《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.1.3 数字概念与运算方法的扩展

上面特别强调了数字( 正整数)和数字的加法是构筑整个数学逻辑的基础。而在这一过程中数字和数字的运算首先又与几何学结合在一起，这是因为数学本身是一种人类的逻辑思维能力的表示，而这种以逻辑思维能力既是人类认识自然规律的基础，又只能在人们认识自然规律的过程中获得不断的发展。几何学，或者更确切地说作为几何学基础的空间概念，可以看作是人类对于自然界规律的一种原初的认识或理念。当然这种原初的理念是粗糙的，但是它是可靠的，它是发展人类知识的“根”。“形”的概念就是关于空间的概念，作为人类思维理念的数学，看来不应强调“形”的理念，因为它只是从数字理念发展出来的一种从属的理念。虽然数学的对象不仅是自然科学，也是人文科学的越来越重要的基础，但是正如前面所指出的，人文科学在逻辑上的不严格性和不稳定性，使它不会对数学的逻辑发展产生本质上的影响，而只是把数学作为一种工具来应用而已。所以数学与物理学的分离，或者说数学与自然科学的分离，不应看作是本质上的分离；而只是因为物理学本身的复杂性，把数学与物理学僵硬地结合在一起，就会把物理学发展过程中所不可避免的逻辑混乱带到数学中来，使数学的发展变得更加复杂和困难。所以数学与物理学的分离是必要的，但是这种分离只是暂时的，非本质的，而他们的联系是永久的、本质的。现在一些科学界的权威人士强调数学不属于自然科学，这种观念并不利于数学的真正的发展。一些有见地的数学家始终把数学看作是研究世界观的科学。而从人文科学中是得不到真实的世界观的，所以数学的“根”就是人类思维能力的逻辑学，而这种逻辑学只能在人类认识宇宙的过程中产生和发展。所以说到底数学只能是自然哲学的一部分。我们这里用了“自然哲学”这一名词，实际上自然哲学与自然科学也是不易分得很清楚的，但是一般说来自然哲学是指自然科学中探索自洽的逻辑体系的那些基础理论科学部分，而不是探索感性材料和应用的技术科学部分。或者说自然哲学本来应该是指自然科学中探索普遍原理的基础理论部分，但是现在的所谓自然科学的基础理论研究的主流派已经完全背离了逻辑自洽性的方向，它们比应用技术科学更加没有普遍的公理性。所以必须重新应用“自然哲学”这一名词作为物理学和数学的共同的基础。数学与物理学的分离不是目的，而正是为了不受物理学发展中常常会出现的逻辑混乱的影响，更好地为物理学的发展提供逻辑概念和演绎方法的基础，数学与物理学的分离正是为了更好地在逻辑自洽的基础上结合起来，发展人类认识自然的能力。所以数学的发展，除了有自身的规律和逻辑规则外，这些数学自身的逻辑规则不仅应该逻辑自洽，同样应该从根本上与客观实在保持联系，当然这种联系不是像物理学那样直接的联系，而是更广泛意义上的联系。

数学发展的早期是算术学和几何学相分离的，但是都与人类生活中的客观实在密切联系在一起，特别是与物理学的基本逻辑基元，空间和时间概念的建立和发展，也与天体运动的观察结果的描述紧紧地联系在一起。笛卡尔的解析几何的创立打破了算术学与几何学的界限，都成了数学的一部分，而笛卡尔发展解析几何的目标就是为了用逻辑的方法来研究整个自然界的运动规律。那时候逻辑学、数学与物理学可以说是完全分不开的。在牛顿理论体系建立以后，由于牛顿理论体系的有限论域的限制，使得物理学不得不为了打破这个逻辑前提的限制，而放弃严格的逻辑自洽性的时候，数学逐步地与物理学分离了。这种分离在当时是必要的，数学和物理学各自都必需面对自己的逻辑体系的自洽性问题。而现在正应该是强调重建数学与物理学的密切联系的时候了。现在数学与理论物理基础科学已经被分割得支离破碎，分支学科越来越窄，互相之间越来越无法沟通。造成这种状况并不是由于科学发展，使人类的智慧和能力跟不上这些基础科学理论的发展；而正是物理学的逻辑混乱造成了数学、物理学与逻辑学的分离，而分离的结果进一步促进了逻辑的混乱，由此所造的恶性循环的结果。

在早期数学发展的过程中，逻辑的发展也确实比较简单，人们以数字和加法为基础，把加法的逆运算，称为减法。当用小的数去减大的数时，“数字”就不够用了，于是出现了负号和负数的概念，把数字同它的正、负号连在一起产生了自然数。自然数可以从正和负两个方向作无限的扩展。从加法运算又产生了乘法，乘法运算不需要扩充数的性质，但是扩展了向无限大扩展的过程或速率。当从乘法扩展到它的逆运算——除法时，人类的思维有了一个飞跃，也因此产生了各种困惑，这种困惑实际上一直影响到现在。这就是数字向着小的方向的扩展过程。总起来说，乘法和除法运算的出现，随之而来的产生了无限的概念。向无限大方向的扩展实际上在加法和减法运算时已经产生，但是那时只产生数字可以无限大的概念，而乘法运算的出现产生了向无限大扩展的速率的问题，乘法运算向无限大扩展的速度比加法运算要快得多。除法运算的出现产生了无限小的概念。无限的概念的出现是人类思维能力发展的又一个标志。但是在乘法和除法出现后的很长时间里人们无法把握无限概念的逻辑性质，因而产生一些逻辑上的困难。如“飞矢不同”、“兔子永远赶不上乌龟”这样一些悖论的出现，但是这些悖论只是没有严格概念的争论，而真正具有现代数学逻辑意义的逻辑悖论就是著名的毕达哥拉斯的关于有理数的逻辑悖论，