理体系还会导致其它的进一步的逻辑悖论。所以对这一问题必须作进一步的分析。为此我们先来看一看，在实数空间的公理化体系建立以前，牛顿时代的数学家们是怎样建立起微积分理论和运算方法的，它到底在哪里出现了问题，为什么两百多年来大量工程技术应用中并没有从实数空间理论中获得任何必要的东西，也没有为此而产生过任何困难。

十七世纪的数学家们其实都是物理学家，那时还没有形成与物理实在没有联系的数学，他们所有的思维方式是沿着欧几里德几何学的逻辑发展过来的。极限是所有物理学问题的基础，也是数学问题的基础，在牛顿以前没有极限的概念，所以也无法建立关于瞬时速度的概念，所以也无法建立力与加速度的概念。那时数学上的问题与物理上的问题是一致的。在建立极限的概念中首先建立的是序列极限的概念，因为数列极限的概念在初等数学中实际上已经接近完成，等差级数有限项的和是一个初等数学问题。在初等数学中也研究了等比级数的问题，有限项等比级数的求和在初等数学中也是已经解决的问题，这也就为无限项的等比级数的求解打开了道路。那时虽然没有极限的严格的理论和形式，但是实际上无限项的等比级数的求和是解决了的问题。“尺幅之隅，日取其半，久而不竭”，但是实际上人们心理都明白，久而久之，是一定要用完的。在伽利略以后人们实际上都越来越关心变速运动的概念和描述问题，这样极限理论的严格的数学形式就自然地产生了。这就是比小于 1的等比级数和的极限定义，把它推广到一般形式，就是定义一个任意小的量ε，我们一定能够找到两个正整数M 和N，使第M 项和第N项序列之差小于 ε，这样序列就达到了极限。这里只引入无限小概念，无限小就是比任何确定的数都小的数。这里 ε是一个任意确定的小数，而第M 或N项以后的序列之间的差都比任意给定的小数还要小，我们就把第M或 N项以后的序列值，称为序列的极限。只要承认数字(正整数 )的明确性，这样定义的序列的极限不存在任何的不明确性。牛顿以后的数学的发展，并没有对于序列的极限提出过任何的疑义，或增加过任何的内容。也就是说，从序列得到极限的概念是人类思维历史的连续的发展，它自然地继承了数字和运算的公理性。这也就是说，十九世纪以后，直至今天的数学，对于正整数的逻辑内涵没有作过任何改变。一个线段不是用点来“填满”的，而是用可以加密到这样程度的点，即使两点之间的距离小于 ε，( 这个ε是人以给定的) 所定义的。一个实数空间就是一个加密到需要多少点就有多少个的分割节点和需要多么小就多么小的“空隙”所组成的。这个需要是带有人为假定的性质，这一性质就是数字无限小分割的极限的定义，也即实数空间的定义。不论极限、连续、还是在这一能力基础上的实数空间，都是有限论域的。

实数空间的逻辑理念不是一个无数个没有空隙的点的集合，而是无数个距离足够小的点的集合。这就是我们现在对十九世纪数学在逻辑上的一个修正。之所以要修改这个理念是因为，根据没有空隙的点的实数空间，以后我们只能建立占据空间确定点的物质的“粒子”模型；而只有根据这样的逻辑理念才有可能建立物质的两种模型：除了空间局域的“粒子”模型，还可以有空间连续的而时间 (频率)局域的物质模型。而这正是打破现代物理学的量子物理的僵化的逻辑体系的数学逻辑基础。

牛顿关于函数的连续概念则与数学分析中有了差别，牛顿的函数连续定义中只引入ε和η 。一般学过微积分的人，或学过对于非数学专业的微积分的人，都知道函数 ，x称为自变量，它的取值范围称为定义域，y 成为函数它的变化范围称为值域，函数 y在x ₀ 连续的定义为：给定一个任意的小数 η，在x ₀ 附近的邻域内，一定可以找到，使得 ，则称为函数y在x₀ 左连续，称为左极限，同样可以定义右极限，左极限等于右极限则称函数f(x ) 在x₀连续。函数在整个定义域内连续，则称函数f(x) 为连续函数。这里，我们只是在研究和描述函数 y的性质，而没有在研究以前给函数y强加任何确定的性质：它可以有也可以没有不连续点；可以有有限个不连续点也可以有无限个不连续点；可以只有点的不连续也可以在一段域内没有函数的定义，这些只决定于实际物理问题的需要。而自变量 x，他的性质是给定的：在x ₀ 附近的邻域内，以定可以找到，这就是说自变量自然地应该具有连续性，这个连续性实际上就是19世纪数学家经过曲折的道路，从大量逻辑悖论的通道中，获得的关于实数的公理系统的性质。这就是说，19世纪数学家建立的实数的公理系统的性质，实际上是无法直接从数学演绎来获得的，它像数字和数字的原始运算规则一样是人类思维的原初公理，它是人人都可以感受到的但是没有人知道是谁创造的或发现的，也不是现在的任何人可以证明的。 从数字的分割到无限分割最后产生无限小的极限概念，本质上也是一个逻辑界定的问题，是人人都能够感受到的公理。不属于数学演绎的范畴，而是与物理学逻辑基元的界定相联系的数学的逻辑基元的界定问题。从物理学的逻辑界定来说，就是牛顿对于时间所作的逻辑界定。

即在牛顿物理范围内，自变量与函数是两类不同内涵的量，在杨本洛的书上正确地指出了这一点 ^[11]。实际上在牛顿物理框架中，它的数学体系的自变量只有时间和空间。对于这两个物理学的逻辑基元的性质将在下一章专门讨论。从数学上来说时间是均匀流逝的，所以它的数学性质取决于我们对无限小的理解，实际上从时间的均匀流逝的性质，与数学上的对线段的无限分割概念结合在一起，就可以得到极限的概念。

数学家认为“微积分是建立在极限理论带基础上，而极限又是建立在实数空间的基础上”。这句话上半句是对的，下半句是不对的。 极限不是建立在实数空间理论的基础上，没有一种数学理论能够证明极限的存在，极限是一种逻辑概念，像数字一样，它不是人用什么方法可以证明的，而是人人都能够体验到的一种存在事实，也就是亚里斯多德所说的公理。 如果说极限是建立在实数空间的基础上，那么实数空间又是建立在什么的基础上呢？它只能建立在人为公设的基础上，因为离开极限的概念，用没有大小的点把一条线排满是不可能的。实数空间建立过程中所必须用到的有理数的稠密性、非空有上界集合的上确界存在性等实际上都离不开极限的概念，不用极限的概念，就要用逻辑悖论，两者必居其一。

数学家更强调没有实数空间理论，定积分的不完备性。其实这一点也是不确实的。定积分自从牛顿时代，牛顿－莱布尼茨利用拉格朗日中值定理得到了定积分的著名公式：

(6)

这里 f(x) 和F (x)都是闭域[a, b]上的函数，并且在开域 (a,b) 上F(x) 是f(x) 的原函数，即

(7)

并且用同样方法还证明了：函数 f(x)在区间[a, b] 上可积(不一定连续) ，又设F(x) 在区间[a, b]上连续，并且在开区间(a, b)上， F(x)是f (x)的原函数，上面的公式(6) 同样存在。

这样，实际上已经解决了微积分中最重要也是最困难的定积分问题。那么，为什么还一定要化一百多年的时间去解决实数空间的问题呢？原来还有一个可积函数的问题，即什么样的函数才是可积函数。下面就讨论可积函数的充要条件：设函数 f(x)在区间[a, b] 可积，则它一定是区间[a, b]上的有界函数，这里的证明也只要用序列的极限存在就行了。但是反过来却不一定行了，即闭区间上的有界函数不一定可积。那么，可积函数的严格的数学条件到底是什么呢？这就是产生“实数空间”理论的出发点。那末什么样的函数是有界而又不可积的函数呢？那里举出了下面的一个函数，叫狄里克里函数

(8)

这个问题的提法实际上就有一个前提，即认为有理数和无理数已经把 0到1 之间的所有的数都填满了，这是一个逻辑悖论。应该说这个函数是没有定义的因而它是不可积的。数学家认为另一个类似的函数，黎曼函数

(9)

是可积的。数学家用逻辑悖论作为前提，推导出的东西有时候连自己也莫名其妙了。有理数和无理数都是逻辑悖论，我们的意思是说， 逻辑的最基本的内涵就是明确性 ，而有理数、无理数都没有明确性，没有一个数学家能告诉人们有理数之间有多少个“空隙”？这些“空隙”有大小吗？无理数有多少个？它们是不是一个没有大小的点？无理数是怎样把有理数填满的？所以把一个线段 (或数轴上的一个数集) 看作是无理数与有理数和集是一个没有确定性的概念。所以把定义在一定的定义域上的函数，分解成定义在有理数和无理数上的函数时，这个函数就失去了确定性，再来讨论任何的分析都没有意义，不要说定积分，连微分以及任何运算都没有意义。在上面讨论的公式 (8)和(9) ，让无理数上的函数值为0，只是一种迷惑，在没有确定性的地方定义它为0 ，似乎就可以把所有麻烦掩盖了。剩下的有理数部分也是不确定的，所以只要定义非零的任何数，都不可积。如果也定义为 0按纯数学的定义就成了可积函数，但是也太没有意思了。所以把有理数部分实际上改为一个离散的序列，从纯数学的定义成了可积函数，但是仍然是没有确定的结果的。

我们说实数空间理论是一个逻辑悖论，这确实是一个很麻烦的事。因为十九世纪的数学家已经把牛顿的微积分已经建立在实数空间的理论框架之上，特别是在此基础上又产生了现代数学。 而从实数空间的概念或者说从实数的公理体系的最后结果来看，并没有很大的问题。这只是说明实数空间的性质或实数的公理系统的那些性质，本来应该从逻辑的角度来界定，而不应该从逻辑悖论的体系上去演绎，尽管它们的最终结果没有很大的差别。 这就是说在人类的知识体系中，有一些理念是属于逻辑理念，我们只能问，它的实在性到底如何？所谓逻辑理念的实在性是指它是否有完全的明确性，也就是说，它是否能够通过完全明确的演绎与前面已有的原初的逻辑理念完全明确地联系在一起。实数空间无法用有理数、无理数那样一些逻辑悖论的演绎来说清楚，但是从关于极限的逻辑理念，是可以完全有明确性地得到与实数空间类似的概念的。所以，在后续的现代数学的发展中尽管由于前面的逻辑悖论还会产生新的逻辑悖论，但是大量的结果却仍然是非常有用的。我们不能因为它曾出现过逻辑悖论就完全否定整个的现代数学，当然现代数学中的逻辑悖论是一些讨嫌的东西，它使那些本来人人可以感受到的公理，变得极其复杂和难懂，必得跟着那些没有逻辑的直觉和顿悟走，使得科学与巫术在一定意义上交叉在一起。一个真正的科学工作者，把那些逻辑悖论从科学体系中剔除出去是必要的，但是完全的剔除是不可能的，因为人类的认知过程就是人与自然的交流过程，人的理念和思维能力的发展主要反映在在数学能力上，而对自然界的观察和描述则主要反映在物理学上，把这两者捆绑在一起并不利于人类更好地获取自然科学知识和发展人类思维能力。人类获取知识的过程就是建立有限论域下的自洽的逻辑体系和打破这个封闭的逻辑体系扩展认识的领域，这两者的辩证的发展过程。所以数学和物理学的独立发展是人类思维能力发展中所不可避免的事，是有利于人类知识发展的事。它们之间出现的逻辑矛盾和混乱在一定意义上正是科学发展的动力，但是到一定时候则需要在历史的逻辑的发展基础上重建合理的逻辑体系。牛顿时代的数学理论在对于函数的定义域及整个理论体系的完整性上，有它的局限性，从数学角度来进行发展也是完全需要的。其实物理学的发展过程也是一样，它也是从不断出现的逻辑悖论中发展过来得。如人们对于地面的观察，最早都只能产生盖天说。盖天说是一种错误的物理模型，但是由此所产生的空间概念，把水平面看作是绝对的平面并与铅垂线一起组成了三维空间和笛卡尔坐标系，却是在逻辑上对于空间的一种合理的理念。这告诉我们在自然科学上一种辩证的思维模式是比形而上学的模式更为合理，这也是在科学的发展过程中需要不断的进行逻辑梳理的必要性的根本原因。

数学从算术或者说从纯粹的运算，发展到函数和分析，再发展到函数空间、映射和算子理论是一个必要的发展过程。我们不可能简单地因为它的基础有逻辑悖论的问题存在，而全盘否定无数科学家长时期的工作，特别是我们作为应用和技术物理的科学工作者，在自己的学术领域中也大量地得益于现代数学的发展。但是整个现代数学不是一座由理性和逻辑所建立起来的大厦，而是一条混合着金子和泥沙的河流。它的逻辑悖论的泥沙是不可能支撑起理性的科学大厦的，只有把逻辑悖论的泥沙洗净，才能发现真正有用的金子，只有把那些人类思维的宝贵财富从逻辑悖论的泥沙中淘出来，用逻辑自洽的框架才能把它建筑成金光闪耀的大厦。

我们说十九世纪的数学家把实数空间建立在逻辑悖论的基础上，实际上是想说离开了极限的逻辑理念来建立实数和实数空间的概念是不可能的。由于我们是非数学专业的外行，实在是常常搞不确实数学家在说些什么或想说些什么？如书 ^[12]上说“有理数和无理数通称为实数”，为什么不明确说作为数的集合，实数是有理数与无理数的“和集”。还有，“用不循环的无限小数为无理数，…… (实际上) 是用极限值来定义无理数，但从极限定义来看，只有承认无理数才能谈极限值，如果不承认无理数，极限定义中的常数就没有着落，这样一来，就陷入用 A去定义B ，又用B去定义A ，出现逻辑上的自身循环，所以用不循环无限小数来定义无理数也是不合理的”，但是最后的结论又是“无限小数是实数的一种表示”。那么实数的另外表示是什么呢？那么这个逻辑上的自身循环又是怎样打破的呢？这样的说法只会越说越糊涂。实际上作为一个数，有理数和无理数，当我们把它们与物理实在联系在一起的时候，都有同样的实在性。它们之间的差别只是数学上所取的正整数的标定不同而已。等边直角三角形的直角边与斜边都是同样的物理实在，为了反映这个物理实在，如果你把直角边的长度作为正整数或有限小数来量度，则斜边一定不能用那类数来表达，我们把它称为无理数；反过来也可以把斜边来表达成有理数的形式，那么直角边就一定要用无理数来表示。其实质只是它们之间的数学关系不是四则运算所能够表达的。 从数学的逻辑角度，所有这类问题的产生都来源于运算法则。实数的公理体系就是四则运算的公理体系，把人类原初的数字和四则运算的理念用一套公理体系来描述，这不是一件坏事而是数学或者说是人类思维能力的一种进步。

在数学或理论物理学中常常要出现逻辑的自身循环，这种逻辑的自身循环怎么才能打破呢？当我们陷入逻辑的自身循环的时候，是不能通过逻辑的演绎来打破的。要打破这样的逻辑的自身循环，唯一的办法就是扩大逻辑前提。也就是说必须引入新的“公设”。这种新的“公设”不是逻辑悖论就是新的逻辑前提。而区分两者的主要准则也许就是看它们的明确性，只有明确性的概念才有可能成为公理，所谓明确性就是要与前面的已经获得的作为公理的理念保持逻辑自洽的关系。十九世纪定义的实数空间的过程中，遇到的问题就是把有理数和无理数作为“公设”，还是把极限定义作为公设。有理数和无理数毫无疑问是没有明确性的，所以一定就是逻辑悖论。 19世纪数学家在实数空间的讨论中，引入了实在太多的各种名称的序列和集合，却没有任何关于产生这些序列和集合的运算过程的描述，只有运算才能产生关于序列和集合的确实的内容。但是那里所有的过渡性的序列和集合都是从有理数和无理数这两个运算方法不明确的集合概念中衍生出来的。实际上不断引入各种没有明确定义的集合，最后又回到了极限的概念，又回到合理的逻辑中来。每一种在人类思维发展中获得了应用的概念，大都会像实数空间概念一样，包含着各种逻辑悖论下的演绎，最后在某一范围内又成了有用的概念，是人类的思维不是正常地走过，而是跳过了一段艰辛的路。这就是人类思维的曲折性。但是这样没有逻辑地跳跃过来的路，在以后思维的发展中，总还要继续产生新的逻辑悖论，继续对科学的发展产生障碍。并且把科学搞得越来越生涩难懂。我们相信应该有一条逻辑的路，才是处处明确的因而也是易懂的路。所以我们不应回避那些逻辑悖论，在逻辑悖论出现的地方必定是需要新的逻辑前提的地方，要取消一个逻辑悖论基础上的数学概念，一定可以找到一个用合理的逻辑界定所表示的逻辑前提来代替。在逻辑悖论的基础上是不可能建立起坚实的科学的大厦的。

我们说要通过扩大逻辑前提来建立自洽的逻辑前提，从上面的十九世纪数学家在实数空间的数学体系的建立过程中，怎么来理解从逻辑悖论的演绎和扩大逻辑前提来发展数学体系的关系呢？这是一个复杂的问题。简单的说，用对极限概念的更加完善和合理的理解，来建立类似实数空间的体系，就会避免有理数和无理数的逻辑悖论。那么极限的概念是什么呢？我们认为极限的概念是与正整数为基础的离散数字的四则运算理念相并行的数学理念。只有通过极限这一理念的界定，才能从离散的数字和四则运算扩大到数的连续的概念和扩大的运算概念。把极限作为新的逻辑前提的界定，引入到数学体系，就可以避免逻辑悖论，从而发展逻辑自洽的数学体系。我完全支持杨本洛教授所提出的关于逻辑梳理的概念，现在的数学和物理学不进行逻辑梳理，看来很难健康发展下去了。但是梳理只是把头发理顺，梳掉没有用处的附着物，而不能把头发也都梳掉了。逻辑悖论和逻辑前提往往是不易分清楚的，而且人们往往就是通过逻辑悖论和那种带有逻辑悖论的演绎走出一条新曲曲折折的小路，走向了一个新的境地。尔后才能发现原来还可以有一条逻辑自洽的宽广的路。这就是我们下面所要做的工作。

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