--《物理学原理（第三卷）相对论、量子力学、数理逻辑》

1.1.4 牛顿理论框架的数学体系

牛顿的理论体系最后要落实在他的数学体系上，实际上这个数学体系不是牛顿一个人的某个假定所产生出来的，而是从开普勒-伽利略到16世纪的整个数学家一起创立起来的，而且从17到19世纪的数学家又对它进行了长期的、大量的逻辑探讨，直到现在我们还在一直对此进行着逻辑的研究和探讨。实际上牛顿和牛顿时代的科学家们所做的工作只是对古代文明中的时间-空间观念作出了总结，搞清楚了从亚里斯多德-托勒玫-开普勒-到伽利略时代的物理学观念的合理性和局限性，把新的物理学体系牢牢地与人类历史发展的逻辑理念结合在一起。而对它本身的逻辑体系的合理的完整的认识，实际上要在普朗克-爱因斯坦-玻尔等19世纪和20世纪之交的科学家们发现的大量的感性材料、在希尔拜特-爱因斯坦-闽可夫斯基等大量的数学理论、直到21世纪出现的一场关于相对论和量子理论的争论以后才有可能搞清楚。这是人类思维的特点，总是在长期的、反复的争论过程中发展起来的。总是在与“科学共同体”的僵化思想和垄断行为作斗争的过程中发展起来的。

牛顿时代开始的人类思维发展的最大特点就是对无限小建立逻辑理念的过程。没有对于无限小的逻辑界定就没有以后数学和物理学发展的可靠的基矗无限小的概念从哲学上实际上是与人类观察世界的有限真实性联系在一起的。在张操的一本书^[6]上有一段非常有意思的话：“如果没有测量的误差，如果人们的测量从一开始就是精确的，那么我们就什么科学理论都建立不起来了”，科学理论就是建立在测量误差的条件下。但是这种测量误差不是那个人的测量误差，而是人类认识水平的历史反映，也就是我们一再强调的有限论域。人类的理念是从人类的观察到获得“映射”图景之间的桥梁。这三者都是在发展的，所谓发展就是明确性和精确度的发展。人类只能获得相对真理，这个相对真理就是一定历史条件下人类的理念、观察能力和获得的“映射图景”之间的合理关系。这种合理关系的基础不是观察能力、映射图景与理念的明确性和精确度，而是在于亚里斯多德所建立的关于公理的基本定义，就在于人人都能够感受的这一特性上。牛顿关于无限小的理念是从时间的可无限均匀分割性这一点上出发的，这是人人可以感受到的。所谓人人可以感受，也不真的是任何时间、任何一个个人都可以感受的，而是说明人类思维发展的过程，而是说明人类思维总是有一个整体性。不论东西方的古代文明中都有关于时间无限分割的讨论，这就是牛顿关于极限定义的基矗

我们在第二卷的讨论中，特别详细地讨论了19世纪数学家关于“实数空间”的建立过程中的逻辑悖论。并不是说，我们不需要“实数空间”这样一个逻辑理念，实数空间的逻辑理念对于数学分析的发展是需要的，但是它无法建立在用无理数把有理数的“空隙”填满，这样一个逻辑悖论的基础上，无法建立在“确界”这样僵化思维的基础上。

实际上数学的基础，它的理念和运算都应该建立在人人能够感受的公理的基础上。这个公理又是相对的，也就是说人人能够得到的感受，也有相对性；一定的历史条件下，人们只能感受到一定的程度。在牛顿的数学理论上就是体现在时间的极限理念上。在那里有多么小并不是问题，问题在于，人类的观察能力要求它小到什么程度，它就可以小到什么程度。但是反过来，人类观察能力能够发展到什么程度又取决于人类实践对于时间测量的精度。从逻辑上我们必须分清楚两种时间精度的完全不同的概念：牛顿的无限小时间是逻辑概念上的，而人类能够达到的时间精度是属于实践能力上，是一定条件下的对物质世界的观察，是属于外部世界的。在牛顿的时代，一切物理量都是时间的函数，从数学上来说就是函数的范围要求小到什么程度，我们就可以寻找时间间隔小到什么程度。函数在牛顿时代是以质点的“位移”来代表观察的物理量，希望观察量小到什么程度，用来表示。如果对于任何一个当时人们所能够感受到的小量，都可以找到相应的，这个函数就成为连续函数。这时就是函数在自变量为时的极限。实际上这个极限值是没有“确定值”的，但是逻辑上它有了明确性，逻辑上的明确性不是数学上的绝对的确定性。逻辑上的明确性中包含了人类在一定历史条件下所必须容许的误差。但是这个误差不是固定的，可以随着人们的需要来决定，最终是由人类的不同历史条件所决定的。逻辑所蕴涵的是人人、处处和时时，虽然在一定的历史条件下它是有限精度的，但是随着历史的发展它的精度是没有止境的，如果到了不再满足没有止境的精度的时候，就到了人们必须打破那个理论体系的框架，去寻求建立新的理论体系的时候了。在微观世界中，人类的观察物理量的精度和时间的精度，变得不能在牛顿的无限小的理念的所表示的那个逻辑体系上得到满足的时候，牛顿理论的有限论域就被超越了。量子力学中的测不准原理从这点上来说，是提出了一个物理学上划时代的哲学上的新理念，但是由此引入的几率概念没有明确性，把物理学引向了混乱。我们不是笼统地否定相对论和量子力学，这些问题将是相对论和量子力学讨论中的最重要的问题，这里不再深入讨论。但是我们先指出一点，解决这个问题的方法不是否定牛顿的逻辑前提，即关于质量的逻辑界定，因为那样一来必然会引起整个牛顿力学体系的被破坏，看起来一个合理的道路是扩大逻辑前提，特别是增加逻辑基元。

从牛顿数学的严格的逻辑来说，它只允许时间是自变量，而没有空间这个自变量。空间在表示质点的位置时，它是物理量，是时间的连续函数。但是在扩大了的经典力学体系中，有了空间这个自变量，这样的数学体系实际上已经超越了牛顿的经典数学(微积分)的体系。所以没有一种实际的力学的数学体系有数学上的逻辑自洽性，任何空间微分和空间旋转进入到数学体系，就必须从新研究两类不同逻辑性质的自变量之间的逻辑关系。牛顿理论的数学和物理的自洽性，只限于存在唯一的牛顿引力的条件下，即物理量的分析的自变量只有单一的时间。我们说“分析的自变量”是说牛顿体系中可以把空间量作为初等数学中的自变量，但不能作为微积分的自变量。初等数学是只进行初等数学运算，而不参与分析的数学演绎过程，或者说初等数学的演绎逻辑只限于均匀分割的分离的数之间的四则运算，而不能对于引入了无限小的逻辑理念的微积分进行分析。数学的理念是时间和空间理念的基础，只有无限小的逻辑理念的建立，才能够得到时间和瞬时速度的理念。而这些就是牛顿关于物质质点运动力学的基矗

所以从空间进入分析数学的自变量开始，牛顿理论框架就开始不再完全适用了，但是人们还在用，而且直到现在还在用。这种用是属于应用物理学的范围，它可以帮助我们获得特殊的物质运动是“什么样”的感性材料，而不能作为普遍的理论来扩大逻辑自洽的演绎的范围。数学问题是一个很复杂的问题，就像我们在第二卷中所讨论的，一个最简单的实数空间的理念，要把它说清楚就要进行大量的演绎和分析。这里，我们不再重复。但是这个问题的重要性，即作为不同类型的自变量的不同性质在同一个方程组中出现时，怎样搞清楚其中的逻辑关系是现在整个数学和物理学都需要研究的问题。也是本书后面一直要讨论的问题。