--《物理学原理（第三卷）相对论、量子力学、数理逻辑》

1.1.2 牛顿力学模型是一个没有结构的物质模型

我们说人类思维的发展过程就是“假设”的过程，但是所有对人类思维发展有过作用的假设，都是对把人类所已经获得的感性材料归纳为普遍的理论，或者说把前人获得的所有特殊的感受，抽象成一个新的理念(或新的逻辑前提和逻辑基元)是有过帮助的。只有这样的假设才是永远被保留在人类思维的历史博物馆中，否则根据“节约思维”的原则，所有没有这样作用的假设都会消失在历史的长河中。个人所能够感受到的永远只是感性的材料，不可能直接感受到“理性”；同样个人所作的任何“假设”都只是一种假设，不是任何真理或“公理”。因为那些能够把以前的感性材料归纳为普遍理论的假设，只对前面的历史来说是有用的，而又必然要被后面的历史所“否定”。中华文明中的由水平面和铅垂线组成的“太极和八卦”，对于把从“光阴”测量中所获得的材料中，归纳出农历年的“天时”是有用的“假设”，它使人类对于时间的理念获得了发展，这个时间的理念虽然还会被发展，发展的更加精确，内涵更加丰富，但是那些发展永远是在前面公理基础上的发展，不会与前面的公理相割裂。但是太极和八卦只是一种“假设”，它既不是完善的，也不是明确的，这些不确定的成分就会被一些人发展成只对某些个人或某部分人有用或有利的观念，并把它奉为“永恒的真理”。所以所有人为的“假设”总有一天又会被“否定”的。这也就是杨本洛先生所提出的“有限论域”和“逻辑梳理”的含义。历史上所产生的“真理”到一定时候，都要梳理一下，看一看那些“理念”已经和随着人类的思维和实践的发展而扩大了的有限论域不再相适应了，那些不适应时代发展的东西应该梳理掉，只有这样才能够保护新思维的发展。

人们对于牛顿理论一直在进行着讨论，这种讨论永远不会结束。我们与主流派现代物理学家们的分歧主要点就在于，主流派物理学家认为“宏观物理学时代胜利结束”，现代物理学是基本的普遍的理论，而宏观物理学只是它的一种特例或近似。我们认为现代物理学扩大了物理学的研究论域，但是它没有建立起自己的普遍理论体系，实际上只有在经典物理学的基础上才能够真正建立起现代物理学的普遍理论体系。现代物理学中的所有的人为的假设不论是相对论的假设，还是量子化的假设都是一定会被否定掉的。一种新的普遍的现代物理学的理论体系只有在更加深刻地理解牛顿理论、更加精确地理解时间和空间理念的过程中才能够产生。

什么是牛顿理论中的基本的假设呢？这一点实际上并没有搞清楚。或者更加确地说应该是，什么是在牛顿那个时代所建立的有限论域下自洽的物理体系中的最基本的理想化的假定呢？那就是关于物质模型的假定。当然这一点并不是牛顿或什么人说过的，而是随着人类思维和实践的发展所应该认识到的：牛顿理论体系的理想化的理念的基本假定应该就是这一点。因为只有这个假定才能够把人类的思维从过去的理念与以后的理念逻辑地连接起来。

关于时间和空间的理念，并不是牛顿所建立的，牛顿只是把已有的时间和空间的理念加以发展，使它更加明确化。而没有对已有的理念作根本上改变。关于牛顿的力的理念和加速度的理念都是在物质模型基础上建立起来的，本身既没有独立的物理内涵，也没有独立的数学逻辑。

我们把牛顿理论的理想化有限论域界定在“质点”这个基本假定的基础上，是因为只有这样，牛顿的逻辑自洽的物理体系才可能明确地建立起来。而把其它的“假定”作为出发点，就永远也不会争论出一个逻辑的结果。这就是逻辑界定和人为假设之间的差别，也是逻辑界定和一般的定理之间的差别。

首先是关于“力”理念和假定，离开了“牛顿质点”的假定，万有引力的假定就没有意义，或者说就没有明确的内容。实际上“力”的概念直到现在我们还无法把它说清楚。我们能够说清楚的只有其中的一部分的理想化的“力”的概念，那就是质点与质点之间存在引力。只要我们承认所有的物体都是由牛顿定义的只有质量和位置表示的“质点”所组成。为了用牛顿理论来解决物理实在的问题，还必须假定可以由这样的质点组成“刚体”。刚体由质点组成，内部是没有结构的，也就是说刚体内部质点之间的力和平衡的结构是不考虑的，它是永远不会变形的。所以一个刚体与另一个刚体之间的引力，可以看作两个刚体之间的所有质点间的引力的总和。只要有了这样的质点和刚体的模型和相应的引力模型，这个引力就必然与距离平方成反比。现在还有人不“相信”万有引力是与距离平方反比的，还在设计实验来证明。实际上任何实验都是证明不出来的，因为质点和刚体是没有的。承认了质点和刚体的模型就自然可以通过几何学的原理来推出万有引力必然与平方成反比。

只要假定存在两个由相同质量并均匀分布的质点组成的大小不同刚体球；大球由M个质量为m的均匀分布的小质点所组成，小质点的位置用r_{mi，i=1,2,3…M}表示，大球总质量为M×m，质心位置为R_m0表示；小球由N个量质量也为m的均匀分布的质点所组成，位置用r_{nj，j=1,2,3…N}表示，小球总质量为N×m，质心位置用R_n0表示；(见图1所示)。根据牛顿的质点模型，每一个球都可以用质量集中在质心的点来表示，但是也可以把每一个球看成有很多相同的小质点组成的，在考虑万有引力时，不考虑同一球体内的质点之间的作用力，这些质点间的相对位置也是不变的，两个球之间的所有小质点间的力用矢量方法叠加起来得：

图1.考虑由理想质点模型组成两个球之间的引力的示意图

(1)

这一公式可以转化为积分方程的形式，不难证明通过积分，从上面的方程式可以得到：

(2)

这就是牛顿定律中所用的形式。也就是说，要保持牛顿质点模型下引力的逻辑合理性，力必须与距离平方成反比。如果我们把分母平方，改为幂函数用()次方来代替2次方，只要从小质点之间的引力得到的总和等于用质心和总质量表示引力，则必然有，否则小质点间的引力和就不等于牛顿模型下的两个大球之间的引力。所以万有引力是牛顿物质模型的逻辑结果，所以我们把牛顿的质量的假定，不看作一般的“人为假定”，而是由逻辑界定的性质：即它对于每一个特殊的物体并不适用，而只对于理想化的体系才是逻辑自洽的。因为实际上不存在牛顿的那种质点或刚体。所以牛顿理论对于实际的物质世界并不是精确的。而且对于理想的刚体模型，如果形状是不规则的，我们也不能证明牛顿万有定律的合理性，质心只有对均匀分布的球之间，或大球直径无限大时，小球改为任意形状的刚体时，才有固定的质心，否则质心会随着运动过程而改变。这样万有引力定律也就需要改变。

也就是说牛顿理论的严格的有限论域只是对于“质点模型”才适用。而质点模型实际上又是并不存在的，所以必须扩大到刚体的模型，那种刚体不仅是内部没有结构的，而且必须是严格均匀球分布的。这样的模型就称为“理性化的模型”，这个理性化的模型与太阳系的行星运动模型之间有极大的类似性，所以是太阳系的行星运动为牛顿提供了一个极为精确的“理想化”模型，这样的物理模型是没有任何人能够设计得出来的。但是那样严格的理想化条件会限制理论的应用范围，只有把它扩大到实际的应用范围，这个理论才能够应用到人类认识自然界的物质运动规律中去。应用范围的扩大就产生逻辑的不自洽，就会产生“误差”。在牛顿力学中，物理学家并不把应用领域限制在“质点”模型中，而是把质点扩大到“刚体”。而对于刚体，我们只能证明两个均匀分布的刚体球可以通过几何学的方法，证明其力的规律与质量集中于“球心”的质点是一致的。如果我们要把牛顿引力的理论扩大到具有任意形状的刚体模型中去，这就必须要用场的理论。在静电场理论中就解决了比牛顿的万有引力定律更加宽广的逻辑界定的形式：自那里我们可以把符合牛顿的万有引力的理想化条件扩大到“保守力”的概念。但是要说明保守力的概念，单用几何学的方法是说不清楚的，必须要用场的理论。也就是说在牛顿理论体系下，我们只能把引力限制在没有结构且均匀球体分布的“刚体”的狭窄范围下。所以在牛顿力学框架下，实际上我们还无法说清楚保守力的概念。也无法说清楚为什么“力”有复杂的形式，为什么我们不论通过什么方法，都不可能像库珀所希望的那样，把所有的力都转化为“保守力”的形式。

在第一卷中引用库珀书中所提出的，实际上代表了所有物理学界的共同观念：人们总是希望能够通过不同的方法，可以把“力”都表达成具有保守力的那种性质的力，这样一来，牛顿框架中的质量、能量和动量的守恒就都可以用了。所有的物理学的规律又都可以纳入到牛顿的逻辑前提中的三个逻辑基元中去了。但是，麦克斯韦的电磁场理论的出现实际上是对于这一点的否定。在麦克斯韦理论中，我们要讨论在另外一种与刚体的假定不同的理想化的物质结构的(带电性的粒子和理想导体模型)的假定下，电磁场实际上必须分离为两种相互独立的场(场与波)，而只有那种库仑规范下的电荷场，由那种电荷场所产生的力，才具有与牛顿引力相同的保守力的性质。这些我们将在电磁场理论和相对论的研究中作详细的讨论。牛顿理论框架对于保守力的体系都是适用的，但是保守力的体系并不只是牛顿力的体系，或者说牛顿引力具有保守力的基本特性，但是并不是只有牛顿引力才具有那种保守力的性质，我们可以把保守力的性质搞得更加明确和细致，从而获得对于“力和物质相互作用”的更加丰富的认识，而又不与牛顿的理论框架相矛盾。也就是说，我们可以发展和扩大牛顿理论体系，而又是在继承牛顿理论体系的条件下来发展自然科学的理论体系。

我们以后讨论时还要指出，电磁场理论中被分离出来的保守力，在数学形式上可以用牛顿理论，即把牛顿的惯性质量和运动定律的数学体系用到仅存在保守力体系的电磁场理论中去，但是那个惯性质量的实际物理内容已经完全不同了。我们把牛顿所建立的保守力和保守力下的运动理论用到电磁场理论的某一特殊的形式中去，看起来把电磁场理论纳入到了牛顿理论的框架中了，而实际上这两个理论框架是完全独立的。而且最后还可以把这两个独立的物理体系，在新的数理逻辑框架中统一起立；只有在那个时候，我们才能够得到真正的在继承牛顿理论框架基础上的新的自然哲学的数理逻辑体系。这个新的自然哲学的数理逻辑体系，需要从相对论、量子力学和电磁场理论的发展中获得所有的有益的启示，但是更是“否定”那些理论中的所有的不符合逻辑自洽性的人为假定的过程中才能够实现。为了达到这一点，我们同样必须对牛顿理论，进一步对于时间和空间的逻辑理念有更加深刻而细致的理解，同样要否定那些理论体系中的没有逻辑自洽性的内容，而继承逻辑界定中最基本的那些理念。

有了保守力的概念，牛顿的第三定律也许可以有一个比较明确的内容，否则牛顿定律中的作用等于反作用定律没有明确的内涵。只有在保守力的体系下才满足牛顿第三定律和牛顿力学概念上的能量守恒定律。我们上大学的时候，特别强调一切理论都来自实验。但是任何一个具体的实验其实都是近似的，它并不能得到任何反映物质普遍运动的规律。只有通过人类已有的理念和人类大量实践的历史的总结，才能够获得物质运动的普遍规律。而且这种物质运动的普遍规律也只是某种理想化条件下的普遍规律，即与一定历史时期的人类发展相适应的普遍规律。

牛顿理论在时间和空间的理念上首先是接受人类已经存在的时间和空间的理念。在第一卷中我们已经详细地讨论了正是人类的时间和空间理念的出现，才得到了太阳系星体的运动规律——开普勒行星运动三定律。但是对于牛顿理论来说，开普勒的行星运动定律只是一种“什么样”层次上的规律，而牛顿在这个基础上获得了“为什么”层次上的规律。但是实际上人类认识世界的层次也是在不断的发展的：在某一有限论域内，它只是一个“什么样”的认识层次，而在更狭窄的有限论域内它就是“为什么”层次上的认识；而一个被认为“为什么”层次上的认识，到了更扩大的有限论域内，就成了“什么样”层次的认识。人类有永远问不完的为什么？但是一般说来“什么样”的认识层次与“为什么”的认识层次之间有一个差别，那就是“为什么”层次上的认识，是一个逻辑自洽的认识体系，虽然它只能适用在一个有限的论域内，但是在这个论域的范围内是逻辑自洽的，没有思维的混乱和矛盾，或者如人们所常说的是一个理性的认识，或者说是一个普遍的理论。这个逻辑自洽的逻辑体系必须有一个明确的有限论域，这个有限论域的最外层就是论域的边界一定也有一个“假设”，这个假设就是那个时代的人类的认识边界。在假设之内我们可以找到支撑这个逻辑体系的逻辑前提，逻辑前提的核心就是逻辑基元。它所支撑起来的有限范围内的知识体系应该是没有矛盾的、逻辑自洽的。所谓逻辑自洽，不仅是指它的数学演绎有完全的自洽性，即明确性。同时这个数学的明确性与理想化条件下的物理实在有最高程度的一致性。但是人类的知识是不会不完全局限在这个有限论域之内，必须延伸到有限论域之外，在那里人类的知识总是没有完整的逻辑体系，常常是相互矛盾的。我们讨论物理学、数学与逻辑的关系，并不是要把我们的知识局限在某一个有限论域之内，在一个看起来是一个普遍的、自洽的逻辑体系内去建立人类的“完整的知识体系”，相反正是为了更好的探索更加广阔的未知的世界。研究数理逻辑，研究把数学、物理学与逻辑学统一在一起的自然科学的基础理论，主要的目的只是分清楚那些知识是逻辑自洽的普遍的理性的知识，那些知识只是对特殊个体事物的感性认识，那种认识只是对某个具体问题在一定条件下才适用。

当自然科学的历史上一旦形成了一个获得公认的有限论域下的普遍理论体系之后，再在有限论域内的演绎，不会有很大的意思了，因为在一个逻辑自洽的体系内，逻辑前提一旦被确定，逻辑演绎再也不会产生新的超越逻辑前提的东西。所以一个所谓的普遍的理论体系，或自洽的逻辑体系中还是会有一个不确定的部分，这个不完全确定的部分就是这个体系的有限论域。这个有限论域就是一个既模糊又确定的边界：但是在有限论域内部是逻辑自洽的。科学家要进行科学创新，就必须在这个模糊边界以外进行探索，进行这种实践探索的时候，人们总是要小心地保持或维系与已有的理性知识体系的联系，那个旧的理性体系实际上仍然对有限论域以外的实践保持着某种理性的约束，使那些感性材料保持着与理性的某种合理关系。当人们的实践和感性知识的范围越来越大，原有的理性认识已经无法再与其保持合理关系的时候，也就是人类知识的发展到了必须打破旧的理论体系，建立新的自洽的逻辑体系的时候了。

当然打破旧的理性知识的体系建立新的理性知识的体系不是一个突变的过程，同样也有一个长期的探索过程，有很多中间性的发展过程，有一些相互矛盾的暂时性的理论来维系实践和理性之间的某种关系，但是最终还是需要一个新的理论体系来代替它，没有新的逻辑自洽的体系，科学的发展就会受到无法克服的障碍。

牛顿的没有结构的物质模型到十九和二十世纪之交的时候，就到了不能再解释人类实践所获得的感性材料的时候了。这个感性材料就是电磁现象的实践和应用。实际上牛顿的理论体系从诞生的一天起就受到反对者的挑战，17世纪的时候，最主要的是“热质说”，到十九世纪就是“波动说”，所有那些挑战牛顿物理体系的理论，都有一个特点，就是挑战牛顿质点的物质模型，就是挑战那种模型下单一的引力体系。热质说认为物质内部应该存在一种保持相斥的热质的力，波动理论认为物质的基本形式中必须有“波”，波会产生不同于牛顿的“力”的相互作用。它们的观点现在看来都是对的，或者说从哲学式的讨论上来说是对的。但是那种哲学式的讨论是不会变成自然科学的理论的，这中间必须有一个严格的思维理念的产生和形成的过程，这种理念首先是来自哲学的审查和仲裁，最终必须完成于数学的自洽的演绎体系。

实际上人类对于电磁的感性认识与引力(或重力)同样的古老，但是引力成为了一个理性知识的体系，而电磁力直到现在还没有形成理性的认识体系。人们总是先认识简单的现象，然后再认识复杂的现象，电磁现象比引力复杂得多，它不仅有引力、还有相斥的力，不仅有中心力，还有旋转的力，直到现在最大的困难来自“旋转的力”。而如果我们不从数学上搞清楚那种旋转着力的逻辑关系，我们就不可能对于电磁场理论建立起像牛顿那样的有限论域下的自洽的逻辑体系。在建立这样的新的普遍的物理体系的过程中不可避免地要出现一些暂时性的理论，用来作为一个旧的物理体系向新的物理体系的过渡，这个过渡过程也就是发展新的数学、发展新的更多的工程技术物理的感性材料和发展人类的思维能力的过程，在这样的过渡性的发展过程中，不可避免地充满着矛盾。所以到一定时间，我们必须进行逻辑梳理，把它们和谐地综合在一起的过程，这样的过程也许要很多代人来完成。没有人能够阻挡得住人类思维和自然科学的发展过程。