《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.1.4 数学发展历史上的第一个逻辑悖论

除法运算的出现是人类思维能力的一个大发展，人们不仅可以从数字向大的方向扩展得到无穷大的概念，这也许就是我们的先人所说的，“有生于无，无生一、一生二、二生三、三生万物”的意思 ^[10]。当然，这里所说的“生”是指产生逻辑思维的概念，也就是数字的概念。先产生有和无的概念，然后产生一、二、三的数字概念，这些数字是用来描述万物的，三生万物，就是说数字可以无限地扩充，从而可以描述世间的所有的事物。在这里“数字”或几何“点”都是人类思维中的概念，而不是实际的物质世界，它是从物理实在中分离出来的数学的或逻辑的概念，这一概念可以使得人类的思维有能力去描述世间万物，而不代表真实的万物。不是像现代物理学家所说得那样，一个“点”可以产生宇宙所有的一切物质的那种“生”。我们现在所讨论的问题都只是从人类怎样去认识和描述我们观察到的宇宙的万物运动形式，即从对于大自然的观察和描述的角度出发的，而不是像某些现代物理学家那样，直接把一个方程式和那里的数和点，变成了一种物理实在。这两者的差别就在于：在我们对物质世界的描述中，就像杨本洛教授所强调的 ^[11]，自然科学工作者仅仅“有限真实”地去表现物质世界中某一个“理想化”部分自身蕴含的抽象同一性。我们不会把人类用来认识和描述物质世界的抽象化的概念、方法与物质世界本身混为一体。在这一点上，除了某些现代物理学家，在古人中也没有产生逻辑上的困难。当出现了除法以后，一个数字可以向小的方向扩展，这种扩展应该有怎样的性质，是不是可以无限地进行分割。如果可以进行无限制的分割，这种分割的性质是怎么样的。这是人类讨论了几千年的问题 ^[12]。

在两千五百多年前，毕达格拉斯学派认为有理数可以度量一切长度，他们以朴素的原子论观念出发，认为一切线段都是由原子构成的，原子是最小的单位不能再分割。假定取作单位线段长由 q个原子组成，被丈量的线段由p个原子组成，则线段之长为：

(1)

后来毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现，正五角形的边长设为1，则对角线长不能用有理数表示。希伯斯因此受到保守派的迫害。但是事实毕竟是事实，随后又发现单位正方形的对角线之长不是有理数，设单位正方形对角线长记作 ，假定它 是有理数，则

为不可约正整数. (2)

得

(3)

所以m²也是偶数，因此 n也是偶数，设

(4)

则

(5)

这表示n²也是偶数，因此 n也是偶数，这与m, n不可约矛盾，所以不是有理数。

人们把毕达哥拉斯的有理数概念称为数学上的第一个逻辑悖论。因为它的逻辑前提是一个单位长度的线段只能包含有限个小数 (或点)，即包含q个小数(或点 )，也就是说小数的最小单位为1/q。这里 q是一个确定的有限的数字。但是几何学定理证明了边长为1的等腰直角三角形的斜边长为 ，而这个数不能用分数来表示。已经证明的几何定理，可以像公理一样作为演绎的前提，这样，而演绎的结果就与逻辑前提发生矛盾。所以毕达哥拉斯关于有理数可以组成这个线段上所有的数的论断是不正确的。这是发生在两千五百多年前的事，那时候并没有逻辑悖论那样的概念，实际上是在牛顿理论发展起来以后，无限小数的性质和连续、收敛这样一些概念在数学分析中变得越来越受到关注，毕达哥拉斯的关于有理数的两千五百多年前的这段公案才受到人们的注意，并把它称为数学史上的第一个逻辑悖论。在 20世纪初期，希尔拜特建立逻辑学基础上的几何学，在逻辑学与数学结合的过程中发展了现代数学。在那里，公理化集合的概念又把这些具有各种不同性质的数的集合成了与几何学中的空间那样具有逻辑前提的角色，这样关于有理数空间和实数空间等等的概念以及由此产生的一些新的逻辑悖论，使得数学逻辑问题又一次引起了人们的关注。最后，在爱因斯坦的以直觉和顿悟产生普遍理论的逻辑和哲学观的出现后，逻辑对于数学和物理学的影响越来越受到人们的关注。科学的发展就是那样，一些古老的概念随着人类思维能力的发展常常可以不断地引申出新的内涵。

我们说数字是人类思维的原初的逻辑基元，那么关于有理数的概念就是与此相连的第一个逻辑悖论。我们之所以说有理数的概念是一个逻辑悖论，这是因为在有理数以前的那些数字的概念有明确性，而有理数的概念没有明确性。有理数的概念之所以没有明确性，是因为数字分割的概念所造成的，或者说毕达哥拉斯的那种分割数字的概念，对于牛顿时代所要描述的物质运动的形式是不适用的，人类需要建立有明确性的关于数字分割的概念，以使那样的数学概念与牛顿对物质运动的描述中所用的瞬时速度的概念能保持有明确性的关系。

有理数的概念也是由人类原初的纯朴的思维中所产生的，认为物质都是由“原子”组成的，这一点本来是合理的。但是把物质看成都是由相同的一种“原子”所组成的，它的大小是一样的，这就是对大自然的一种不合理的认识方法。所谓不合理，更确切地说，应该是那个时代人的一种认识方法。这也是人类思维发展中所走过的道路上的一个里程碑似的遗迹。物质世界是无限复杂的，至少对于人来说是无限复杂的，任何人认为他已经能够或即将能够最终完成对它描述，最后都会被证明是错误的。但是人又必须要去描述它，不去描述它就更不好了。每一种被那个时代的人所接受的描述方法，总是有其合理的地方，但是随着时代的前进，人们对于大自然的观察和描述的能力发展了，看到了以前的理念中还有不合理的成分，就发现了逻辑悖论。能够发现逻辑悖论是人类思维的一个最基本、最重要的原初的能力或人类思维发展的原动力。这个意思是康德所提出来的。康德说，对人类理念的发展，从某种意义上说，都是“否定意义”上的。许多原来觉得深奥的道理，真正搞通了，其实很简单，康德的这一纯粹理念批判也是一样：只要从一点上，不论从多么狭窄的范围内找到了一个已有的理念的不合理的地方，就是发现了逻辑悖论，而建立一个没有逻辑悖论的理论，从一般意义上是不可能的，最好的也只是在某个狭窄应用范围内没有逻辑悖论，那就是一个好理论。超出特定的范围就会发现逻辑悖论。人类思维的发展就是不断发现和剔除逻辑悖论的过程：没有逻辑悖论的不断发现和剔除，人类的思维就不可能发展，同时逻辑悖论的发现和剔除，一般说来，并不会使一个曾经在某一历史时期被人们所普遍感受过的公理，整个地坍塌下来。因为自然哲学中的逻辑悖论总是在逻辑体系的有限论域内被发现的，它不可能超越那个有限论域，而往往只是有限论域内的某个点上的逻辑悖论，把它剔除了，前面对真理和后来的真理就更加坚实地连接在一起了。逻辑悖论有时候形式上也是科学发展的某一特殊环节上的一种特殊的“连接”，但是逻辑悖论本身是没有向前发展的能力的，所以它总是走不长的。一个逻辑悖论必然会在整个理论体系中不断地产生新的逻辑悖论，长期的沿着逻辑悖论的方向走下去，自然科学和社会就会走向错误的发展方向，把人类的思维与人类原初理念整个地割裂开来，成为科学发展的障碍。在自然哲学中，逻辑悖论一般只是障碍科学的发展，到一定时候人类的实践总会把它纠正纠正过来。社会哲学或人文哲学中的“公理”看起来有点象自然科学中的公理的模糊的影子，本身总是不大清楚，所以逻辑悖论和由它所产生僵化的逻辑体系会走得更远些，但是不论一时有多么盛行或猖獗，总会也要枯萎的。这就是自然科学很少有大的倒退的时候，它总是作为社会发展的最基本的因素的原因。

所以我们既不要对于逻辑悖论，即发现逻辑矛盾作过分的反应，其实自然科学和人类社会常常是在存在逻辑悖论和逻辑矛盾的状况下存在和缓慢地发展着。但是更不能抑制或障碍任何发现逻辑悖论的努力，因为这才是人类思维发展的动力。任何认为宇宙规律可以用统一的方式，或试图寻找一种统一的方式来描述，也都会被证明是错误的。这种错误是所有逻辑悖论产生的一个重要根源。人类不断地产生各种逻辑悖论是一种很自然的现象。因为我们不可能去描述无限复杂的现象，总是要在一种假定的特殊(或理想) 的情况下来描述它。而这种特殊情况的假定总是会有其合理性，在超越这个范围时也就会出现不合理性，而这种范围的把握是很困难的。但是一个概念在其超越合理范围而成为逻辑悖论以后，如果继续硬把它作为逻辑前提，去推导新的理论结果、建立新的物理体系，逻辑就会越来越混乱，就不会再有逻辑自洽的结果了，在这种状态下所谓的“理论”的发展，产生的只会是越来越荒谬的东西。这一点是每一个从事科学研究的人所应该避免的。

有理数作为数字概念的一种扩展，本来也不会产生什么问题。它是一个人为的概念，你以什么样的数字作分母就会产生什么样的分数，这与小数一样，用不同的进位制，就有不同的小数，这样把数字的概念进行扩展是人类思维发展的需要，也就是说从数字扩展到“数”的概念，是必要的。数字和正整数、自然数都是相互间隔为 1的数，把这样的间隔可以越来越小的数，与前面的间隔为1的数放在一起，就称为数的集合或称为数字空间，这就有了数字空间和自然数空间的概念，但是这些数字空间的元素是离散的。有理数是间隔比 1小的数字，在数学上常把间隔小于1 的数字称为“数”，但是在信息社会，又把所有离散的“数”称为数字。所以一种称谓只是人们的习惯，很难说对和错。作为一种数学的概念也许可以把任何的数字集合起来称为空间，也只是一种习惯。只有当我们把这些称谓赋予逻辑特性的时候才产生对与错的概念。我们说毕达哥拉斯的有理数概念是一个悖论，是说他给有理数的集合赋予一种特性，就是能够把两个整数之间的所有数都“填满”的特性。但是这里所用的“填满”的概念也是一个不明确的概念，我们用它只是因为十九世纪的数学家給了它一个逻辑的概念，以后常常要用，现在先借用了。毕达哥拉斯只是用“任何两个直线的线段之比都可以用分数来表示”作为它对有理数 (分数) 所赋予的逻辑概念。有了这个逻辑概念的“有理数空间”的定义就是一个逻辑悖论。具有逻辑悖论的概念不能作为逻辑前提，以这样的逻辑悖论作为体系的前提，就不会再有逻辑的自洽性。

从数学的发展来说，需要把分离的数字发展到具有“填满”的性质的“实数空间”是必然的。但是“填满”这样的语言概念还要赋予逻辑界定的性质，或逻辑理念。所谓逻辑的理念就是指具有明确性的概念。但是怎样来把正整数之间的数“填满”呢？也就是十九世纪的数学家怎样来构筑“实数空间”的新的数学逻辑体系，却是一件还没有完全解决的问题，他们所构筑的实数空间实际上仍是一个逻辑悖论。这里可以只用一句话来说明十九世纪数学家所建立的实数空间也是逻辑悖论，那就是：他们是在有理数空间这个逻辑悖论的基础上来建立实数空间的，而从逻辑悖论的基础上是不可能建立起逻辑自洽的体系的。但是要说清楚怎样才能建立一个不是逻辑悖论的实数空间却要困难得多了，这就需要两百年来所积累的感性材料，特别是信息社会所积累的感性材料。