(石林整理)

全效应方法论的复杂数学系统是由改造物质世界的新定律，以相对应的模式和数形统计律公式组成，与其他四个领域系统的实用新型的基础科学（物理、化学、生物、生态）一起，成为五大定律，综合成较完整的实用理论体系。

下面全面阐述有关数学系统中突破常规思维的基础理论，是从全效应科学、经济、统筹等方面实用的基础理论为着眼点。数学发展具有相对的独立性，数学发展史充分说明它来源于客观世界，是对客观事物量的关系和空间形式规律的正确反映。与其他门科学相比较，所不同的是：数学具有相对的独立性和高度的抽象性，是从现实世界抽象出来的规律。用全效应法分析数学与自然规律之间形成有机联系和对应关系，总结归纳出三大因素，九条统计规律，二十七种统计方法、八十一个统计量公式，数形统计律和统计公式的模型。

数形统计律是根据数学在自然科学中具有三三对应的特点，将自然界事物统计量的计算规律归纳成三大因素，九条统计规律，二十七种统计方法、八十一个统计量公式的新观点，对所有的统计量数学问题，采用定性与定量相结合的系统分析最佳析方法为主，这样按三三对应规律分析下去，少则一两步，多则三四步，即可求出较为理想的统计量。

(一)从常量数学到统计量数学

(1)数学主要研究的对象

目前，在教科书和资料中，对数学的定为：数学是一门以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的科学，这个定义，只说明数学研究的内容，并没有说明数学研究的本质，致使当代科学大部分没有充分使用数学，甚至基本上没有用数学。如：生物信息识别是生物最基本的规律，而绝大部分目前还没有用数学表达。要使数学在现代科技中得到广泛应用，必须突破原有框框，建立一套现代数学的新理论、新观点和新方法。

随着现代科技的发展，愈来愈迫切要求对数学从本质上简明系统地给予综合概括。一个完整的定义，将是指导现代数学进展的命脉，我们认为，数学的完整定义应该是：数学主要是研究数形统计量最佳规律的科学。这个定义，不单纯是对原有定义改几个字的问题，而是使我们对数学科学的认识从现象走向本质的关键。为什么呢？因为，宇宙万物的主流(能量流、物质流、信息流)都与空间形式和数量关系紧密联系着的，而且它们绝大部分呈现为统计量的规律，如：室温20℃；压力10公斤；汽车时速三十公里；茶杯是圆柱形等等都是统计量的平均值。只有将这些统计量规律给予系统化、概括化、综合化，才能使我们能达到更深更广的认识和改造自然界的目的。再从宏微时空观察分析也是如此，自然界的物质绝大多数是统计量，而把目前数学的常量计算、变量计算仅看成是统计量计算的特殊情形。

(2)数学的第三次飞跃

现代数学正处在从常量研究、变量研究到统计量研究的第三次飞跃时期

→→

第一次飞跃是研究常量的规律。从自然界烦杂事物中，抽象出数和形，不需要考虑两棵树加三棵树；两匹马加三匹马的事物特性，而只要研究：2+3=5的共性，这就是用常量来概括数的规律。在形的方面，大约在公元前三百年，欧几里得把前人所知道的几何成果，系统总结并建立在具有理论可靠性的逻辑结构上的几何学，后来，苏格兰的约翰·纳皮尔总结对数，瑞士尤拉总结三角等等；从而奠定初等数学的基矗

随着科学技术的发展，单纯用常量来概括数形的规律遇到愈来愈大的困难。如：要描绘加速度，不得不考虑速度在随时间变化的情况；要解释行星为何以椭圆轨道绕日而行，何时以怎样的速度到达何处等问题。因此，数学须由的概括常量规律走向新的飞跃。

第二次飞跃是研究变量的规律，十七世纪初，笛卡儿等建立解析几何，出现变量与函数的概念，一六二零年，法国首先产生了微积分，稍后，牛顿和莱布尼兹使微积分更加充实和完善了，用微积分表示变化，用积分表示积累，从而概括了自然界变化与积累的基本法则，微积分的出现使数学进入到大发展时期，奠定了高等数学的基矗

最新科学技术需要应用的大量数学知识，单纯用微积分来概括数形规律，遇到愈来愈大的困难，因微积分仅解释了光滑变化和连续变化的现象，但自然界很多情况下，存在不连续、随机、突变、未知或不规则的变化现象，如：水结成冰或化成气；桥梁或石油钻机的突然毁坏；生物基因的重迭、跳跃、不连续和突变等，就不能按必然现象因果律的方程式去处理，而要按统计量规律来处理这些随机统计的大数现象，使数学必然产生列新的飞跃。

第三次飞跃是统计量的规律。现代数学正沿着以几何、代数、分析、概率等类学科为核心，用新观点、新方法、新理论把目前庞大的数学知识按全效应法的统计量规律统一起来，变得简而明、少而精、过程盛实效大。近几十年来，许多数学家为统一数学而付出了大量的精力，但至今尚未找出一套切实可行的办法来，有的反而变得更复杂，而按全效应法统计量规律来统一现代数学是当前的最佳方案。

(二)数形统计基本定理

数形统计量规律的全部内容范围很广，主要涉及许多非常规因素的综合，目前正处在不断摸索和不断发展之中。许多方面还正在逐步被人们认识，搞清楚下面这些基本定理，能帮助我们更好地掌握统计量规律。

事物在某区间最大与最小值无限趋近，在数值不断增多时，愈无限趋于统计平衡值，在几何分布上的随机变量，当落在偏差外的非正态分布，可通过大数统计规律对偏差概率进行统计量估计值。

世界上事物的变化，大多呈现统计不规则的变化。统计就是从大量复杂数据中，找出其规律性，在现代科学技术中，完全规则的关系问题是很少的。绝大多数是不规则的，但非常不规则的问题也是很少的。大多数可化成几个规则的集合，规则的采用福氏方法求解，非规则采用有限元法求解。对次要量，要采取分层逐步回归的方法，也可以用迭代法使理论与实际值无限接近。

每一事件的概率都遵循着一种再现的图形，因而对某一事件出现的概率往往能预测未来。我国应用“随控布局”，控制飞机上的某些可操纵部分，来获得最有利的气动效率，通过人工始稳，升力和侧力操纵，同动变后掠，以提高飞机的性能。

利用统计概率，可求出拓扑空间最普遍的马尔可夫过程，并探索与此有关的从一般连续函数的巴纳赫空间变换成正半群的全部标符。概率统计预报并非100%准确，常需配合其他方法，加以统计综合而进行预报，才有可能获得较好的预报效果，实践证明，综合统计因素愈多，结果就愈趋近。

根据样本确定总体参数值中，由于样本和估计量都是随机变量，要确定一个估计量的好坏就不能根据某一次试验的结果来衡量，而是希望它在多次试验结果待定参数附近摆动，而且尽可能摆动得越小越好。

设待定的参为Q，(x₁，x₂，……x_n)是它的估计量，如果估计量(x₁，x₂，……x_n)对任何n满是M=Q，则称(x₁，x₂，……x_n)是Q的无偏估计量，满足无偏性的估计量常不止一个，到底采用哪个更好呢？应当是方差小的，估计量会稳定可靠些。

如果(x₁，x₂，……x_n)、(x₁，x₂，……x_n)都是参数Q的无偏估计量，且D<D，我们就称比有效。如果随着样本容量n的增大，它变为无限地精确，称这个估计量为一致性估计量。

参数Q取似然函数；达到最大值时，观测结果出的可能性最大，求最大似然估计量可用普通微积分方法：

= O

以上两种估计量的方法是一致的，但并不是说它们之间没有区别，在已知总体分布类型时，最大似然估计法是常被采用的方法。

如果下述三个条件被满足，则称渐近有效估计。第一，当n无限增大时，(－Q) 的分布逼近具有平均数口方差σ²(Q)的正态分布；第二，对每个ε>0时

对θ中的每个Q成立，第三，没有别的这种一致付计量序列：Q、Q、……Q……使(Q－Q)的分布逼近具有平均数O方差σ*² (Q) 的正态分布，且：

对某个开区间中的全部Q成立，则称估计量序列₁，_2，… ，_n ……为Q的一个最佳渐近正态估计量。

在假设检验中，寻找一个检验(判定函数d)，使它对Ω中每个θ值的风险极小化。若判是函数满足 ：

P(S∈S₂|θ∈ω₁)≤α

使得P(S∈S₁|ω₂)极小的唯一检验，称为最佳检验。

统计学分两大类：一类是描述统计学，主要研究简缩数据和描述这些数据；另一类是推断统计学，是根据部分数据去推断更一般的情况。而推断统计主要包括参数估计、假设检验和因素分析。

设判定函数公式中的集合ω₁和ω₂，它们分别与假设或命题：“θ在ω₁中”和备择假设H₂：“θ在ω₂中”相联系，行动α₁称为接受假设(接受H₁)，行动a₂称为拒绝假设(拒绝H₁)，当应用到具体数据上去时，将导致接受或拒绝假设的判定函数d，就称假设检验.有时统计分析的问题，并不要求确定完全未知的参数，而是根据问题的本质，我们可以认为某一参数似乎应该取某值，然后通过观测样本以检验这一假设。

假设检验的内容非常丰富，常用的分布有：X²分布；T—分布；F—分布等。进行最佳检验的一般方法是：根据问题的需要对我们研究的总体作出统计假设H；选取合适的统计量，要使得在假设H成立时，其分布或渐近分布为已知；根据实测的样本，计算出统计量的值，并由给定的显著性水平查表来进行检验，直到满足定理中最佳检验为止。

世界上的事物，当模糊性增大时，精确性则减小；当精确性增大时，模糊性则减少，故模糊与精确是不相容的，但只要极少的模糊信息，依据推断统计准则进行“思维”，就可得出相当准确(或足够近似)的结论来。

模糊统计就是在不定多变的情况下，作出某项决定或判断模糊信息，自然界有些现象中，不用模糊信息来判别简直不大可能。如：用计算机判别走过来的是谁？就得测量对象的身高、体重、手摆角度、鞋底对地面的压力和磨擦力、速度、加速度等几十个参数而且每个参数要求精确到有效数字几十位，而人脑利用模糊信息，能很快地判别对方是谁，模糊性与精确性是相对的概念。根据定理，在模拟大脑功能时，不应该单纯地追求精确性。

模糊概念的数学表现是模糊集合论，模糊集合的“余”、“并”、“交”与布尔代数中“非”、“或”、“与”的概念相似，但模糊集合中不满足互余律。在实际工程控制中，往往由于对象的非线性，多种参数的复杂性、检测条件受限制等原因，使我们无法得到对象的精确数学模型。往往有助于模糊控制更为有效。人对自然语言的理解本质上是模糊的，聚类分析和社会系统也带有模糊性。

随机性和模糊性是不同的。随机性表示事件发生的不确定性；模糊性表示事件概念内涵和外延的不确定性、随机性依赖于概率论；模糊性则需求助于模糊数学。两者符合统计量规律，但又建立在一个统一的模式中。

在一个复合映射中，如果把若干个因子换成一个同伦的映射，其统计规律与原来的复合映射同伦，在从X到Y的所有映射组成的集合YX里，同伦的关系近似一个等价的关系。

拓扑学是继欧几里得几何、解析几何、微分几何、射影几何等之后的一种较新的几何学。它是研究图形在连续变形下不变的整体性质。拓扑学已和数学结合成点集拓扑(或称一般拓扑)、代数拓扑、微分拓扑等分支，且正在渗入数学很多分支，并用拓扑统计在一个统一的模式中。

借助映射来研究拓扑空间问题是个重要方向，从六十年代中期把关于Mooγe 空间；P—空间；M—空间；σ—空间和Σ空间等方面研究均有重要进度。我们地球表面的拓扑要比时间直接的拓扑复杂得多。拓扑与分析两者的结合，指出了客观世界数量变化规律之间的本质联系，每个解析函数有相应的曲面，而曲面结构又是拓扑学所研究的，目前正在研究拓扑空间的马尔科夫过程，这对势论、扩散论和热传导论的运用有重大意义。

有限的多面体的同调群和同调论，定义都建立在单纯形概念的基础上，单纯形是代数拓扑中最简单的几何图象。其定义为：设

a⁰，a¹，……a^q

是n维欧几里得空间Eⁿ与占有最广泛置的q+1个点，q≤n，令

X=λ₀α⁰ +λ₁α¹ +……+λ_qα^q +

其中；实数λ，λ₁，……λ_q，满足两条

λ₀ +λ₁ +……λ_q =1

和λ₀≥O，λ₁≥0，……λ_q ≥O

Eⁿ中这样的点X集合叫一个q维单纯形，利用拓扑统计定理，可对闭曲面的拓扑分类，三维流形、同伦论、基本群等进行深入研究。

当系统的参数在某个范围内变化，该函数不止一个极值时，系统必然处于不稳状态，只要按统计量规律变化参数，将使处于不稳定状态的系统突然进入另一种稳态，状态发生突变的一刹那，实现某种过程从一种稳定态到另一种稳定态的跃迁。

过去的数学大多是研究数形渐变的规律，而突变研究的却是质变和突然的变化。自然界存在大量的突变现象。如：物质在液相与气相之间的转化；磁铁在加热到一定温度时，会突然失去磁性；超导下许多金属会突然失去电阻；晶体会从一种对称突变到另一种对称；生物会出现跳跃基因等等。均用常规的数学方法是无法解决的。一九七二年，法国数学家汤姆运用了拓扑学的奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界结构不连续的突然变化。不超过四个控制因素时，有七种突变类型，不超过五个时，有十一种突变类型……等。目前，突变统计已应用在：用燕尾突变研究发育胚胎细胞分裂；用蝴蝶突变分析神经病类型；用椭圆脐点突变未解决流体流动问题。

突变理论其状态能够用一个依赖于几个参数，m个变量的函数Fa₁……a_n(X₁，X₂，……，X_m)来表示，突变不是发生在进入不稳定态的开始，而是达到不稳定态另一边缘时才出现，一般来说，稳定性越大，滞后越强。自然界各种力的平衡大都可用光滑的曲面来描述，当事物演变的轨迹在曲面上遇到中断处，平衡即遭到破坏，发生了突变，因此，突变理论是讨论可能存在的平衡曲面的形状问题。根据突变统计理论，在最简单的静态平衡点之间，所有可能突变是由那些基本突变决定的，目前正在研究中。

把复杂多变物质世界的联系，用点、线组成的空间图形来精确表示非常多，单纯靠计算其难度是以指数函数增长的，很快就使计算成为不可能，若用一系列迭代过程非常复杂，只能用图形统计量规律剖析逼近最佳点。

图论统计的理论和方法，就是从形形色色的具体图、树、圈中，抽象出共性，再从中找出统计量的规律和方法。一七三六年，欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题后，严格证明图需满足下述两个条件：第一，从图中任意一点出发，通过一些边一定能到达其它任意一点，图是连通的；第二，图中每一点必须是偶数边的交叉点，欧拉的方法即使数字很大，仍很实用。

图、树、圈在各种条件下的排列、组合、复合、划分、分类、检索、区组设计、递归、生成函数、数列变换等方面的许多问题，都是统计量数学的研究对象。统筹方法是用一张由箭头连接起来的统筹图表示，可使错综复杂的情况下，了解主要矛盾、关键环节，使全局一目了然，小到一所建筑；大到海、陆、空联合作战，统筹图均是行之有效的方法。

图论统计是研究由线连接起来的点集合，并利用统计集合进一步研究子图、连通图、有向图以及回路、切组、树、反树等基本概念，用筛法逐步回归选取最佳方案。目前有一些所谓“启发式”方法，在大多数情况下，往往能找到最好解或非常接近最好解。

管理任何一个部门，包括人(思想、智能、知识)，物(物资、设备、资金)、事(信息、调研、决策)三方面九个问题。如何用运筹统计的规律和方法，使这些问题协调好，并取得最佳方案。

运筹统计方法包括排序论、策略论、规划论、排序论是一种随机聚散现象，关键在于找出随机现象的平均特性规律。在人类活动的各个领域里，几乎都存在着排序问题，甚至连多道菜的餐饭准备工作，也显示出非同小可的排序问题，解决排序问题主要采用从头搜索，按主次表选最优方案，使其每一组法则服从某种概率随机数。

策略论分策划、对策、决策三种：策划是对未来与发展进行总体的系统规划，广泛采用系统分析方法；对策是在竞争局势中，参与对抗的各方都有一定的策略可供选择，在各方具有相互矛盾情况下寻求最大综合效益；决策是根据信息选取可能的策略以及采取这些策略对系统状态所产生的后果，进行综合研究，大多应用推断统计选取最优策略。

在应用策略时，总是采取最不利这一方的策略进行对抗，使其得利最校而从这些得利最小的所有情况中，选择其中得利最大的一种情况，就可以在多次重复的对策中获得最大取胜的可能性。

规划论是在一定的约条件下，寻求目标函数的极值问题。分线性规划、非线性规划、动态规划三种。当目标函数为线性时，称线性规划，否则叫非线性规划；动态规划是求解多级判决过程最优化问题。这样可以把多维问题转化为一串每级只有一个变数的单级问题。利用动态规划来研究离散确定性、离散随机性、连续确定性、连续随机性等四种基本类型问题。

决策是多因素、多目标、多层次、综合动态反映的统一过程。决策统计采取定性分析与定量计算相结合；谋与断相结合；可能度与满意度相结合，逐步逼近最佳综合效益的方法。

决策涉及到政治、经济、社会、综合科技领域，有的关系到人类生死存亡的大问题。社会、经济、科技等信息量千变万化，故决策不能只考虑指标性能的优劣，还要考虑社会的、人口统计学、心理学等种种因素，最重要的是抓实效。

如果一个事物一定可能做到的话，则“可能度”为最高，对有成千上万因素影响的目标函数，要很快的定出一个百分比的数值来是不太容易的，如果从完全不可能和完全可能的两头来考虑的话，就较为方便些，现实些。

当一个事物出现后，从人们主观愿望来说，“是否满意”也是有着客观依据的，不过“满意性”比起“可能性”来带有更多的随机性。随着研究的不断深入，考虑得更为全面，统计的面又不断扩展，对于满意度的描述就能逐步精确起来。

决策统计是综合考虑需要，把可能度和满意度并合起来。在探讨粮食总产量的可能度时，就涉及耕地面积和亩产这两个因素。这时，可以把两种单因素的可能度，利用强并合的办法，求出粮食总产量的可能度，再同人均产量需求的满意度并合，就可获得总人口对粮食的可能──满意度。最后需作合并成的可能满意度影响大小的灵敏度分析：

=－·

从上式分母看，两转折点间距大，灵敏度底。

事物的未来和发展是复杂多变的。但按统计规律是可进行科学预测的。常用的预测统计方法有：统计系综、相关预测、回归预测。但需有信息反馈灵敏度高、系统分析准确度高、波动范围小于某一阈值为基矗否则，会直接影响科学预测的准确度。

产品方向性的预测要根据社会需求，条件具备、方案可行三个原则。通常有四类波动：第一，倾向性变动。由于人口增加，技术进步、工资收入增加、产品饱和性等引起的长周期(持续增长或减少的现象)趋势。用最小二乘法估计倾向性变动非线性函数允许一定误差范围但不超过预测目标函数)；第二，季节性引起的波动；第三，偶然因素在一定时空起主动作用的波动；第四，循环性波动。社会产品一般经历五个阶段：早期试销阶段；早期增长阶段；成长后期；稳定期；衰老期，市场商品始终是由不平衡到平衡，再由偏离平衡态出现新的不平衡。均可根据统计特性曲线作出科学预测。

要根据及时反馈的综合信息，分析饱和状态和奇缺状态的动态变化预测其发展趋势，以满足国民经济的需要。要通过科学预测，逐步掌握多方案，多目标主动权，在复杂多变的社会环境下，能以自己的特色和优势制胜。

预测统计的数学模型主要用于统计系统、相关分析和回归分析三个方面。任何事物都有一个产生、发展到衰老的过程，用一次回归，二次指数平滑难以反映发展趋势，但在平滑系数_的选择上，应适当加大，表示更加侧重新数据。在经营活动中，特别别要重视销售预测，对社会产品如何及早做好第二代、第三代、第四代……准备，做到“人无我有，人少我多，人多我好，人好我转”，掌握商品供销主动权，是确保工农业生产持续增长的关键。

(三)数形统计律模型及应用

数形统计模型

(三大统计因素；九条统计规律；二十七种统计方法；八十一个统计公式)

数形统计律的应用

在应用语数形统计律师时，先将需要进行计算的问题，找出符合相对应的公式（可以是一个，也可以是几个的组合）；再将这些公式的未知数给出定量值或近似值；后再将这些值输入已编好程序的电子计算机内，即可得出所求的统计近似值。我们已初步将数形统计律应用在国民经济各部门和社会环境中。如：用图论统计初步算出水分子和维生素A的键构模拟值；用相关统计算出生物线信息识别互感统计值；用决策统计已作心电图分析诊断的数据处理等。 还需要作更深更广的探讨。

为何要创立全效应法数形统计新方法论？先要从数学定义和数学史的几个飞跃论述起。

全效应法是当今世界科学界具有强大生命力的潜在科学方法论。由于它具有简便易行实效大的基本特点，将使整个科学由认识客观世界为主型向改造客观世界为主型转移；将使整个科学由分化单科研究向综合整体研究转移；将使整个科学由学科封闭式向全面开放式转移。它综合了纯理论研究和纯实用研究两者的优点，分别克服了两者的弊病，使理论与实用能更好地结合，既有基础科学理论进行指导，又能很快地应用到国民经济综合效益上。全效应法实用基础科学五大定理，它的产生和发展将冲击着经济、社会、教育以及各个领域迫使急速研究的对策，这一前景是十分诱人的，任务是光荣而艰巨的，意义是重大而深远的，希望广大科技界共同完善之。为何要创立全效应法数形统计新方法论？先要从数学定义和数学史的几个飞跃论述起。

数学的定义：数学是一门以现实世界的空间形式和数量关系为研究对象的科学，这个定义，只说明数学研究的内容，并没有说明数学研究的本质。如：生物信息识别是生物最基本的规律等，而绝大部分目前还没有用数学表达。要使数学在现代科技中得到广泛应用，必须突破原有框框，建立一套现代数学的新理论、新观点和新方法。数学发展史充分说明它来源于客观世界，是对客观事物量的关系和空间形式规律的正确反映：随着现代数学的迅速发展，使人类的自然观逐步发生了深刻的变革。与其他几门科学相比较，所不同的是：数学最突出的特点或特征具有相对的独立性和高度的抽象性。它只保留事物的数量关系和空间形式，舍弃了其他一切特性和特征，变成为一系列的符号关系。因此，数学的抽象程度大大地超过了一切其他门科学的抽象。通过科学抽象而推动推理，理论建立数学组成科学判断和建立数学科学概念。随着工业、电子业、农业、畜牧业、环保业的生产和自然科学技术全面大发展，人们不但研究有确定因果关系和随机领域的定量关系，而且还定量研究模糊事物和现象、突变事物的现象以及巨型工程等等的定量规律性，结果又新建立了一些数学分支学科。如模糊数学、有限元法和突变数学等等。而突变数学的产生和广为应用，使人们充分认识到客观世界中物质系统的突变(即质变)分为两种基本的类型：一种是质变物质系统的状态在跃迁过程中，随着外部条件的变化而变化，也就是突变数学讲的渐变，如水的挥发过程；另一种是质变物质系统的状态在跃迁过程中，其外部条件并未发生变化而发生质的飞跃，如水的沸腾现象等等。 “代数拓扑”，它是拓扑学的一个分支。以拓扑多面体或由其单形部分而得到的复形和代数复形等为对象。用代数方法研究其拓扑性质。“数和形”的概念是从现实世界中得来的。几何曲面固然包括在空间之列，而诸如复平面上的复值连续函数所构成的函数空间，也是拓扑空间。另一方面，空间的定义还应包括足够的讯息，使得两个空间之间映射的连续性可以定义。“拓扑空间”定义的理论大量的和具体的实例都有逻辑推理和逻辑证明的背景材料，在它们的背后隐藏着大量的、具体的实例，抽象的概念则反映了它的某些共性。

(一) 数学史从常量数学到统计量数学经过三次飞跃，至21世纪全效应法“数形统计律”

数学须由概括常量规律到变量研究，走向统计量的三次飞跃进入“数形统计律”时代。

第一次飞跃是研究常量的规律。从自然界烦杂事物中，抽象出数和形，不需要考虑两棵树加三棵树；两匹马加三匹马的事物特性，而只要研究：2+3=5的共性，这就是用常量来概括数的规律。在形的方面，大约在公元前三百年，欧几里得把前人所知道的几何成果，系统总结并建立在具有理论可靠性的逻辑结构上的几何学，后来，苏格兰的约翰·纳皮尔总结对数，瑞士尤拉总结三角等等；从而奠定初等数学的基矗

随着科学技术的发展，单纯用常量来概括数形的规律遇到愈来愈大的困难。如：要描绘加速度，不得不考虑速度在随时间变化的情况；要解释行星为何以椭圆轨道绕日而行，何时以怎样的速度到达何处等问题。因此，数学须由的概括常量规律走向新的飞跃。

第二次飞跃是研究变量规律。

（1）十七世纪初数学，笛卡儿等建立解析几何，出现变量与函数的概念，一六二零年，法国首先产生了微积分，稍后，牛顿和莱布尼兹使微积分更加充实和完善了，用微积分表示变化，用积分表示积累，从而概括了自然界变化与积累的基本法则，微积分的出现使数学进入到大发展时期，奠定了高等数学的基矗17 世纪中期，资本主义工业生产的发展与自然科学和技术（航海、天文学、弹道学和水力学等）的需要，人们运用这些运动和变化的概念，引进变数以及它们之间的数量关系，从而建成立了对数、解析几何和微积分等科学概念，人们运用这些新的数学科学概念进行新的判断和推理，从而导致解析几何学和微积分学的创立，摄影几何学和概率论也开始产生。

（2）18世纪数学，产生无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何和变分法，形成了通常称为数学分析的一个广阔的领域。

（3）19 世纪数学，由于人们掌握了收敛和极限的科学概念，从而奠定了微积分的牢固基础，并使数学发展到一个抽象阶段：代数学转达而研究代数系；几何学转达向研究所谓抽象空间，通常欧几里得空间只是它的特殊情形，在这一时期创立或发展的新的数学分支有：复变函数论、群论、摄影几何、非欧几何、拓朴学、集合论、数理逻辑和泛函分析等，同时，数值方法逐步发展成为一个数学分支学科——计算数学。

（4）20世纪初的数学：航天、航海和向地球深部探索等人类实践领域不断拓宽和加深，促进自然科学和技术飞速发展，多门自然科学和技术从无到有、从简单走向复杂。因此，数学研究、发展到新阶段，这就是数学的公理化，也就是人们运用公理化方法，从集合和映射这样的一般概念出发，在拓扑和代数基础上，重新构建全部数学。因而一方面使数学研究的领域扩大和加深，数学分支学科不断增多，尤其是在一些以往彼此隔绝的分支学科之间发现了意外的联系或关系，情况极为复杂；另一方面，由于电子计算机科学技术的发展和应用，使得数学更广泛地应用到自然科学、技术科学和社会、人文科学领域，结果又创立了一些新的数学分支学科，如对策论、信息论、网络理论、离散数学和最优化理论等等。尤其是20世纪中期和后期的数学：这一时期，工业、农业、牧业生产和自然科学技术全面大发展，人们不但研究有确定因果关系和随机领域的定量关系，而且还定量研究模糊事物和现象、突变事物和现象以及巨型工程等等的定量规律性，结果又新建立了一些数学分支学科。如模糊数学、有限元法和突变数学等等。随着现代数学的迅速发展，使人类的自然观逐步发生了深刻的变革。

第三次飞跃，近几十年来，通过线性规划在经济数学中和决策管理中得到了应用。这是理论数学通过应用数学而间接地得到应用的典型一例。又如组合数学在网络分析中的应用、代数数论在编码问题中的应用等都属于这种情形。

有限元法与矩阵方法和电子计算机。20世纪，中国最早研究有限元法的是已故计算数学家和科学工程计算学科的奠基人和学术带头人冯康(1920～1993)教授和黄鸿慈先生，成就卓著，使中国有限元法达到世界先进水平。他们结合解决一系列大型水坝建设的应力；分析问题，开展了椭圆形边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几何复杂性和材料复杂性，把能量法和差分法结合起来，于l964年建立了求解椭圆形边值一套普遍有效的方法，命名为：“基于变分原理的差分法”，即通称为有限元法。在有限元法被广泛运用的过程中，计算数学、电子计算机和矩阵方法起了重要作用，使力学这门古老的科学发生了历史性的变革，产生了新的生命力。在前面提到，有限元法的发展和广泛应用是借助于两个重要的计算工具：在理论推导中采用矩阵方法，在实际计算中采用电子计算机。这样，有限元法、矩阵方法和电子计算机三者有机统一。

有限元法和有限元的辩证法思想的产生和发展对其他许多门科学和技术发展有启发和推动作用。有限元思想和方法已被固体结构以外的其他许多学科所运用：从已有固体力学领域扩展到流体力学、渗流和固结理论和热传导、热应力等等问题的研究；由工程力学扩展到其他研究领域。从而引起工程研究和设计领域发生自然观的变革。“抽象代数”，是指近世代数．把古典代数抽象化、公理化，用公理论方法来研究群、环、域、格、模等代数系，展开其一般理论。这样一个现代数学分支称。为抽象代数。当今人们说到代数学时，往往是指抽象代数。“代数拓扑”，它是拓扑学的一个分支。以拓扑多面体或由其单形部分而得到的复形和代数复形等为对象，用代数方法研究其拓扑性质。主要内容是同调论(一同调)、同伦论(一同伦)等；随着复形概念的进一步抽象化。在对一般拓扑空间的研究中．这种方法也在发展着。“泛函分析”．它是在20世纪30年代形成的一个数学分支，起源于积分方程、经典物理学中的变分问题和边值问题以及理论物理中的一些问题。它综合运用函数论、几何学、代数学的观点和方法研究无限维向量空间(如各种函数空间)上的泛函(函数的实值函数)、算子和极限理论，同时又受到量子物理、现代工程技术和现代力学的有力刺激。它的主要内容有：拓扑线性空间及其算子理论；广义函数； E线件函数分析等．

掌握和运用有限元法，使得过去认为一些无法定量求解的大型人工自然工程、自然事物等难题，现在却变成常规的研究课题；过去人们不得已采用的一些过于简陋的计算模型，现在已变为历史，被更加符合实际、其计算精度更高的复杂模型所取代；借助电子计算机的有限元法，对大型自然工程、自然事物的分析、研究和计算工作速度快、精度高了，并使某些实验手段成为过时的东西。而最优化的工程设计方法的发展，使结构设计从单纯的验算过程变为真正的优质设计过程。

为了适应运用电子计算机进行计算的特点，在有限元法的应用中广泛采用矩阵方法。矩阵符号早在1850年已经问世。然而，这一l9世纪人们创立的数学分支，当它与20世纪发明的电子计算机技术相结合，在对大型人工自然工程和巨型自然事物的大量计算过程中出色地承担计算任务，这是在从前不可想象的事情，从而日益显示出它的优点，并且广泛地被人们所运用。传统方法只是对各部分各过程进行研究，没有包括协调各部分和各过程的信息，因而不能完整地描述活的现象。要吸取了许多思想，把协调、秩序、目的性等概念用于研究有机体，并概括了机体论的发展成就，就要提出了几个基本观点；系统观点，要概括一切有机体成为一个整体——系统的动态观点，各种有机体都按严格的等级组织起来，系统是分层次的，建立一种机体论的正确模式来取代机械论的错误模式，把有机体描绘成一种整体或系统。

（二）物质系统的辩证法原理是有限元法创立的哲学基础物质系统的辩证法原理

所谓物质系统(简称系统)，它是由相互联系、相互作用和相互制约的各个部分(要素)按一定的规律(若是人工自然物，则是规则)组成的具有特殊功能的有机整体。物质系统的辩证法原理，概括起来说就是：系统与要素或整体与部分的对立统一关系；系统的结构与功能的对立统一关系；系统与环境的对立统一关系。物质系统的特征主要有：整体性，综合性，辩证性，模型化和定量化，最优化。整体性是系统科学和系统论方法的基本出发点。始终把任何事物和现象都看做是有机整体，它是由其组成部分按一定的规律或规则，而产生固有的相互联系、相互作用和相互制约机制，因世界上事物的变化，大多呈现统计不规则的变化。统计就是从大量复杂数据中，找出其规律性，在现代科学技术中，完全规则的关系问题是很少的。绝大多数是不规则的，但非常不规则的问题也是很少的。大多数可化成几个规则的集合，规则的采用福氏方法求解，非规则采用有限元法求解。对次要量，要采取分层逐步回归的方法，也可以用迭代法使理论与实际值无限接近。数学是不可分割的有机整体。因此，数学的生命力除了社会实践的推动之外，在于它的各个组成部分之间的联系。无论是从数学的有机整体看，还是从数学的各个分支，甚至从数学与其他各门学科的交叉领域来看，数学不仅使用或遵循共同的逻辑思维规律、逻辑推理和逻辑证明的规则，并且它们所运用的方法、科学概念等也都具有密切的亲缘关系。

通过这个力学系统运动的实例，可以概括出研究突变现象，可采用以下四种数学方法：

第一种方法是：确定刻画或描述系统运动状态的参量及该系统的控制参量，如确定描述圆盘的状态参量口和控制参量(z，Y)。第二种方法是：确定支配系统运动的势函数，在控制参量为(以l，2，…，)时系统运动的平衡态使得势函数P取极小值，在上例中是求出系统运动的弹性势能V(口，2，y)。第三种方法是：确定系统运动所有可能出现的平衡态构成的空间所确定的子流形。第四种方法是：研究Me到R7(“1，“2，…，“，)上的投影X。：Me一R7，以三P记录的奇点集，R’(“l，“2，…，Ur)中的XP(三p)，称作分歧集，它确定了突变可能发生的范围。

一般说来，势函数是非常复杂的。雷内•托姆关于基本突变分类定理告诉人们，尽管势函数P很多，可是，只要势函数的控制参量“l’“2，…，“，的个数不超过4，用奇点的语言就是： P(zl，z2，…，z。)的余维r≤4，结构稳定的势函数的拓扑型(即在坐标的微分同胚变换之一)，只有7种突变类型。雷内．托姆在光学研究中，发现了焦散曲线的奇点和变形c 他认为这种奇点就是所说的“脐点”。从此他开始了对奇点的系统性研究，并发现事物突变总是在奇点发生的时候。而自然界中有许多现象是连续的，同时也有大量的现象是不连续的、是跳跃的。而对这种种自然现象的研究，用传统的微积分(学)方法，也就是用微分方程能够对连续的自然现象做出较好的解释，而对间断性的，即不连续的自然现象之谜，却无法解释，这就需要寻求新的数学方法和新的数学理论去探索突变现象的数学机理。突变数学就是在这种情况和背景下产生的。在数学上，运用微分方程一般求不出其解的具体表达式。雷内•托姆(1923～)由于开创和发展了“代数拓扑学”中的配边理论，于l958年获得了菲尔兹奖，是数学中的最高奖，这年他年仅35岁。从那以后，托姆转向对突变数学的研究。突变数学就是在这种情况和背景下产生的。雷内。托姆以拓突变数学定量描述，三叶折叠曲面——尖顶型突变的另一种类型。各种突变类型的数学机理都可以用尖顶型突变来描述，这可以以有势物质系统为例来说明：物质系统具有的采取某种走向的能力，将其称为它们的位势或势。例如，力学系统的势能，热力学系统的热力学势；化学反应系统的化学亲和势等。一个物质系统的势是它的状态变量的函数。同时与环境对物质系统的制约(由控制参量表示)有关。科学家们研究的结果发现，这类物质系统有多种情形：有时只有一种稳定的平衡态；有时有3种平衡态，有2种是稳定的，一种是不稳定的。这些情形的出现，取决于控制参量的取值范围。

21世纪数学应该用全效应法巨系统思维达到更至高点。

21世纪数学完整定义主要是研究“数和形”统计律为数学的最佳科学。这是使我们对数学科学的认识从现象走向本质的关键。为什么呢？因为，宇宙万物的主流(能量流、物质流、信息流)都与空间形式和数量关系紧密联系着的，而且它们绝大部分呈现为统计量的规律，如：室温20℃；压力10公斤；汽车时速三十公里；茶杯是圆柱形等等都是统计量的平均值。只有将这些统计量规律给予系统化、概括化、综合化，才能使我们能达到更深更广的认识和改造自然界的目的。再从宏微时空观察分析也是如此，自然界的物质绝大多数是统计量，应该把目前数学的常量计算、变量计算仅看成是统计量计算的特殊情形。 一个完整的定义，将是指导现代数学进展的命脉，随着现代科技的发展，愈来愈迫切要求对数学从本质上简明地给予系统综合概括。为什么说数学的完整定义应该是研究数学“数形统计量最佳规律”的科学这个定义呢？因为这不单纯是对原有定义改几个字的问题，而是使我们对数学科学的认识从现象走向本质的关键。宇宙万物的主流(能量流、物质流、信息流)都与空间形式和数量关系紧密联系着的，而且它们绝大部分呈现为统计量的规律，最新科学技术需要应用的大量数学知识，单纯用微积分来概括数形规律，又遇到愈来愈大的困难，因微积分仅解释了光滑变化和连续变化的现象，但自然界很多情况下，存在不连续、随机、突变、未知或不规则的变化现象，如：水结成冰或化成气；桥梁或石油钻机的突然毁坏；生物基因的重迭、跳跃、不连续和突变等，就不能按必然现象因果律的方程式去处理，而要按统计量规律来处理这些随机统计的大数现象，使数学必然产生新的飞跃。数学主要研究对象和方法。现代数学已沿着以几何、代数、分析、概率等类学科为核心，用新观点、新方法、新理论统计量的规律，又把目前庞大的数学知识系统化的形和数统计量规律统一起来，变得简而明、少而精、过程盛实效大。近几十年来，许多数学家为统一数学而付出了大量的精力，但尚未找出一套切实可行的办法来，有的反而变得更复杂，而按全效应法统计量规律来统一现代数学是一种的最佳方案。全效应法数形统计量规律的全部内容范围很广。理论数学的研究对象也是现实世界的数量关系和空间形式，是非常现实的材料。这些材料是以极度抽象的形式出现的，只是表面上掩盖它起源于客观外界的事实。也就是说，由于数学理论研究工作的需要，人们为了能够在纯粹状态下研究客观事物量的关系和空间形式的性质及规律性，必须暂时脱离开具体事物的内容，利用科学抽象的理想纯化作用，在思维中抓住事物的主要特性，发挥科学想象力与运用逻辑推理，以极度抽象的理论思维过程，来定量研究事物的规律性。数学推理所推论出来的各种量的关系，是从已有的科学概念和正确的数学理论出发的，并遵循逻辑思维规律和推理规则以及运用正确的推理形式所得到的结果，这只是证明它们的合理的相互联系和内在的本质，并具有相对的独立性，体现出数学复杂系统发展。

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