《物理学原理（第二卷）哲学、数学、物理学》

第二章 关于数字、运算和数学的逻辑体系

2.1.2 数字的可运算性

在自然哲学中我们也要给数字加上一定的规则，但是这不是任何人为的规则，而是自然的法则。这个法则没有人为的痕迹，而是像数字本身一样的单纯、简洁，全世界不论那种地域的人群都能够自然地体验到的“公理”，这就是数字的均匀性。这种均匀性概念的描述比明确性要稍稍复杂一些，因为它不像明确性和无限性那样直观。 这种均匀性实际上也只是物理实在中并不严格的均匀性的一种抽象，因为从物理上看，任何均匀性也都是相对的而不是绝对的。均匀性是为了可运算性而抽象出来的。为了可以运算，那些实际上不均匀的事物，也必须把它看作是均匀的。因为只有“均匀性”才能产生“可运算性”，只有可运算性才能产生逻辑演绎规则。现在我们在超市上买某些商品，如鸡蛋或苹果，常常是按个数来卖的，它们的大小也不完全一样，但是在买卖时，我们把它看作是均匀的。不仅在日常生活中，在物理学中，在最前沿的理论物理中也是一样，“时间”就是具有这样性质的一个重要的物理量。“年”是一个常用的表示时间的量，它就是不均匀的，不同的年所包含的时间是不一样的，现代物理学家常常告诉我们宇宙诞生于几百几十亿年之前。这个年也是不均匀的量，特别是当太阳和地球还没有形成的时候，谁也不知道这个“年”的时间概念是怎样来确定的。这些作为逻辑基元的量不是实在的物理量，而是逻辑量，是客观实在反映在我们思维中的量，或者说是我们的思维逻辑中用来描述与客观世界相联系的一种理念。我们常常把它们称作“逻辑基元”。这种逻辑基元实际上是从一些人人都可以感受到的概念中抽象出来的，为了使它具有逻辑演绎所必需的明确性，从具体的物理概念中抽象 (或分离) 出来的数学概念，所以这种抽象的逻辑基元总是与一个确定的适用范围紧紧地联系在一起，就如超市中的苹果那样，只能对超市规定哪些苹果才可以按个来买，而不是对所有的苹果。数理逻辑中的逻辑基元也是一样，它总是与一个确定的范围联系在一起，这就是我们所说的所有的物理学的逻辑体系都有一个“有限论域”。

人类认知的逻辑发展过程总是与一定的有限论域联系在一起。对于有限论域的讨论在发展数学和理论物理学的过程中有着极为重要的意义。对于商场中苹果的买卖来说，它的有限论域是很窄的，而对于数字的运算规则来说，我们却要求它有尽可能大的有限论域。这就是数学与物理学的差别，物理学是研究物质运动规律的，它的有限论域是由物理问题所决定的，就像苹果的均匀性一样，是由商场根据价值规律来决定的一样。而数学上的运算规则的适用范围当然是越大越好，在经典的数学以及更为古老的算术中都是把正整数的加法直接作为所有数学运算的基础。以后把算术与几何结合起来，把加法的逻辑界定与直线的概念联系在一起。把直线 (或线段) 看作是没有粗细的线，而把没有大小的点按顺序排列在直线 (或线段) 上。把一条线段放在直线上，如果线段上有两个点与直线上的两个对应的点相重合，则线段上其他所有的点都与直线上对应的点相重合。这就表示数字的均匀性。由此可以定义线段 (或数字) 的相等、大于或小于关系，并在此基础上定义了线段 (或数字) 的加法。这样定义的加法就是以后所有数学运算的逻辑基础。

但是相对论与非欧几何的出现给上面的定义提出了质疑，对于平面的概念，或对于如何在平面上作直线的概念提出了疑问，认为欧几里德几何中无法确定如何在平面上作直线，或者更实际的问题是欧几里德几何中常用的平面是指地球上的水平面，而实际上水平面并不是真正的平面而是球面的一部分，所以真正物理上存在的几何应该是非欧的几何，而不是欧几里德的几何。这看起来好像确是一个应该考虑的问题，这个问题把整个物理学和数学都搞乱了，这个问题实际上就是我们的《物理学原理》所要研究的一个基本问题。所以我们现在先不讨论平面和直线的问题，把它放在物理学的空间逻辑界定以及以后更复杂的物理学问题中再去讨论。我们先不考虑直线和平面的概念，而只是把上面定义的“线”和数字的运算的界定，看作只是对于一种满足上面定义的抽象的点的一种排列规则。满足了这样的排列规则的点就组成了“线”，就产生了加法运算的概念，而不去具体地研究“线”应该具有的是不是“直”的性质。有时候其实也可以直接把数字的加法运算作为人类的思维的原初能力的一部分，这种原初概念上的运算规则是以后所有数学运算和逻辑演绎的基础。对于原初理念的理解是一件不容易的事，有时候只要相互之间没有矛盾，也就算了。数字与加法运算的原初逻辑来源就是这样。加法运算既是扩展出以后所有越来越复杂的运算方式的基础，也是对那些运算方法的逻辑自洽性检验的最终标准。一般说来数学的逻辑自洽性并不直接受物理问题的逻辑自洽的限制，但是它是构筑物理问题的逻辑自洽性的基础，本身应该保持严格的逻辑自洽性。整个数学就是研究数学对象——由数字扩展出来的关于各种“数”的集合的概念与运算的概念以及运算结果之间的关系。数字的概念产生了最简单的运算概念；运算概念和运算的结果扩展了数字的概念，产生了越来越复杂的“数的集合”；反过来数字概念的扩展进一步产生了更多更复杂的运算概念。数学就是研究运算规则与“数的集合”之间相互联系在一起的逻辑自洽地发展的过程。在这一发展过程中，总是与物理实在联系在一起，首先与时间和空间的逻辑体系结合在一起。与物理实在的结合使它产生各种“形”的概念。但是数学与物理实在的结合不是机械的结合，而是各自保持独立的逻辑体系。因为物理实在是无限复杂的，光是时间和空间的逻辑概念的认识过程就是一部到现在还说不清楚的长书，数学的逻辑体系不能凝固在某种物理实在上，但是作为物理学的语言，数学自身的逻辑自洽性就成为自然科学发展的一个基础性的问题。而整个数学逻辑的基础就建立在对于数字和数字之间的可比性和可运算性上，正是数字的这个性质使它成为人类思维能力的原初理念或“逻辑基元”。