《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

§ 2.2 关于实数和实数空间的讨论

从数字的运算到函数概念的出现，是数学发展的一个重要阶段，它标志着从初等数学向高等数学的发展。在函数关系中函数的定义域是一个表征函数性质的基本概念。在有函数之前只有数列的概念，数列是一系列数字按顺序的排列，这个顺序就用正整数来表示。所以正整数或自然数都具有逻辑前提的性质，因为它们是具有明确性的，或者用数学语言来说就是完备性的。函数的概念是数列概念的发展，数列是一系列离散的数，而函数就是要把数列这样离散的数字的集合发展为连续的函数。所以实数空间的概念实际上是在“连续”概念基础上的概念。十九世纪的数学家脱离了“连续”的概念，用一个“填满”的概念来代替它，并在此基础上去建立“实数空间”的概念。这实际上也是科学发展过程中常常出现的现象，逻辑在这里中断了，引入了一个逻辑悖论来充当暂时的逻辑前提。我们并不简单地排斥这样的方法，这是人类科学发展中不可避免的现象，在没有找到新的逻辑前提的情况下，人们也往往不容易肯定一个概念是不是逻辑悖论，因为人们在看清楚前面的道路之前，往往已经走过很多的岔道，只有看清了前面的路才能够明白我们是从哪一条岔道“误入歧途”的。自然的路与人间的路有一个差别，人间的路是“条条道路通罗马”的，有时候分不清“歧途”和“正道”，因为从歧途往往同样可以转入正道。在自然之路上从逻辑悖论出发往前走一程，有时是必要的，因为原有的逻辑框架到这里看起来已经是没有路了。这就是人们常说的，科学是一条崎岖的路。但是从旧的逻辑体系到新的逻辑体系之间必然有一段没有现成逻辑的崎岖的道路；正常的逻辑之路被埋藏在由逻辑悖论所织成的无数的人为规定的假设、概念、定理和符号之中。一方面被埋藏着的逻辑依然起着作用，把人类的思维带到了新的境界，而另一方面进入逻辑悖论的路，必然从一个逻辑悖论走向另一个逻辑悖论，直到阻塞了前进的通道。就像一个大树一样，只有连着根系的枝芽才是逻辑的路，但是寄生上去藤蔓不管把真实的树身覆盖得多么严实，依然不会成为向上生长的树身。这就是我们认为为什么逻辑梳理是必要的，但是逻辑梳理不是逻辑的僵化，而是逻辑的发展。逻辑的发展就是要扩大原有逻辑体系的有限论域，这就要透过人为引入的公设所造成的藤蔓，从中找出联系着根系的树身的本体，让它向上发展成枝杈。这就需要新的逻辑基元，把原有逻辑体系的有限论域扩大为加入了新的逻辑前提以后的新的逻辑体系。