《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.2.1 十九世纪数学家是怎样建立“实数空间”的

实数和实数空间大概是数学中最复杂的问题之一，它为数学发展迈出了最重要的一步，它是数学从运算走向分析的基础；但是它的概念又是从逻辑悖论中发展起来的，从此以后数学就走进了逻辑悖论的怪圈。这是一段非常难以表达清楚的内容，因为一进入那个逻辑悖论的体系，我们不得不面对整个符号、假设和定义的迷宫，这是非本专业人员所难以忍受的。所以我们将在尽可能只作文字描述的情况下，来说明十九世纪数学家所走过的这一段艰苦的路。对于那些从逻辑悖论不断通过新的逻辑悖论所编织出来的东西，我们既不加以具体的描述，也不作全盘的否定，因为有时候在这些寄生的藤蔓覆盖下也可能有树木本身的枝杈。我们只是把那些已经找到的真实的树木本身的枝丫从寄生的藤蔓的覆盖下清理出来，让它茁壮成长。

现在我们先看一看对于实数和实数空间，十九世纪的数学家是怎样说的。首先实数和实数空间的概念是从微积分的运算的需要而产生的。微积分是建立在对于连续函数的分析的基础上。这个连续函数分析中的困难，并不在于对函数连续性定义上的困难，而是对于自变量的描述上的困难。其实在牛顿的理论体系中没有这个问题，他的数学体系是从对物理世界描述中产生的，在他的理论体系中，即牛顿运动方程中，自变量就是时间。所以他的《原理》一书中，首先对时间作了逻辑界定，时间是与任何具体的物质运动形式无关的、永远均匀流逝的。所以他不需要讨论自变量的数学性质。他把每一时刻看作是一个点，而连续流逝的时间看作一条可以无限均匀分割的直线。这点和线的关系就与欧几里德几何学中的点和线的关系一样。他不讨论如何作直线的问题，认为如何作直线不是几何学的事，即在建立欧几里德学几何学的时候，直线的概念已经存在了。而问题只是建立点与线的关系。这一点我们还要在下面关于数理逻辑中详细的讨论，即从物理实在出发我们应该怎样理解直线和点的关系。这里只提出牛顿的基本理念，那就是时间永远是均匀流逝的，即点可以均匀地排列在一条直线上。一段时间可以被分离为无限多的均匀的时刻。毕达哥拉斯的有理数是基于除法运算的基础上，它产生的只能是用有限个数的点均匀地排列在一段直线上，而他又认为可以把线段排满了。数学家们其实早已指出这是一个逻辑悖论的概念。而牛顿的时间是被无限地进行均匀分隔的。只有这种无限地进行均匀分隔的概念，才可能产生可运算性的同时，产生连续的概念。无限本身是一个没有确定性的概念，所以不能作为逻辑概念，只有在无限的概念上再加入某种使其具有确定性的规则，才能成为一种建立逻辑前提的依据。时间的均匀流逝性产生了一种确定性的概念。

然而，十九世纪的数学家认为十七世纪牛顿等人所建立的微积分理论中还存在一些数学上的问题 ^[12]：

前面我们还留下两个问题没有证明：一是非空有上界集合必有上确界；一是连续函数的三个性质。其实有了确界定理，证明连续函数三个定理并不困难，所以主要是确界定理没有证明，为了什么直观上这么明显的定理，当时证明不了呢？因为要证明这个定理，必须弄清楚什么是实数和实数空间。这章首先讨论实数和实数空间，其次讨论实数空间的连通性、紧性、完备性及其应用，最后讨论上极限与下极限。

在自然哲学的数理逻辑中，永远把数和函数看成两个概念：数是逻辑概念，它是从对大自然的认识过程中分离出来的逻辑概念，是属于人类的思维能力的，而函数则是自然界运动规律中的一个简化 (理想化) 的模型。数字(正整数) 和它具有的运算性(加法) 是人类逻辑的基础，或者称为原初的逻辑基元。数字范围的扩大必须与运算概念的扩大相联系，或者说必须与运算方法相自洽，而运算方法来自于人们对于描述大自然规律的需要。离开了运算和运算方法与物理实在的自洽关系来谈“数字集合”的扩展，就会产生逻辑悖论。毕达哥拉斯把除法运算与点把空间排满的概念联系在一起，就产生了逻辑悖论。人们把除法运算所产生的数字空间称为“有理数”，那末有理数永远只能表示所有由除法运算所产生的数。把线段排满的概念永远是一个逻辑悖论的概念。无理数是一个逻辑悖论的概念，因为它没有确定的运算规则。有说不清多少种运算会产生分数所不能表达的“数”，等腰直角三角形的斜边与直角边之比只是其中的一个最简单的运算。毕达哥拉斯的数学悖论就是说，由除法产生的数，与由开方产生的数之间没有自洽性。只有部分由开方产生的数可以与除法产生的数保持一致，而有些开方产生的数不能用除法产生的数来表达。离开了运算来讨论数的性质，就是十九世纪数学家所走的路，这不是逻辑的路，而是人为的路。人为的路就有可能走上逻辑自悖的路，但也不是没有可能在某一点上又回到了逻辑自洽的位置上，但是一般地它总会不断产生新的逻辑悖论，所以它不具有严格的逻辑自洽性。上面这段话的关键是“非空有上界集合必有上确界”，这种“非空有上界集合”就是一种人为的无根的概念，它与运算之间失去了联系。

关于实数的定义或无理数的定义，其实我们是不清楚的。为了说明这一点，我们从有理数谈起。

我们认为有理数的定义和性质是清楚的，所谓有理数，是指两个整数之比。

十九世纪的数学家认为他们对有理数的定义和性质是清楚的，他们清楚什么呢？就是清楚有理数就是一个分数或者是有限小数或无限不循环小数。离开了运算来谈数的性质，等于什么也没有谈，所以实际上他们并不清楚这类数有什么样的性质。有理数就是对两个整数作有限的均匀的分隔，这样分隔以后的数与自然数的差别仅仅是缩小了坐标的比例，只要放大一下坐标的比例，就成了自然数，它们的性质与自然数一样，只能满足加减乘除的四则算术运算。在有理数空间上进行任何超过四则运算的其它运算都会无法进行，即这样的数与四则运算以外的运算都不自洽。这就是说，凡是自然数做不到的事，有理数也是做不到的。要从有理数的基础上定义出实数空间的概念来，从逻辑来说是做不到的，为此必定会引入一系列的逻辑悖论。

由此可见，为了量度线段的长度，只有有理数就不够用了，必须引入新的数，称为无理数，类似的有理数的两种定义，随之出现无理数的两种说法，我们分析一下这两种说法是否合理。

一种说法是：非比数是无理数，这种说法当然不合理……另一种说法是：不循环的无限小数为无理数，这种说法是否合理呢？……这里我们是用极限值来定义无理数。但从极限定义来看，只有承认无理数才能谈极限值，如果不承认无理数，即先定义就没有着落，这样一来，就陷入用 A去定义B ，又B去定义用 A，出现逻辑上的自身循环。所以用不循环的无限小数来定义无理数也是不合理的。

……

既然不能用极限来定义实数，我们只能用有理数、集合等概念给出实数的定义。目前有几种定义实数的方法，但是我们采用戴德金的定义，因为这种定义比较直观且容易理解。

若每一个有理数用直线上的点来表示，不同的有理数对应直线上不同的点，这些点是否填充了整个直线呢？我们发现直线上还留有很多“空隙”，而且多得不可胜数，这些“空隙”的位置是留给无理数的。只要我们能够有一种办法来确定“空隙”的位置，也就可以给出无理数的位置。

这一段话可以说是一点逻辑都不讲了。前面只是说明了不能用分数来表示，马上就跳到无理数是否能用无限不循环小数来定义，还说只是出现逻辑上的自身循环。 只是一个不能表示成分数的数，而无限不循环小数是广泛到还没有明确定义的一大群数。很多种运算都会产生无限不循环小数。下面就接着把如何定义无理数的问题改成了如何定义实数的问题。好像是说，实数就是能把线给填满的“点”，有理数只填了线的一部分，还留下许多“空隙”，这些空隙是留给无理数的。这种由有理数和无理数把线段的空隙填满的想法完全是十九世纪那个年代的想法，这些都是时代造成的局限性。一个数，不论整数、分数或小数，都只是一些离散的点。有理数显然只是一些与自然数一样的离散的点。这些点的数目还可以是无限的，书中只证明了一个无理数， 。现在就认为有理数和无理数一起就把线填满了。无理数的定义也有了，就是线上除了有理数以外的所有部分。实际上有理数之间有的只是“空隙”，每一个这样的空隙，都可以填充无限多的点。，实际上全部的线段中，有理数只是占了没有大小的一些点，所以整个线段依然全是空隙。这些空隙能填得满吗？

尽管有了上面那些问题，我们还是继续用戴德金方法来建立实数和实数空间的概念，来看一看当时历史条件下的人们对于数字与数字逻辑的理解程度：他的主要方法是定义数的分划，用分划来代替数字定义运算。我们之所以对此感兴趣，也是因为爱因斯坦在狭义相对论中的定义的相对论运算如出一辙。所有逻辑悖论与逻辑自洽体系一样，也有继承性。逻辑的发展总是从最大限度的普遍性出发，这就是亚里斯多德的公理。当然也不是绝对的，但是总是要从最普遍的事物中提炼出抽象的概念。而个人的直觉总是逻辑悖论的根源，而这种逻辑悖论又是下一代的直觉和逻辑悖论的土壤。所以我们把这一过程照抄下来：

定义：将有理数的全体所组成的集合分成A、B 两类，使满足下面性质：

1. A 与B都至少包含一个有理数( 不空)；

2. 任一个有理数，或属于 A或属于B (不漏) ；

3. A 中任一数a均小于B 中任一数b，即a ∈A，b ∈B

(不乱)；

4. A 中没有最大数，即a∈A,使则称为 A，B为有理数的一个分划， A称为分划的下类，B称为分划的上类，记作 (A|B)。

定义中4不同于1-3，它是非实质性的，只是为了推理的方便。

定义中4用到有理数的稠密性(即两个有理数之间必有一有理数 )，如A有最大数，将此数放入 B，则它是B的最小数，这时 A就无最大数；若A还有最大数，根据有理数的稠密性， A的最大数与B的最小数之间必有一个有理数，这个有理数被漏掉了，这与分划的定义矛盾。

有理数分划是一个逻辑悖论的系列，首先什么是有理数的全体？如果按19世纪数学家所说的，有理数只是有限小数或无限循环小数，有理数是有全体的，那么它一定没有稠密性。有了稠密性就成了无限的概念，那是不确定的。这就是说，有理数如果有了确定的全体，那么 A必有上界。如果有稠密性就是没有确定的全体，它可以不断地加密所以没有上确界。这样就必须问，这里的有理数是稠密了以后，全体固定了再来分划，还是分划好了后还可以再给有理数加密。这里一个根本的问题就是有理数的稠密性问题。有理数应该没有稠密性，如果一定要有稠密性就必须有一个加密的规则。如果分划完了以后还能加密，那么分划前就不是有理数的全体。原先分划的 A和B 在加密过程中就有了改变，就不再是原来的 A和B ，原来的最大数也就没有意义了。这里最基本的一点就是有理数要么是有限的，那么有理数的分划就有确界；要么有理数是无限的，那么就不可能对有理数进行确定的分划。这一点我还将在下面讨论。

我想我们不要再在逻辑悖论的迷宫里再走下去了，戴德金的有理数分划是毕达哥拉斯的有理数悖论下产生的又一个悖论，以后还要产生无理数分划和关于无理数的悖论，一直到实数空间的三个主要特性：连通性、紧性和完备性都是在这样一系列逻辑悖论基础上的逻辑悖论的系列。归根结底，十九世纪数学家们的工作中离开了运算规则来讨论“数的集合”和离开了极限规则来讨论用点 (数字) 把线段(数的空间) 填满，是背离数字与运算之间的逻辑关系的。

当然我们并不能由这一点就否定现代数学的所有工作，就像实数空间理论一样。它的最后的结论中仍包含有一些与逻辑自洽方法并不完全矛盾的东西，也就是说仍有有用的东西。此外由于逻辑本身也是在不断的发展中，我们对于物理实在和与物理实在相联系的逻辑体系的把握也不是绝对的，我们能有把握的属于逻辑悖论的东西也毕竟是有限的。在现代数学中，很大部分还是搞不清楚数学、物理实在与逻辑之间的确实关系的那些东西。所以在现代数学中有不少也许确实是完全没用的，是违背数字逻辑的；也有与逻辑自洽的方法最后并不矛盾的，这就是有用部分；但是更大多数是现在看来是没有用的，但是由于逻辑本身把握的困难，我们也无法知道以后是否有用的。但是我们认为对于现代数学进行逻辑梳理总是有必要的，把现代数学建立于基本的数字逻辑相自洽的基础上，对于发展数学总是有好处的。虽然也许不能笼统地抹煞所有找不到逻辑自洽基础的数学，因为正确的思维正是从对于逻辑悖论的分析中产生的。更不能简单否定与物理实在没有直接联系的数学，因为也许以后我们可能对物理实在和数学逻辑会产生新的理解。但是数学应该成为“关于世界观的科学”，成为自然哲学的逻辑演绎的基础，还是应该坚持的，所以努力建立数学、物理学与逻辑学的密切联系应该是发展数学的一个主要方向。