让知识的源头活水来

宋开福（skf08@sina.com）

（湖北宜昌夷陵区东湖高中 邮编443100）

个人专栏网站：http://www.sea3000.net/songkaifu/

作者按：07年本人出版专著《初等数论》，该专著新增定义、定理、方法数十条，获湖北省2007年教育科研优秀成果二等奖（湖北省教育科学研究所）。当年给相关科研单位及部分高校传送出该学科需改进、更新的信息，向湖北省宜昌市夷陵区科技局递交了申请科技奖的资料，时至今日，传出的信息杳无音讯，是乎该教科书已成为经典教材，然而，该教科书还是五、六十年代的产物。区科技局一年一度的科技进步一、二、三等奖评了一届又一届，而本人递交的申请却搁置一方。……

中国，提出由制造大国向创新型强国转轨，教育势必先行。教育理念的变更，教材内容的更替势在必行。

国家发展希望在教育，办好教育希望在教师。这是国务委员刘延东今年在庆祝教师节暨全国教育系统先进集体和个人表彰大会上讲话的主题。她号召：“我们一定要把改革创新作为教育事业发展的强大动力。今天教育事业的良好局面是改革开放的成果，解决当前教育发展面临的问题仍需要改革创新。要尊重教育发展规律，尊重基层的首创精神，找准制约教育发展的体制机制障碍，解放思想，大胆探索。要推进教育理论创新、制度创新和实践创新，构建充满活力、富有效率、更加开放的教育体制和运行机制”。她还提出：“要建设有特色、高水平的教学团队，形成更加浓厚的争先创新氛围。只有在教学科研一线的改革创新上有更大突破，整个教育事业的改革创新才能有实质性的推动”。

知识的源头，以教材为媒介，以教师为主导，一届一届地传递。人们在已获知识的基础上，通过学习、分析、思考、总结，使人们认识事物的水平不断提高，新的思想，新的方法，新的理念不断涌现，这些反过来又促使教材不断改进、更新。知识的传递，只有这样往复地循环才能使传递的信息始终处于知识的前沿，才能使知识的源头一泻千里，而不至于一潭死水。

就高中而言，改革的力度及步伐较大，02年人民教育出版社组织编写了“新教材”，04年又组织编写了“新课标”。人民教育出版社对02年教材出现的问题，04 年就作了改进。如《数学》中的“简单的现性规划”内容，对刻画最优解的问题，02年的教材，是用点到直线距离的远近来刻画，而04年就吸收一线教师的建议，改为用直线的斜率及截距来刻画。然而，就高校而言，教材改革的力度远不如中小学教材改革的力度，别的学科我不知情，就《初等数论》而言，作为师范院校和综合大学数学系的教材或教学参考书，始出于1956年，82年及03年作了细微的修改，但没有伤筋动骨，五十多年过去，学该学科的学生还是学习的五六十年的产物。尽管《初等数论》是一门比较稳定的学科，似乎里面没有新的理论，新的方法产生。然而，07年本人出版专著《初等数论》，书中新增定义、定理、方法数十条，有些理论和方法是今后该学科改革过程中不可替代或不可缺少的内容。如

1、在“§4.2商高不定方程”中，新增定理，“若x、y、z ∈Z₊，当x＞2，不定方程x²+y²=z²，至少存在一组解.即当x=2m+1时，有x=2m+1,y=2m²+2m,z=2m²+2m+1满足方程；当x=2m时，有x=2m，

y=2m²－1,z=m²+1满足方程”。

该定理可与定理“若x、y、z ∈Z₊，（x、y）=1，且y为偶数，则方程x²+y²=z²的一切解可表为

x= a²－b^2, ,y=2 ab, z= a²+b²”相匹敌。

2、在“§5.1一次同余方程”中新增定理

定理4，“同余方程组有解的充要条件是a+mt≡b(mod n), t∈Z,

假如这个条件成立，则方程组的解是x≡a+mt(mod[ m,n])”。

定理5，“同余解方程组，…，的解是

x≡b₁+m₁t₁+[m₁,m₂] t₂+…+[ m₁，m₂…，m_{n -1}] t_n-1(mod[m₁，m₂…，m_n]).

其中t_i满足b₁+m₁t₁+[m₁,m₂] t₂+…+[ m₁，m₂…，m_i] t_i≡b_i+1(modm_i+1)”。

这两个定理是“孙子定理”的推广，是历史发展的必然。其意义是在解一次同余式组的问题时，不拘泥模两两互质，正因为如此，用新定理揭示出来的方法极大地降低了解题难度。

3、在“§5.2质数模的高次同余方程”中，新增定理“n(＜p)次同余方程f(x)≡0(modp)有解的充要条件是f(x)中存在r(x),r(x)对于模P是f(x)的因式，且满足x^p-x=g(x)f(x)+r(x)≡0(modp)，如果r（x）的次数为m，那么f(x)≡0(modp)有m个不相同的解”.该定理能将方程不相同解的个数与方程的次数化为相等。这是将这类问题简化的重要定理，该定理可与拉格朗日在此表达的两个定理相匹配。拉格朗日的两个定理是：

定理1，“同余方程f(x)≡0(modp)，且, 不能整除的不相同解的个数不大于f(x)的次数n”。

定理2，“n(＜p)次同余方程f(x)≡0(modp)有n个不相同解的充要条件是f(x)关于模P是的因式”。

4、在“§5.4同余方程组有解的必要充分条件”中，新增这一节内容.从理论上讲，整除、同余的概念及性质都可不困难地用类似手法证明对整式成立，但要作出具体的运用就不是一件容易的事，倘若没有前面新增的定理，在这里作出具体运用就有困难。

5、在“§6.4奇质数模的二次同余方程”及“§6.5合数模的二次同余方程”中，新增一系列理论，利用基准方程来解二次同余方程。利用基准方程来解奇数模的二次同余方程或解合数模的二次同余方程，摒弃原有方法，新方法一是大幅度降低了理解及计算难度，二是整个过程可在计算机上编程运行.

在§6.4中 ，定理1 若（2n+1）为素数，方程x²≡b（mod 2n+1）（1）

有 x≡±n（mod 2n+1） （2） 的解.

这里b=-n/2，（n为偶数），或b=（n+1）/2，（n为奇数）.

定义 若（2n+1）为素数，同余方程 x²≡b（mod 2n+1）

叫做关于模（2n+1）及解x≡±n（mod 2n+1）的基准方程.

这里b=-n/2，（n为偶数），或b=（n+1）/2，（n为奇数）.

定理2 设（2n+1）为素数，（2n+1, a）=1，同余方程

x²≡a（mod 2n+1）. （3）

（i）若a≡b（mod 2n+1），b=-n/2，（n为偶数），或b=（n+1）/2，（n为奇数）.

则（3）的解是 x≡±n（mod 2n+1）.

（ii）若a与b关于模（2n+1）不同余，则（3）有解的充要条件是

m（m+1）≡a-b（mod 2n+1）. （4）

这里m=1,2，…,n-1，假如这个条件成立，那么（3）的解是

x≡±（n-m）（mod 2n+1）. （5）

在§6.5中，定理1设（2t+1）为素数，（2t+1）^k=2n+1,（2n+1，a）=1，同余方程

x²≡a(mod 2n+1). （6）

（i）若a≡b（mod 2n+1），b=-n/2，（n为偶数）,或b=（n+1）/2，（n为奇数）.

则（6）的解是 x≡±n（mod 2n+1）. （7）

（ii）若a与b关于模2n+1不同余,则（6）有解的充要条件是

m（m+1）≡a-b（mod 2n+1）.（8）

这里m=1,2,…,n-1，假如这个条件成立，那么（6）的解是

x≡±（n-m）（mod 2n+1）. （9）

定义 同余方程 x²≡（2k-1）²≡b（mod 2^k），k≥3，

叫做关于模2^k及解x≡±（2k-1）（mod 2^k）的基准方程.

定理3 同余方程 x²≡a (mod 2^k),（2,a）=1，k≥3. （10）

（i）若a≡b (mod 2^k), b≡（2k-1）²（mod 2^k）,则（10）的解是

x≡±（2k-1），±（2k-1+2^k-1）（mod 2^k）.

（ii）若a与b关于模2^k不同余时，则（10）有解的充要条件是

（m+k）（m+k-1）≡k（k-1）+(a-b)/4（mod 2^k-2）. （11）

假如这个条件成立，那么（10）的解是

x≡±[（2k-1）+2m], ±[（2k-1）+2m+2^k-1]（mod 2^k-2）. （12）

利用基准方程来解二次同余方程可谓目前解决这类问题的最佳方法。

6、在“§6.6两个数的平方和”中，新增如何把一个数表作两个数的平方和的一般方法。

对于可表作两个数的平方和的数，当这个数较小时，凭观察可直接写出，当这个数较大时，凭观察却不是一件容易的事，这节给出如何把一个数表作两个数的平方和的一般方法。

7、“在§10.3素数判别及合数分解”中，给出素数判别及合数分解的一个多项式算法，若数a存在分解因子x_i，则a是合数，否则a是素数，使判别与分解同步进行。

8、新增“第二章 素数问题”。

这一章运用两个最主要的手法——“取余求和”及“整体相对”，解决出一些长期悬而未决的问题.其中用取余求和手法解决了：①素数分布，得出P范围内的素数数目S_n=；②等差级数分布，得出P范围内的等差级数an+r中（a,r）=1的素数分布=；③孪生素数分布，得出P范围内的孪生素数L_n=，在自然数范围无最大孪生素数；④n²+1素数分布,利用类比的方法将素数分布与一组数轴对上的孪生素数分布讨论方法及对应模式相同，且结果具有相同的变化趋势。因在自然数范围内，无最大孪生素数，故在自然数范围内，形如的素数有无穷多个；⑤三生素数分布，得出P范围内的三生素数数目.E_n=,在自然数范围无最大三生素数；⑥ n²-n+素数分布，得出P范围内的n²-n+p素数分布数目Q_n=.在自然数范围内，当N=2,3时，则存在无数多个素数p_i，当0≤n≤N时，n²-n+p_i皆为素数；当N=p_i－1时，则只存在一些特殊的自然数N，当0≤n≤N时，n²-n+p_i皆为素数，并且这个N不会太大；⑦偶数的素数对. 得出偶数M范围内的素数对数目C_n=（S_n′－S_n′/2）²，这里

=，=.

得出在自然数范围内，偶数越大，偶数的素数对越多，从而任何一个大于的偶数都可表作两素数之和.

书出版后，近期通过研究又有些新的结果。

1、 利用同余方程组判别素数的一个方法。

设是素数（,i=1,2,…r）的简化剩余系，同余方程组(mod ) ,i=1,2,…r.

的解的数目为，则=.

（1） 当解时，则;

（2） 当解时，则x是素数或是不含(i=1,2,…r)因子的合数。

2、同余方程组在加密中的应用。

利用“§5.4同余方程组有解的必要充分条件”的原理，可转化到加密的问题上来。

3、通过对奇质数模p原根的研究，揭示出原根与简化剩余系、平方剩余的关系。可求出奇质数模p的所有原根；并得出利用原根及欧拉函数判别整式是否可以分解的一种方法。

《初等数论》是比较稳定的学科，就一人之见，还有这么多需要变更，若举众人之力，采百家之长，不知还有多少内容需要变更？那些不稳定的学科，是否有更多的内容需要变更呢？教材的改革决不可等闲视之。把新的观点纳入教材，可能有些观点还有争议，纳入教材还需一些时日；但有些是没有争议的，那些没有争议的就应尽快纳入。要尽早让知识的源头活水来。

在我国，各学科都有几位掌门人，他们肩负着繁重的教学科研重任及沉重的社会压力。他们一是要明确本学科的前沿动态。二是要进行本学科的教学科研。三是要将本学科出现的最新成果传递给关心、学习该学科的同行及学生，使那些关心、学习该学科的学者们都处于问题的前沿。四是对本学科有争议的观点要亮出自己的观点和看法，使自己也成为问题中人。五是要积极嫁接一些新成果到教材之中，促使教材的不断更新及换代。六还要定期举办本学科的交流论坛，采千家言、辩百家理，使本学科具有浓郁的学习及研讨的氛围。……在我国，活跃着一支民间研究者与非主流专业研究者的队伍，尽管他们散落着，但他们有顽强的生命力。他们在基层对某一个问题的追求，有的一追就是几十年，他们的专业水平及专研精神不亚于领航者；他们的苦思冥想及独到之处也不是一般人所能为。然而，他们的待遇呢？一是得不到科研经费的支持；二是研究出来的成果受主流的排挤；三是文章发表也要支付一笔不菲的版面费，出版一部专著更是要付出一个人全年工资的积攒。即使这样，他们任然默默无闻地追求着，他们在等好运来，但愿春风早出关。知识源头细流徊，快让他们归入海。

由于我国在封建社会的闭关自守，致使我国在近代的科技远落后于西方，并使我国历史上出现遭受羞辱的一页。尽管知识无国界，积极学习别人的科学技术及强国之策尽然不错，但就今天中国的地位，总不能老跟着别人照猫画虎，不然在知识产权及经济建设的战役中又会败下阵来。当然，中国也有值得称“道”的地方，中国的孔子学府在国外办了一个又一个，然而，那毕竟是千年前的遗产，那是祖先的荣耀。再则，孔子思想的核心是“仁、义、礼、智、信”。当你给别人施舍时，十有八九别人会喜笑颜开，当你向别人乞讨时，难免遭他人冷眼旁观，故我们必须清醒，自身的强大才是最大的“理”。

事业的发展，学术的研讨及建设要百家争鸣、众擎易举，确忌近亲繁殖、门户之见。每一位教者都希望自己的学生出类拔萃，每一位学者都想从自己的门生中挑选佼佼者来持掌自己的门户。然而，这是与自然规律相违背的，近亲繁殖，这是每一个文明的民族在繁衍后代中所特别禁忌的，学术的研讨及建设也应如此。事业的蓬勃发展，还必须拥有一批德才兼备的群体，尤其是高、尖、新领域。由于各学科的佼佼者，开始并非都聚集在该学科的门下，而是在某些情况下才汇集在一起。这就要求各学科在建设和后继人员的选拔中，必须摒弃门户之见，持天生他才必有用，不拘一格选人才宗旨。倘若将他们拒之门外，势必对该学科的建设及发展造成重大损失。因为既有坚实的功底，又有奇思妙想的人少，而有些理论及方法是独具匠心的，不是厚实功底的必然。

各学科掌门人最要德才兼备、锐意进取。若各学科掌门人，在你所掌管的十年，二十年，……，本学科没有变更，没有创新，是该学科掌门人最大的失误或失职。倘若该学科没有新的理论出现那还心安理得。倘若该学科新理论，新观点，新方法如雨后春笋，而因你的因循守旧，不尽快将它们嫁接到教材之中，势必会寝食难安呢？在今天，各学科中的学者、专家及权威们，既要在自己阵营里挂军师、做诸葛、当活佛，为自己的团队出谋划策、锦囊妙计、指点迷津，又要对民间研究者及非主流专业研究者不做泥菩萨。因泥菩萨的肖像是：

招人间烟火，山根庙门鞭炮响，听震耳欲聋；

惹居士俸禄，殿后座前供果香，享山珍海味；

纳香客钱财，坛上膝下笑口开，持韩信带兵；

论信众回报，躬身稽首千万愿，回万籁俱寂。

有消息称，中国科学院数学研究所打算与北京某高校联办数学班，这无疑是培养后继国内学术界的领军人物或在世界范围内与外能抗衡的得力举措。倘若对他们的教育理念不改变，教材不更新，势必会大打折扣。新中国成立六十年，改革开放三十年，我国不是没有做过这样的事情。

培养高科技创新人才，让知识的源头活水来，势必要打破一些条条框框，废除一些沟沟坎坎。让知识的源头一泻千里，让知识的长河波澜壮阔，这样才能使国家的富强，民族的振兴早日实现。

附录： 1《初等数论》修改草案。

2《初等数论》更新的相关说明。

3同余方程组在素数判别中的应用。

4同余方程组在加密中的应用。

5奇质数P的原根与P的简化剩余系、平方剩余的关系。

6原根、欧拉函数在整式分解中的应用。

（1） 《初等数论》修改草案

章节	修 改 内 容
§1.1	1°将整除及不能整除（带余除法）这两个定义放在一起叙述. 2°引入整数集Z ，正整数集Z+ 符号.
§1.2	1°用S表示质数集，用S奇表示奇质数集. 2°将定理3（算术基本定理）改为反证法证明.
§1.3	1°将“最大公因数与辗转相除法”及“整除的进一步性质及最小公倍数”合并为“最大公约数·最小公倍数”. 2°将最大公约数及最小公倍数两个定义放在一起叙述. 3°将用辗转相除法术求最大公约数的除法算式改写为短除法算式. 4°将定理“若a,b∈Z，且不全为0，则存在两个整数x,y,使得ax+by=(a，b)”，改为叙理式. 5°新增例2，用不定方程的记法求两个数的最大公约数. 6°新增定理“设a,b,m∈Z,有a|m,b|m[a,b]|m”.
§1.4	1°用R+表示正实数集. 2°本节主要讨论高斯函数的简单性质.
§2.1	新增素数分布，1°得出P范围内的素数数目Sn=. 2°P范围内的等差级数an+r中（a,r）=1的素数分布=.
§2.2	1°得出P范围内的孪生素数Ln=，在自然数范围无最大孪生素数. 2°素数分布.得出在自然数范围内，形如的素数有无穷多个.
§2.3	1°三生素数分布及n2-n+p素数分布中，得出P范围内的三生素数数目. En=,在自然数范围无最大孪生素数.2°得出P范围内的n2-n+p素数分布数目Qn=.在自然数范围内，当N=2,3时，则存在无数多个素数pi，当0≤n≤N时，n2-n+pi皆为素数；当N=pi－1时，则只存在一些特殊的自然数N，当0≤n≤N时，n2-n+pi皆为素数，并且这个N不会太大.
§2.4	1°偶数的素数对，得出偶数M范围内的素数对数目Cn=（－Sn′/2）2，这里 =，=.得出在自然数范围内，偶数越大，偶数的素数对越多，从而任何一个大于的偶数都可表作两素数之和.
§3.1	新增定理，若a≡b(modm)，a≡b(modm)，则a≡b(mod[m , n]).

章节	修 改 内 容
§3.2	1°新增引理，设m,n∈Z+，(m,n) ＞d,则（，n）=1和（m，）=1中至少有一式成立. 2°新增定理4（或§4.3的定理6），设m,n∈Z+，(m,n)=d，（m，）=1，A，B分别是关于模m， 的完全（简化）剩余系，则A+mB是关于模[m,n]的完全（简化）剩余系.
§3.3	1°新增推论5.1，设m，n∈Z+，(m,n)=d，则（(m,n)）（[m,n]）=（m）(n).
§4.1	1°对不定方程介绍不同的解法.
§4.2	新增定理，若x、y、z ∈Z+，当x＞2，不定方程x2+y2=z2，至少存在一组解. 即当x=2m+1时，有x=2m+1,y=2m2+2m,z=2m2+2m+1满足方程；当x=2m时，有x=2m， y=2m2－1,z=m2+1满足方程.
§5.1	1°新增数论倒数的概念. 2°新增定理1，若a∈Z，m∈Z+，且（a,m）=1，则a有数论倒数a■. 3°新增例1，例2，例3，增加解一次同余方程的例子. 4°新增定理4，同余方程组有解的充要条件是 a+mt≡b(mod n), t∈Z,假如这个条件成立，则方程组的解是x≡a+mt(mod[ m,n]). 5°新增定理5，同解方程组，…，的解是 x≡b1+m1t1+[m1,m2] t2+…+[ m1，m2…，mn -1] tn-1(mod[m1，m2…，mn]).其中ti满足 b1+m1t1+[m1,m2] t2+…+[ m1，m2…，mi] ti≡bi+1(modmi+1).
§5.2	1°新增定理3,n次同余方程f(x)≡0(modp)有解的充要条件是f(x)中存在r(x),r(x)对于模P是f(x)的因式，且满足xp-x=g(x)f(x)+r(x)≡0(modp)，如果r（x）的次数为m，那么f(x)≡0(modp)有m个不相同的解.该定理能将方程不相同解的个数与方程的次数化为相等. 2°改换及新增例题，增加对解高次同余方程的训练.
§5.3	1°新增定理1，得出f(x)≡0 (modpk)有解的充要条件是f′(x)piti+f(xi)≡0（modpi+1),i=1,2,…,k-1.
§5.4	1°新增，同余方程组有解的必要充分条件，将同余方程组中的f，r1，r2及模m，n都由整数范围扩展到展式的范围.
§6.1	1°给出欧拉判别条件（I）的另一种证法.
§6.4	1°新增定义及定理1、定理2，利用基准方程来解二次同余方程.
§6.5	1°新增定义及定理1、定理3 2°对模是质数幂的同余方程x2≡a(modpk),p不能整除a的解的讨论作了适当的修改. 3°将x2≡a(mod 2α),α＞1，（2，a）=1有解的必要条件，改为充要条件，即证明了定理的充分性.
§6.6	1°新增如何把一个数表作两个数的平方和的一般方法.
§7.2	将数p的原根化归到方程r(a)≡0(mod p)中，若r(a)的次数为t，则P有t个原根.
9.2	1°把“么数”换成“单位数”
§10.2	1°将“特征函数”纳入到数论函数里介绍.
§10.4	1°新增“素数判别及合数分解”，给出素数判别及合数判别的多项式算法，若数a存在分解因子xi，则a是合数，否则a是素数，使判别与分解同步进行.

（2）《初等数论》更新的相关说明

第一章 整除性理论

1、整除与不能整除是一个问题的两个方面，放在一起叙述使结构更紧凑，也便于比较和对照.同样将公约数、公倍数、最大公约数、最小公倍数放在一起叙述也是如此，书中多处将有些相关性质放在一起论述也是基于这一点.

2、将算术基本定理的证明由归纳法改为反证法，简化证明过程.

3、“若a，b∈Z，且a²+b²≠0，则存在x，y∈Z，使得ax+by=（a，b）成立”改为叙理式.原教材是先用归纳法证明”若a，b∈Z₊，则Q_ka-P_kb=（-1）^k-1r_k,k=1，2，…，n”.再直接推论出该定理.而这个定理用同余的理论又很容易证明，故将此定理在第一章用叙理式呈述，再到第三章中给予证明.

4、新增用不定方程的记法求a，b的最大公约数.这种记法主要体现出两点，一是方法别致，二是很容易推导出使ax+by=（a，b）成立的x，y.

5、将整数的标准分解提到最大公约及最小公倍数前面也是本书不同之处.

第二章 素数问题

6、这一章运用两个最主要的手法——“取余求和”及“整体相对”，解决出一些长期悬而未决的问题.其中用取余求和手法解决了：①素数分布；②等差级数分布；③孪生素数分布；④n²+1素数分布；⑤三生素数分布；⑥ n²-n+素数分布；用整体相对解决了；⑦偶数的素数对.这些问题是作者长期深思、琢磨的结果，再加上有些图表受版面的限制，没有在书中在现，这对阅读理解也带来一定困难，故对这些问题，读者需要一定时间慢慢去领悟.为避开可能出现的争议，故将本章前加了“兴趣阅读”.（出版社终审去掉）

第三章 同余理论

7、在§3.2中，用同余的理论给§1.3的定理3证明.

8、新增“关于模m的完全（或简化）剩余系A的一个分解”的定义.如何把剩余系A（完全或简化）表示成a₁A₁+ a₂A₂的形式是剩余系中讨论研究的一个方面，有必要将这类问题下个定义.

9、新增定理3，“若m∈S，A是关于模m的完全剩余系，则A不存在分解式”.

10、新增定理5，是将（m，n）=1拓展到（m，n）=d＞1的范围.

11、在§3.3中，新增推论5.1，“设m，n∈Z₊，（m，n）=d，则（m，n）φ[m，n]=φ（m）φ（n）.”这也是将（m，n）=1拓展到（m，n）=d＞1的范围.

12、新增“分解”的定义及定理6，其意义与§3.2中的一样，这里就不累述.

第四章 不定方程

13、在§4.1中，对一次不定方程介绍不同的解法，这种方法能极方便地求出ax+by=c中的一解（x₀，y₀）.

14、在§4.2中，新增“若x，y，z∈Z₊，当x＞2时，不定方程x²+y²=z²至少存在一组解”.

15、总结出由一个数写勾股数，所写出的数与该数的约数有关的结论.这两条一是从理论上证明大于2的整数都存在勾股数，二是提示出由这个数如何写勾股数的问题.如求x=40时一切勾股数，有人认为只能写出3组，而本书写出7组.

第五章 一元同余方程

16、引入“数论倒数”的定义.因为该定义在第五章、第六章及第十章都有涉及，故引人该定义.

17、在§5.1中新增定理4及定理5，其意义是在解一次同余式组的问题时，不拘泥模两两互质，正因为如此，用新定理揭示出来的方法极大地降低了解题难度.

18、在§5.2中新增定理3，该定理一是确定方程有解的充要条件，二是能将方程不相同解的个数与方程的次数化为等同，这是将这类问题简化的重要一环.

19、在§5.3中新增定理1，该定理的证明是借助§5.1的定理5的结论给予证明.

20、新增§5.4一节内容.从理论上讲，整除、同余的概念及性质都可不困难地用类似手法证明对整式成立，但要作出具体的运用就不是一件容易的事，倘若没有前面新增的定理，在这里作出具体运用就有困难，当然运用的内容还极不丰富.

第六章 平方剩余与二次同余方程

21、利用新增定理（§5.3的定理3）的结论给欧拉判别条件（i）的另一种证明方法.

22、新增奇质数模及2^k模的“基准方程”的定义.

23、在§6.4中，新增定理1及定理2，利用基准方程来解奇数模的二次同余方程，摒弃原有方法，新方法一是大幅度降低了理解及计算难度，二是整个过程可在计算机上编程运行.

24、在§6.5中，新增定理1及定理3，同样利用基准方程来解合数模的二次同余方程，其意义与在

§6.4一样.

25、在§6.6中，新增如何把一个数表作两个数的平方和的一般方法.

第七章 原根与指标

26、求m原根的问题基本上就是求质数P的原根的问题，当P较大时，求P的原根方法非常麻烦，首先φ（p）分解为质数的乘积不是一件容易的事，其次在P的简化剩余系中，求满足（2）的a_i更困难，但余此之外，我们还不清楚是否有一般简便方法存在，在§7.2中，将数P的原根化归到方程f（a）≡0（mod p）中，若次r（a）=t，则P有t个原根.

27、在第八章连分数，第九章代数数与超越数中，没有新增定理及方法，只是在论述的次序上作了适当调整.

第十章 数论函数、合数分解

28、新增“在§10.3素数判别及合数分解”，给出素数判别及合数分解的一个多项式算法，若数a存在分解因子x_i，则a是合数，否则a是素数，使判别与分解同步进行.

29、各节的习题都作了参考解答或提示.

30、将《初等数论》的署名方式由“编”改为“编著”.

由于本人受视野及水平的局限，敬请各位对书中的错误和不足不吝指教.

（3）同余方程组在素数判别中的应用

宋开福

（湖北宜昌夷陵区东湖高中 邮编443100 邮箱skf08@sina.com）

摘 要 本文介绍同余方程组在素数判别中的应用.

关键词 同余方程组 ; 素数判别；简化剩余系.

定理1 设是素数（,i=1,2,…r）的简化剩余系，同余方程组(mod ) ,i=1,2,…，r.

的解的数目为，则=.

（1）当解时，则;

（2）当解时，则x是素数或是不含(i=1,2,…r)因子的合数.

证明 ∵=1，2，…，.

由及可组成个不同的同余方程(mod ).

当取i=1,2,…，r时，由及可组成个彼此之间至少有一个同余方程不同的同余方程组

(mod ) ,i=1,2,…，r.

∵，，…，两两互质，故每一组的同余方程组都有唯一的一个解.又每一组的同余方程组中至少有一个同余方程不同于其它同余方程组.故每一组的解不同于其它同余方程组的解.从而同余方程组

(mod ) ，i=1,2,…，r. 有个解.

（1）当解时，这些解x不能被（ i=1,2,…，r）整除，从而.

（2）当解时，显然x为素数或为是不含(i=1,2,…r)因子的合数.

证毕.

下面给出定理1的推论.

记及分别是m,n的简化剩余系.

推论 若=1，=…，则同余方程组

， （Ⅰ）

的解数为，则==.

（1）当解时，则;

（2）当解时，则x是素数或是不含(i=1,2,…，r)因子的合数.

证明 ∵∈S=，i=1,2,…r.又=…

=…①，由=1=②，由① 、②得

==…=.

即方程组（Ⅰ）是彼此之间至少有一个同余方程不同的个同余方程组.再由定理1，则命题成立.

（4）同余方程组在加密中的应用

宋开福

（湖北宜昌夷陵区东湖高中 邮编443100 邮箱skf08@sina.com）

摘 要 本文介绍同余方程组在加密中的应用.

关键词 同余方程组 ;加密.

一、引言

在[Ⅰ]中，将同余方程f（x）≡r₁（x）（mod m₁（x））及

f（x）≡r₂（x）（mod m₂（x））中的f（x）,r_i（x）及m_i（x），i=1，2,都由整数范围扩展到整式范围，本节介绍整数范围内的同余方程组在加密中的应用.

二、同余方程组在加密中的应用

在[1]中，方程组

f(x)≡ 13x²-8x+26 (mod x³+2x²+3 ①

f(x) ≡105x -26 (mod x²-4x+2) ②

f(x) ≡52 (mod x+2). ③

的一个解是f（x）=3x⁴-2x³-3x²+x+2.

利用这个同余方程组，给出一个加密的应用，将这种原理系统为FRM体制.

如对于②

公 开		保 密
密钥x	加密 r2（x）105x-60	m2（x） x2-4x+2	[f（x）- r2（x）]/ m2（x）
…	…	…	…
100	r2（100）	m2（100）	[f（100）-r2（100）]/ m2（100）
101	r2（101）	m2（101）	[f（101）-r2（101）]/ m2（101）
102	r2（102）	m2（102）	[f（102）-r2（102）]/ m2（102）
…	…	…	…

该体制有如下特点

（1）加密过程简单，它的加密不需利用两个大素数来设定.

（2）密钥x及加密程序r_i（x）可公开.

（3）该体制可使用多个用户及多个系统同时使用，每个人同余方程可视为一个系统.

（4）保密性强，因为分解整式比分解整数要难且对不同的x值，在同一个系统中，不公开的f（x），[f（x）-r_i（x）]/m_i（x），m_i（x）的数值不同.

（5）系统更换（升级）快捷，因为设置简单，在不改变密钥x及加密程序r_i（x）的情况，能迅速更换

f（x）及m_i（x）.

（6）FRM体制是一个古老数字问题原理在现代实际问题中的一个重要应用，且应用前景广阔。

参考文献

[1]宋开福.初系数论.北京.中国戏剧出版社.2007.

（5）奇质数P的原根与P的简化剩余系、平方剩余的关系

宋开福

（湖北宜昌夷陵区东湖高中 邮编443100 邮箱skf08@sina.com）

摘要 本文介绍奇质数P的原根的求法，并揭示出原根与简化剩余系、平方剩余的关系.

关键词 原根；简化剩余系；平方剩余.

一、 引言

我们知道，求m的原根的问题，基本上是求质数p的原根的问题，本文介绍奇质数p

的原根求法，从而揭示出原根与简化剩余系、平方剩余的关系.

二、引理

1）引理[1]、 次同余方程有解的充要条件是中存在对于模是的因式，且满足，如果的次数为，那么有个不相同的解，显然.

2）设（表示奇素数集），（表示P的简化剩余系），由

. （1）

由欧拉判别条件知，是模的平方剩余系的充要条件是：

. （2）

是模的平方非剩余的充要条件是：

. （3）

3）1°记为模的简化剩余系，则.

2°记为模的平方剩余组成的集合，则.

显然，且.

3°记为p的原根所组成的集合.

4°记=()，即是（3）的解集，但不是的原根所组成的集合.

（）.(这里的C表示补集).

三、奇质数的原根

1）若，则（）.

证，即 .

.

由欧拉公式,

而.

－.

.

因为与都很容易写出，从而也就很容易写出.

例1、求17的原根.

解 即17有8个原根,

由.

,

.

2）若，则.

,

由.

记，则 .

.

. 从而.

例2 、 求73的原根.

解 （72）=（8）（9）=24, 又.

而,由,

,

.

={±5,±11,±13,±14,±15,±20,±26,±28,±29,±31,±33,±34}.

3）若 则.

.

由.

记，,

则.

记 , ① . ②

于是g_(p)={x|①∩②}.

由引理[Ⅰ]，可利用①，②分离出①，②中不含P_（P）的因式，从而写出g_(p).

例3、求127的原根.

解 .

而,

.

利用引理[1]

.

.

.

，

.

.

，

.

4、若,则.

,

.

记,则

== … =.

显然原根不在方程组中，而在方程组[Ⅱ] 中.

. [Ⅱ]

因为两两互质，从而方程组[Ⅱ]中各方程的次数各不相等，由引理[Ⅰ]，利用方程组[Ⅱ]中的各方程来相互简化，降低它们的次数，最后得到它们的公共解的方程，由此而分离出方程组[Ⅱ]中不含原根因式，从而写出.

因为易求，而求比求要简单，故在实际求的原根中，先求，再利用而求能使问题简单.本文所举例都是如此.

例4、求211的原根.

解 (210)= (2) (3) (5) (7).

由.

记（①）（②）（③）.

这里① ;②=；

③.

而①∩②. ④

③∩④

.

故211的48个原根在③∩④中，显然由③∩④要求出这48个原根不是一件简单的事.

（③∩④）,

.

对于模211，则={1，-2，-3，4，5，6，-7，-8，9，-10，11，-12，13，14，-15，16，-17，-18，19，20，21，-22，-23，24，25，-26，-27，-28，-29，30，-31，-32，-33，34，-35，36，37，-38，-39，-40，-41，-42，43，44，45，46，47，-48，49，-50，51，52，53，54，55，56，-57，58，59，-60，-61，62，-63，64，65，66，-67，-68，69，70，71，-72，73，-74，-75，76，-77，78，79，80，81，82，83，84，-85，-86，87，-88，-89，-90，-91，-92，93，-94，95，96，-97，-98，99，100，101，-102，103，-104，105}.

{-1，-5，8，-11，12，-13，18，23，-25，27，28，40，42，-55，-58，60，63，-64，-65，67，68，-71，-76，-79，82，86，-87，88，89，90，-96，97，98，102，104}.

{-14，15，26，31，32，33，-34，38，-43，50，-54，-73，94，-101}.

={10，-19，-21，61，74，77，-83，-100}.

{2，3，-4，-6，7，-9，-16，17，-20，22，-24，29，-30，35，-36，-37，39，41，-44，-45，-46，-47，48，-49，-51，-52，-53，-56，57，-59，-62，-66，-69，-70，72，75，-78，-80，-81，-84，85，91，92，-93，-95，-99，-103，-105}.

质数p的原根，在对它进行研究后发现，P的平方剩余，P的平方非剩余又不是P的原根，P的原根都有严格的对应分布，可谓经纬分明.

参考文献：

[1] 宋开福.《初等数论》. 北京中国戏剧出版社. 2007.

（6）原根、欧拉函数在整式分解中的应用

宋开福

（湖北宜昌夷陵区东湖高中 邮编443100 邮箱skf08@sina.com）

摘要 本文介绍利用原根及欧拉函数判别整式是否可以分解的一种方法.

关键词 原根；欧拉函数；整式分解。

设（4t+2+1）∈（表示奇素数集），这里为t的约数，

记== － + －+1 . (Ⅰ)

1)、本文不讨论(Ⅰ)为偶数项的情况

若(Ⅰ)为偶数项，又x的指数是以为公差的等差数列，系数为，则(Ⅰ) 可分解出（－1）的因式，故不讨论它.

2）、(Ⅰ)共有奇数项

因为为t的约数（/）∈（2/）∈22+1为奇数，即(Ⅰ)共有奇数项.

3）记为t的约数数目，对于t，(Ⅰ)有个表达式

因为(Ⅰ)中的x的指数为2t,2t－,,,0,是以为公差的等差数列，不同，则数列的公差不同，从而(Ⅰ)的项数不同，又t的约数数目为，故(Ⅰ)有个表达式.

如 t=1, =1,4t+2+1=7, (2,1)= －x＋1;

T=6, =1,2,3,6, 4t+2+1分别为27，29，31，37.

(12，1)= －＋－x+1 ① (12，2)= －＋－+1 ②

(12，3)= －＋－+1 ③ (12，6)= －＋1 ④

本文只讨论4t+2+1为素数的情况，故当t=6时，只讨论②,③,④是否可分解的情况.

4)、===.

令=4t+2+1，因为为素数，则的原根的数目为（4t+2）.

5)、定理

㈠若（4t+2）=2t,则(Ⅰ)不可分解；

㈡若（4t+2）＜2t, 则(Ⅰ)可分解；

证明 ㈠ 因为的原根的数目为（4t+2）=2t,又的原根不在方程－10（mod p）及+1≡0（mod p）中，从而p的原根在(Ⅰ)中，若(Ⅰ)还可分解，则(Ⅰ)就没有2t个原根，这与（4t+2）=2t相矛盾，故(Ⅰ)成立.

㈡ 因p的原根都是整数，故p的原根所在的表达式g(x)为整系数多项式，又

（4t+2）＜2t，即g(x)的次数小于(Ⅰ)的次数，从而(Ⅰ)中存在整系数多项式f(x),使f(x)g(x)= (Ⅰ)成立.所以(Ⅰ)可分解，即㈡成立.

6)、应用举例

例 判别下列各式是否可以分解，可分解的将其分解.

(1) －＋－＋－＋1; (2) －＋－＋1.

解 (1) 2(12+2)+1=29, (28)=12, ∴(1)不可分解.

(2) 2(804+201)=2011, 2011为素数, (2010)=528＜804，故(2)可分解.

由－1=（－1）(+1),

而+1=（+1）（－＋－＋1）

=（+1）（－+1）.

－＋－＋1及－+1的公因式为

+－－－++1.

∴－＋－＋1

=(+－－－++1)( －+－+1).

参考文献

宋开福.奇质数p的原根与p的简化剩余系、平方剩余的关系。